FLÉCHISSANTS
lo Moments négatifs B(l-^)+{C'+H')î-hiM^-x)
=(B-J) {i-j^ +Cf
=c(l-î)+(B'-H')î =(C+J) (i^^+^^.^ipx{l-x) 2o Moments positifs
X''=cA— ^)-KB'— H')^ =(C4-J) {i-fj +Bff^i.^(/-x) ==D(l-f)+Ef+iM/-a:) =B (l?î+(C'+H')f+-^^(/-^) ={B-J)(l-f)+C'-;.
Droites ou arcs
de paraboles correspondants dans la fig. 40.
Parab. a'V Droite b'c' Droite c'd' Droite- de' Parab. e'f
Droite oTb" Parab. b'c" Parab. cV Parab. «Te"
'I tii
Droite e" f
Fig. 40
On voit qu'il faut établir dix formules différentes lorsque Ton veut tracer les courbes enveloppes des X' et des X* pour une seule travée ; on doit également calculer les abscisses z* , x\ x" et z\ qui correspondent à des points critiques où Ton passe d'une formule à la suivante. Le tracé complet de l'épure nécessiterait donc, en raison de la complication du problème, des calculs longs et laborieux. Mais on peut abréger le travail dans le cas où la section transversale de la poutre est supposée symétrique par rapport à l'horizontale qui passe en son centre de gravité, et où le métal qui doit la constituer travaille également bien à la compression ou à l'extension : c'est là un caractère commun à toutes les poutres continues existantes, et il n'y a pas d'exemple qu'il y ait été fait exception dans la pratique. Dans ces conditions, il suffit pour calculer le travail maximum à l'extension ou à la compression développé dans les deux platebandes, de connaître pour chaque point de la fibre moyenne, non pas les deux moments maximaX' etX", mais seulement le plus grand des deux en valeur absolue. Or, en vertu de la relation connue X = X' + X", le plus grand de ces moments maxima est celui qui a le signe de X, moment dû à la charge uniforme complète appliquée sur toutes les travées. La parabole des X (fig. 40) coupe la fibre moyenne en deux points Oj et Oj, dont les abscisses x^ et Xi ont déjà été calculées, lorsque l'on s'occupait de déterminer les effets de la charge permanente (art. 22) Il conviendra de porter sur la fibre moyenne m — 1 . m de la travée les longueurs m — 1 . Oi ■= Xi et m — 1. Oi = Xj,ot d'élever aux points Oi et 0, deux ordonnées verticales rencontrant respectivement les courbes des X' et des X" en n' et n", o'' et o". Entre les points m — 1 et Oi (0 < ^ < ^i), et Oj et w (j7, < j: < /), le plus grand des deux moments X' etX" sera X', puisque l'on a entre ces limites X <C 0. Entre les points Oi et 0, (<Cxx < x < a;,),le plus grand des moments sera X'^, puisque l'on a X << 0. Pour x= x^Qi X = ar,, on a X''=X'', puisque X = 0. Etant admis que Ton ne s'occupe plus du signe des moments, mais senlement de leur valeur absolue, il suffira de tracer les portions de la courbe des X', a' b' ri et o' d é f ^ et la portion centrale de la courbe des X'", n" d' o"^ pour obtenir une courbe enveloppe
fournissant en un point quelconque de la fibre moyenne la limite supérieure des moments fléchissants positifs ou négatifs. D'autre part, il n'y a plus besoin de distinguer les X' des X", et on pourra, en faisant abstraction des signes, reporter du même côté de Taxe des x tous les arcs ou segments rectilignes de cette courbe enveloppe.
Fig. 41.
C'est ainsi que Ton procède toujours, et Ton obtient une épure analogue à celle de la figure 41, qui ne diiïëre de celle
de la figure 40 qu'ea ce qu*oii a laissé de cdlé les parties des courbes enveloppes, relatives aux X' et aux X', qui, no fournissant pas les valeurs absolues maxima des moments fléchissants dus à la surcharge variable, ne sont d'aucune utilité.
Dans la partie inférieure de la figure il, on a placé la parabole de la charge permanente en renversant Tare central, limité entre les points Oi et Oj, qui correspond aux X positifs, de façon à ne pas empiéter sur la portion de Tépure réservée à la représentation des effets dus à la surcharge variable.
Dans la partie supérieure de la figure, on a tracé une courbe enveloppe comportant les portions a V ;i', o' d e' f de la courbe des X' dans la figure 40, et la portion centrale nco" de la courbe des X''.
Pour construire cette courbe enveloppe, il faut recourir aux sept équations représentant les arcs paraboliques ou les segments de droites respectivement limités par les ordonnées des points m— 1 et m, G' et G", F et F", 0^ et 0,.
Ces sept équations devront être prises parmi les dix énoncées à la page 93. On ne peut pas d'ailleurs savoir a priori quelles seront celles que Ton devra utiliser, le choix à faire dépendant du rapport de x^ à z et x\ et de x^ à z" et x" : les points Oi et Oi pouvant se trouver situés aussi bien à droite qu'à gauche des poinls G' et G", F ou F', suivant les circonstances, on aura à considérer telle ou telle des équations précitées.
Dans le cas de la figure 41, nous avons supposé que Oi était situé entre G' et F [z <x^<x')e\. 0, entre F et F" (a:' < a:, < x"). Nous serions donc conduit à employer le système d*équations suivant (voir à la page 93 les formules désignées par les numéros d'ordre portés au présent tableau) :
De m— I à G' 0 < x < z' Equation (1) X'
» G' à Oi z <x < .r, » (2) X'
98 POIITHKS A TRAVÉES SOLIDA RES.
En faisant sur x^ el x^ des hypothèses différentes, nous serions amené à remplacer certaines de ces relations par d'autres; d'une manière générale, il n'y a que les formules (1), (8) et (5) qui soient toujours employées, quand a^j et x^ sont réels et compris entre 0 et /.
