SUR I^A

FIGUl'.B 45

m — 1 m. o<jc<il m—{ F'. o<jx<x F F. x<x<x" Fm. x"<x<l

X' (B-J)(l-f)+Cf-+JçÇ-)-. (2)

X" D(l-î)+Ef+iio^/-^). (3)

.Parabole de la surcharge complète.

Courb. des X' Parab. des X" Courb. des X'

Supposons en effet que nous ayions tracé ces courbes entre les limites indiquées. Sur la figure 46, Téquation (1) correspond à la parabole MOiO,N, Téquation (2) à la courbe PQ, Téquation (3) à la parabole RS , et Téqualion (4) à la courbe TU ; ces trois dernières courbes ne se couperaient sur les ordonnées limites de leurs zones respectives RQF et TSF' que si Xi était égal à ;r' et ar^ à x\ ce qui ne se vérifie pas en général.

Mais il arrive d'habitude, nous pouvons dire presque tou" jours, que a:, diffère très-pou de x et x^ de x*", de telle sorte qu'après avoir tracé la parabole de la surcharge complète MOi OjN, et avoir mené les ordonnées verticales passant en Oi et Oj, on constate que les arcs curvilignes ou les segments reclilîgncs à tracer, pour relier les points de rencontre V et W de de ces ordonnées avec les extrémités R et T des courbes

dc^jà construites daiislc haut de répure(ces points sont situés sur les verticales des foyers), sont assez courts pour pouvoir être assimilés à des droites : on peut donc les tracer ainsi,

sans se préoccuper des équations qui les représentent. Dans le cas de la figure 46, l'ordonnée de Oi coupe la ligne PQ en V, et l'ordonnée de 0^ rencontre la ligne RS en W. Nous joindrons tout simplement VR et TW et notre enveloppe sera

ce. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTAxNTE. i07

complète. Dans le cas où la dislance Oi F' paraîtrait trop grande pour que Ton pût assimiler sans erreur appréciable Tare VR à une droite, on pourrait aisément en déterminer un point en remarquant que la distance verticale de deux points quelconques des arcs VR et VQ (ce dernier a été déjà tracé par points avec exactitude) est précisément égale à l'ordonnée

Flg. 46.

du point de Tare de parabole OiR' placé sur la même verticale; par exemple RQ = R'F. On pourra donc, en mesurant les ordonnées d'un certain nombre de points de Tare parabolique OjR', et portant les longueurs obtenues au-dessus de l'arc VQ, obtenir autant de points que l'on voudra de la ligne VR.

Remarquons d^ailleurs que toutes les fois que l'ordonnée de Tun des points 0, ou Oj coupe la parabole centrale (c'est le cas de la figure 46 pour le point 0,), le segment de ligne h

POUTKES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

tracer est véritablement une droite (équation (5) du premier tableau), et Ton n'a donc qu*à réunir par un trait rectiligne les deux points extrêmes déjà connus (W et T de la fig. 46).

Ce n*est que dans le cas où la verticale passant par Oi ou Oj coupe Tune des courbes latérales des X' (cas de la figure pour le point Oj), que l'on pourrait juger nécessaire de tracer par points, à l'aide du procédé graphique précit<^, Tare VR, si kl distance OiF était grande, circonstance exceptionnellement rare dans la pratique.

Fig. 47.

Considérons encore le cas où x^ et ^r^ seraient imaginaires, la parabole de la charge permanente étant toute entière audessous de la fibre moyenne (courbe C" de la fig. S page 12). On a en tous les poinls de la Iravéc : — X' > X". Il faut alors tracer les courbes PQ et TU, dont on connaît les équations, et relier leurs extrémités par la droite QT (fig. 47).

Dans le cas ou r^ serait négatif el x^ plus grand que /, on

aurait au contraire, quel que soit .t, — X' < X", et pour obtenir la courbe enveloppe, il faudrait se servir de Téquation (3) de la page 105 entre les limites a:' et x ; et, pour les zones o. ai et X . /, recourir aux relations obtenues en retranchant respectivement les formules (2) et (4) de Téquation (1). Cette circonstance ne se présente jamais dans les applications, et la règle indiquée na qu'un intérêt théorique (fig. 48).