Le tracé de cette épure, qui, malgré là simplification que nous venons d'y apporter, est encore compliqué et laborieux, est beaucoup plus aisé lorsque les valeurs de Xi et de x^ sont respectivement presqu'égales soit à z ou x\ soit à z" ou x" , cas assez fréquent dans la pratique : il arrive alors que certains arcs de la courbe enveloppe disparaissent. Mais, dans le cas le plus favorable, on ne peut jamais employer moins do cinq formules, les abscisses z et z" étant toujours différentes de x' et x^\
Il peut arriver exceptionnellement que x^ et x^ soient imaginaires (fig. 5, courbe C"): X est alors toujours négatif,et — X' > X". On n'a à considérer que les cinq relations (1), (2), (3), (4) et (5) relatives aux X'.
Il serait possible encore que jc, fût plus petit que 0 (fig. 5, courbe G). On n'aurait à considérer entre 0 et x^ que les équations relatives aux X' . Une simplification analogue serait obtenue pour x^^ l : de Xy k l, on n'aurait à considérer que lesX\
Enfin pour a?i < 0 et ar^ > / (fig. S, courbe C), on a toujours X > 0 et par suite X" > — X'. On ne se servira dans ces conditions que des cinq relations (6), (7), (8), (9) et 10, relatives aux X" .
Pour une travée de rive, le nombre des équations à employer est notablement réduit, et le tracé de l'épure simplifié.
Considérons par exemple la première travée o . 1, pour laquelle nous avons dressé l'épure de la figure 42. On sait que tous les moments relatifs au premier appui sont nuls, et que l'on a de plus x = Xi = z = o : les points G', F et Oi coïncident avec l'appui o. La connaissance du second foyer F^ est inutile, et le tableau des équations relatives aux X' et aux X" se simplifie ainsi qu'il suit :
Zâaes coDSidéréen
Expressions analytiques des moments niaxima
Lignes correspondanlos sur la figure 43
lo Moments négatifs :
oG' 0<aj<2'
Droite
==^'-^-^\px{l-x)
Parabole
2o Moments positifs :
oG' 0<x<2'
X'-CÎ + i/^xCZ-x)
Parabole
Droite
Flg. 42.
Il n'y a plus que quatre équations, et si Ton se propose de calculer pour chaque point le plus grand des deux moments X' et X" , le nombre des relations à employer se réduit à trois :
iOO POUTKKS A THAVÊKS SOLIDAIHKS.
(2), (3) et (1) ou (4) suivant que x^ est plus pclîi ou plus grand que z\ Dans le cas de la figure 42, nous avons admis que Xi <iz' . Les équations à considérer sont donc celles qui portent les numéros (3), (1) et (2).
En résumé, le tracé des courbes enveloppes des moments fléchissants, effectué d'après la méthode usuelle basée sur la considération de la surcharge uniforme complète de la travée considérée, exige la connaissance :
1° De sept moments partiels relatifs à chaque appui, A, B, C, D, E,Jet II;
2** pour les travées intermédiaires, de six abscisses différentes : z\ z\x\ x" y Xi et Xt, et de sept équations dont le nombre peut être réduit, dans les circonstances les plus favorables, à cinq;
3^ Pour les travées de rive, des abscisses z" dx^, et de trois équations, dont le nombre peut être réduit à deux quand x est imaginaire, ou plus grand que /, ou égal à :;".
Nous allons montrer que notre méthode, basée sur la considération des surcharges uniformes partielles les plus défavorables pour la travée considérée, permet de simplifier notablement les recherches, et d'abréger les calculs, tout en fournissant des résullats plus exacts et plus utiles, puisqu'elle seule donne en réalité les courbes enveloppes effectives, dans tous les cas imaginables de surcharges uniformes, partielles et complètes, les plus défavorables.
95. I«jiiireloppes ilc.n ntomcuts^ flécliiiN»saiitsi dus À la liiurelinrsre, eu (en» ut compte de la surchargée uni* forme partielle la plus défavorable pour chaque point de la flbrc moyenne considéré à part. —L'équation de la parabole représentative des moments produits dans la travée ?n par sa propre surcharge complète, agissant isolément, est, ainsi que nous l'avons vu (page 92 fig. 39) :
X = J (l -î) H-II' î + l/x(/-^).
Cette parabole coupe la libre moyenne aux points G' et G'', dont les abscisses sont respectivement désignées par les lettres
z' et z" .
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. lOl
Substituons à celte courbe les enveloppes des moments fléchissants maxima, positifs et négalifs, dus aux cliargcs uniformes partielles les plus défavorables. Nous savons (art. 19) que la courbe enveloppe des moments négatifs est tangente à la parabole de la surcharge complète au droit des deux points d'appui m — 1 et W2, et à la fibre moyenne aux deux foyers F' et F". Entre ces deux points elle se confond avec Taxe des :?;. La courbe enveloppe des moments positifs est tangente à la
Fig. 43.
fibre moyenne aux deux sections d'appui m -1 et m (X''=:0), et à la parabole des X sur les verticales des foyers F' et F" ; elle se confond avec cette parabole entre F et F" (X''=X). Les équations de ces courbes enveloppes sont les suivantes : (page 78).
ZONES CONSIDÉRÉES
in — \ F o<.r<.r F F' x<x<£