Fig. 48.

Il nous reste encore a examiner le cas d'une travée de rive, par exemple la première travée ol de la poutre (fig. 49).

Ona: A=B = C=D = E = J=H = 0. — Les moments sur le premier appui sont tous nuls. De plus : B' = D' et E'=^C'.

.7î' =T Xi = 0.

Les formules à employer seront au nombre de trois :

(1) 0 < ^ </: X = A'f+5/?'x(Z— .r). Parabole de la sur-

charge complète.

(3) 0 < a: <a:':X" = E'^-f-^/>'a:(/— a;). Pai-aboledesX".

(4) x"< X <l: X' = (B'— H') ^+H'9(^J,). Courbe des X'.

Comme dans le cas précédent, on arrêtera à Tordonnée verticale du point 0, celle des deux courbes (3) ou (4) qui est

Fig. 49.

rencontrée par elle, et on joindra le point obtenu à l'extrémité de la seconde courbe soit par une droite, si la courbe rencontrée est la parabole (3), ou si la distance de Oj à F'" est petite, soit par une courbe si la ligne rencontrée est celle de Téquation (4), et que la distance 0, F' soit considérable, ce qui ne se présente jamais dans les applications (fig. 50).

En résumé, le tracé des courbes enveloppes des moments lléchissants suivant notre méthode exige la connaissance :

1^ Des sept moments suivants relatifs à chaque appui : A, B, C, D, E, J et H, comme dans la méthode usuelle ;

2"" De Téquation de la parabole correspondant à la surcharge complète, de trois équations, toujours les mêmes, pour les travées intermédiaires, et de deux seulement pour les travées de rives ; tandis qu'avec la méthode usuelle il faut sept formules en général, et cinq au moins, à choisir convenablement dans un tableau de dix relations ;

CH. 1. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. lU

3* Des quatre abscisses a: ^ x\ Xi et Xi pour les travées intermédiaires, et de deux seulement x" et x^ pour les travées de rive, tandis que la méthode habituelle nécessite en outre le calcul des abscisses z' et z'.

Fig. 50.

Nous croyons donc avoir suffisamment démontré que noire règle, qui donne des résultats plus exacts et plus satisfaisants, est dé plus, au point de vue pratique, d^^une application infiniment plus commode et plus rapide que celle de M. Bresse.

9B. Résumé ilen règles à suivre pour dressep l-épure de stabilité d'une poutre continue à Neetion constante.

— Nous croyons utile de terminer cette étude par un résumé sommaire des résultats obtenus précédemment, indiquant dans leur ordre la suite des opérations à faire pour tracer les paraboles des moments fléchissants dus h, la charge permanente, et les courbes enveloppes des moments dus à la surcharge uniforme de répartition variable, pour toutes les travées d'une poutre continue quelconque à section constante.

Nous ne considérerons que le cas où la charge permanente par unité de longueur peut être regardée comme constante d'une extrémité de la poutre à l'autre. Nous admettrons, sui*

vant rhabitude, que Tépure doit être dressée dans Thypothèse où chacune de ces charges par unité de longueur serait prise pour unité : p =/>' = 1. Il conviendra donc de faire disparaître ces letlres de toutes les formules employées.

a. — Connaissant les ouvertures U, /j, 4 , /n-i, /n, de

toutes les travées successives de la poutre continue donnée, on commencera par calculer les deux séries des nombres pet y, à Taide des formules constituant les groupes (3) et (i) de Tari. 14 (page 54). Nous reproduisons ici ces deux groupes :

Pi =

Po=0

2+ 7 (i-Pi)

pm-i

Yi =

iY«

In-,

In—:

yn— 1

Il est inutile de calculer les séries des nombres iiy et t7i,dont il n'a été parlé dans l'article 14 et les suivants que dans un simple bul de démonstration, et qui ne figurent pas dans les formules pratiques à employer.

Dans un tableau I, dont la première colonne contiendra les

numéros des travées successives (1,2 7t), on inscrira en

regard de chacun de ces numéros le p et le y correspondant à la travée qu'il désigne : on sait d'une manière générale qu'à la travée m (comprise entre les points d'appui m — 1 et m) correspondent pm— 1 et yn-m-

b. — On calculera ensuite les abscisses x el x" des deux foyers de chaque travée à ] aide des formules connues (Ira* vée m) :

" \ 1 + yn—m) ' \ 1 + 7/'

et on les inscrira dans le même tableau en regard du numéro de la travée.

c. — On calculera pour chaque travée les moments fléchissants produits sur les deux appuis par la charge uniforme complète de cette travée considérée isolément. D'après les notations adoptées dans Tarticle 2\, ce calcul fournira le moment J relatif au premier appui m — 1 de la travée w, et le moment H relatif au second appui m (art. 18, page G9).

t ^ /i Pm-i (t — ya-m) t ,S(|-v)

4 1 — pni-i yn-m 4 I — f» 7

Ti ^ 71 yn-m (l — Pm-i) i ,, y{\-?)

lit» — — ~ « m -; Q — — *: * - — j^— •

4 1— .p„i-4 yn-vt 4 t— P7

On fera la même opération pour toutes les travées, ce qui donnera le J et le H de chacun des points d'appui. On les inscrira dans un nouveau tableau II : la colonne d'entrée verticale contiendra les numéros de tous les appuis de 1 à n — 1, à l'exclusion des appuis 0 et n pour lesquels les moments sont toujours nuls ; les autres colonnes verticales porteront les numéros des travées de 1 à w, que Ton considère successivement. On placera chaque nombre J et H à Tinterseclion des lignes horizontale et verticale correspondant à la travée et au point d'appui considérés.

d. — Connaissant Jm-i et Hm, on calculera les moments produits par la charge complète de la travée m sur tous les autres appuis de la poutre, 1 à m— 2, et m+1 à w — 1.

On emploiera à cet effet les formules de l'art. 15 (page 59).

AU t>OtjTKËS A TRAVÉKS SOLIDAIRES.

PoinU d*appui situas à gauche de ]a travée chargée m

— Pm— j X Jm— I

== — pm— » X X

= — Pm-» X X*"

— p, XX*

points d*appui situés à droite do la travée chargée m

X , = — Yn— m— 1 X H|ii

X*" = — Yi X X"*

On inscrira ces résultats dans les colonnes du tableau II, qui sera ainsi rempli et fournira immédiatement et séparément, pour un point d'appui quelconque K, les moments partiels produits par les charges complètes de toutes les travées, y compris les moments h et H* correspondant respectivement aux travées K et K — 1.

c. — A l'aide du tableau II précédemment dressé, on calculeria pour chaque point d'appui trois moments obtenus chacun par la sommation des moments partiels d'une série de travées définie par une des règles indiquées à l'article 21. On devra tenir compte dans ce calcul des signes qui précèdent dans le tableau II les valeurs numériques de tous les moments partiels.

Les moments totaux à calculer seront les suivants pour l'appui de numéro K :

Crt. I. - THEORIE DÉS POÛÏRÉS A SECTION CONSTANTE. iH

Appui K

i..2 Jv— *2 -K— i.K.

K-j-i — K+3 — ..K+2A+1 : B K+1 — K+3 — ..Kl+2/i+l:D

Le calcul des totaux B et D est facilité par la remarque suivante : de part et d'autre de Tappui K, on considère toujours soit les travées de numéro pair, soit les travées de numéro impair à rexclusion des autres. On inscrira ces résultats dans un nouveau tableau III dont la première colonne verticale contiendra les numéros des appuis successifs de 1 à n — 1. En regard du numéro K on inscrira les nombres correspondant à cet appui : A, B, C, D, Ë, J et H.

Les nombres C et E se déduisent des nombres calculés A, B et D par les formules simples :

C = A — B, et E = A — D ;

les nombres J et H sont fournis immédiatement par le tableau II.

/. — On établira pour chaque travée les équations fondamentales de la page 105, en fonction des moments fléchissants sur ses points d'appui, fournis par le tableau III.

Travée m

(2) X' = (Bm-, - im-i) (l- pW Cw * + int-t ? (|) •

ff. — On tracera les courbes représentatives de ces quatre relations, entre les limites :

o et l (de m — 1 à m), pour Téquation (1), surcharge complète ;

116 POLÏHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

0 et a:' (de m — i au premier foyer F') pour l'équation (2) ;

x' et x" (du foyer F' au foyer F"), pour l'équation (3) ;

x" et l (du foyer F'' à m), pour l'équation (4).

Il n'y aura plus ici à considérer que les valeurs absolues des moments calculés, sans se préoccuper de leurs signes, puisqu'il est convenu que les X doivent tous être portés verticalement au-dessous de Taxe des x, taudis que les X' et les X'^ sont portés au-dessus.

Si Ton a préparé à l'avance un patron de la parabole dont

l'équation rapportée à son sommet est : y = ou y = rr

(en désignant par M Téchelle adoptée pour la représentalion des moments), on pourra décrire immédialcmcnt les paraboles représentées par les formules (1) et (3) en plaçant le patron de façon que l'axe de chaque parabole soit vertical, et qu'elle coupe les verticales des appuis respectivement aux points définis par les ordonnées Am— i et A«i pour la première courbe, et Dm~i et Em pour la seconde.

Quant aux courbes représentées par les formules (2) et (4), il faudra les tracer point par point. La courbe (2) coupe la verticale de l'appui w— 1 à la hauteur représentative de Bm— i, et la courbe (4) coupe la verticale de Tappui m à la hauteur représentative de Bm.

Le calcul ne sera pas bien pénible si l'on a soin de choisir

X l-'—iJC

pour X des valeurs telles que le rapport -; , ou le rapport • — ;,

ait une des valeurs portées dans la colonne i de la table numérique I placée à la fin de ce volume, delà revient à diviser l'espace m — 1 F' et l'espace F";w chacun en 2, 4, S, 10 ou 20 parties égales et à calculer le moment relatif à chaque point de division. Les fonctions seront choisies en suivant la règle indiquée à l'article 25 page 102, suivant que la valeur du rapport —^ sera plus petite ou plus grande que Tunité, et la

in m

colonne (2) ou la colonne (3) de la table fournira la valeur numérique de la fonction admise, correspondant à Tabscisse x

définie parle rapport - s'il s'agit de la courbe (2), et le rapport

s'il s'agit de la courbe (4).

CH. ï. — théoriiî: des poutres a section constante, ht

Les abscisses OTi cl x^ des points do rcnconlrc Oi et Oi de la parabole (1) avec Taxe des x étant fournies soit par le tracé graphique de cette parabole, soit par la résolution de Téqua-

^ — 1) ~^ ^^1 "^ ô (^ — ^) ' ^^ élèvera eu

ces points Oi et 0^ des verticales qui viendront couper chacune Tune des courbes (2), (3) ou (4) en un point où cette courbe devra être arrêtée : on raccordera chacun de ces points avec l'extrémité la plus voisine de la courbe précédente ou suivante par une droite ou par un arc de courbe, tracé d'après la règle indiquée à l'article 25, page 105.

Dans le cas exceptionnel ou Xi et x^ seraient imaginaires, ou bien où x^ serait négatif et Xi plus grand que /, on modifierait la marche suivie à partir du paragraphe e d'après les indications fournies à Tarticle 25, page 107, indications que nous jugeons superflu de reproduire, parce que Ton n'a presque jamais occasion dans la pratique de les appliquer.

La suite des opérations que nous venons d'exposer ne présente aucune difficulté théorique ni pratique, mais elle exige des calculs longs et fatigants pour arriver au but.

On peut d'ailleurs abréger le travail en substituant des constructions graphiques aux opérations numériques indiquées aux paragraphes b et é/, ainsi qu'il suit. b\ — Soit m — 1 m l'ouverture de la travée m ; portons sur

la verticale qui passe en m — 1 et au-dessus de l'axe des j:, une longueur égale à l'unité, et au-dessous la longueur représentative de pirt^j-, portons sur la verticale qui passe en m au-dessus de Plg 51. l'axe des x une longueur

égale à l'unité, et au-dessous la longueur représentative de y— nm. Joignons en croix les points a dei b c, et nous obtiendrons immédiatement les deux foyers F' et F", dont les abscisses x = tn — i F' et x' = m — 1 F" pourront être fournies si on désire les connaître par un simple mosuragc effcclué sur l'épure.

(t. — Supposons que nous ayons calculé (paragraphe c) les moments Jm--i et Hm produits sur les appuis m — 1 et m par la charge uniforme complète de la travée m. Traçons : l'^la ligne brisée partant du point Jm— i, passant par les premiers foyers F' de toutes les travées situées à gauche de la travée m, et ayant ses sommets sur les verticales des points d*appui ; 2'' la ligne brisée issue de Hm, passant par les seconds foyers F"^ de toutes les travées situées à droite de la travée m, et ayant ses sommets sur les verticales des points d'appui. Nous obtiendrons immédiatement et sans calcul les valeurs, en grandeurs et en signes, des moments produits sur Içs points d*appuis des travées non chargées Xm— «.... Xi, et Xm+i...Xn— i-

Fig. 52.

Les règles précédentes sont applicables aux travées de rive, à la condition d'égaler à 0 les moments correspondant à l'appui extrême, ce qui revient à supprimer les termes qui contiennent en facteurs Am-i, Bm— i, Cm— i» Dm— i, Em— i et Jwi-i pour la première travée, et les termes multipliés par Am, Bm, r^, Dm, Em et Hm pour la dernière. Il faut de plus poser a:' = 0 pour la première travée, ce qui entraîne la disparition de Téquation (2), et x" = l pour la deuxième, ce qui entraîne la disparition de Téquation (4).

En définitive, les groupes de relations à employer sont les suivants :

Travée 1 ohx" i2) X."= E. ï + 1 (/ - a;),

x"ki (4) x'.= (B,-n.)^ + n.ç(J£^:).

Trav<?en . i .

okx' (2) X'„= (B„.- J„,)(l - j) H- Jn-, f (J)

x'U {^) X'„ = Dn(l-p)+f(/-a?).

La méthode que nous venons d*exposer est applicable à toutes les poutres continues de section constante, quelle que soit la loi de succession des ouvertures des travées successives. Nous verrons plus lard qu'elle esl susceptible d'être très simplifiée lorsque Ton a à considérer une poutre dite symétrique^ définie par la condition que les deux travées de rive 1 et n aient même portée /, les travées intermédiaires ayant toutes également une ouverture commune L, différente d'ailleurs de /.

CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS DUS A LA CHARGE FERMA- NENTE. — COURBES ENVELOPPES DES EFFORTS TRANCHANTS MAXIMA PRODUITS PAR LA SURCHARGE A RÉPARTITION VARIABLE

Jt7. filforts tranehant» produits par la ehar^e perniAnente. — La parabole des moments dus à la charge

permanente, pour la travée m, a pour équation, en posant

La di^oite représentative des efforts tranchants aura par conséquent pour équation :

^j dX Am — Am.-^ . /m

Y = T- = — r-^^^ "+■ « — ^* ix An 2

m POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

La réaction verticale esLorcéc sur la poulrc par Tappui m Bera donnée par la formule :

Q/m-f^m-i-i , Am— i . /l i \ Am-f-i

2 /m \lm Im+il U+i

IS9. EoTeloppes des elTort» tranchants maiLima pro« doits par la sarehar^fe nnlfornte à. répartition Ta* riable — H est facile de reconnaître a priori que, si Ton fait abstraction de la charge propre de la travée considérée, les valeurs maxima des efforts tranchants positifs V et négatifs V s'obtiendront en différenciant par rapport à x la 1"^ et la 3" des six formules énoncées àTarticle 23 page 91.

V = — (Cm + Jw— 1 — Bm— i), V = — (Bm — Hm — Cm— j). Im Im

Ces deux équations représentent chacune une droite hori^ zontale.

Les efforts tranchants produits sur les appuis m — 1 et m par la charge uniforme complète de la travée m — 1 m sont donnés par les relations suivantes obtenues en différenciant Téquation de l'article 24; page 92, et faisant successivement X = 0 eix =1:

A • j // "m — Jin — t i .

Appui m— i : V m-i = : h 5 /m.

. . / Hm — Jm—i 1 g

Appui m : Vm = ; /«i.

D'après l'étude faite à Tarlicle 8 page 43, on pourra tou« jours représenter, avec une exactitude suffisante, les efforts maxima positifs et négatifs, dus à la charge uniforme à répartition variable appliquée sur la travée considérée, par les relations :

Maxima positifs î;"=i;"m- 1 ^b!^= /ÎLîZ^t + ! i^) Maxima négatifs v'=-v'm ^ = / »- ««-i 1 /^\ îl .

iJtm—xY

OH. I. — THEORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. i21

AjoutoDs ces deux espreBsions à celles relatives à la charge complète des autres travées et nous obtiendrons finalement les équations des courbes enveloppes des V et V.

Maxima positifs (2) V" =i(Cm+Jm-,-Bm-0+(^^^'^^

Maxima négatifs (3) V' ~(B«-Hm-Cm-0+ f ^^==^ T, •

Ces formules représentent deux paraboles à axe vertical ayant respectivement leurs sommets sur les verticales des appuis m (2) et m — 1 (3). Il est absolument nécessaire de tenir compte, dans ces équations, des signes des moments fléchis* sants sur les appuis qui y figurent : Bm, Bm— i, Jm— i et Hm sont toujours négatifs ; Cm-i et Cm sont positifs.

Nous appliquerons au tracé de l'épure des efforts tranchants la mesure déjà admise pour Tépure des moments fléchissants, en convenant de placer au-dessous de Taxe des x la droite représentative des V, sans se préoccuper des signes des efforts.

(Vm-l)

Vn.l

Fig. 53.

A la droite (Vw— i) OVm, que représente en réalité l'équation (4), nous substituerons donc la ligne brisée Vw— lOVm, définie par la condition Vw-i m — 1 = (Vm-i) m — 1 (fig. 53).

De même nous placerons les deux paraboles (2) et (3) audessus de l'axe m — 1 m en attribuant à la courbe des V la position symétrique de cpIIo qu'oUn occuperait, si Ton. tenait

POUTRES A TIIAVÉES SOLIDAIRES.

compta du signe négatif des efTorts qu'elle représente. Les deux courbes se coupent en un point tel que 0\ et si Ton veut simplement avoir en chaque point la valeur maximum de Teffort tranchant, sans se préoccuper des signes, il suffira de conserver les. arcs supérieurs de ces deux courbes V"«— lO' et O'V'm, sans tracer les arcs inférieurs V'tn— i 0' et 0' Vm-

Si les formules (2) et (3j étaient rigoureusement exactes, le point 0' devrait se trouver sur la verticale du point 0, en vertu de la relation connue V = V + \'\ Mais, comme ce ne sont, ainsi qu'il a été dit à l'article 8, que des formules approximatives réduisant au minimum Terreur probable et conduisant presqu'à coup sûr à un écart par excès, il en résulte que le

Vm-l

FIg. 54 .

point 0' ne sera d'habitude pas placé sur la verticale du point 0, et la distance horizontale de ces deux points fournira une indication du degré d'exactitude résultant de la méthode employée. Il est d'ailleurs bien certain (fig. 18, page 42) que l'écart entre les valeurs trouvées et les valeurs vraies sera toujours insignifiant. On peut calculer l'abscisse du point 0 en posant V = 0 dans la formule (1), et l'abscisse du point 0' en égalant les expressions de V" et V fournies par les formules (2) et (3) : on obtient dans ce dernier calcul une équation du second degré en x dont une seule racine est admissible, c'est-à-dire positive et comprise entre o et /, et correspond au point 0,

CH. i. — THÉORIE DES POUTRES A SEGTlOiN CONSTANTE. 123

Dans le cas exceptionnel où les deux racines seraient inadmissibles, l'on devrait ne conserver que Tune des deux courbes, Tautre étant située tout entière au-dessous de la première entre les limites o et /.

La réaction verticale maximum exercée par Tappui m sur la poutre, sous l'influence de la surcharge, s'obtient en faisant la somme des valeurs absolues de Tordonnée V'm relative à la travée précédente m et de l'ordonnée V'm relative à la travée suivante m + 1.