EFFETS DE LA DÉNIVELLATION DES APPUIS
69. MomeiitA fléehiflflantft produits par le déplace* ment vertical d'un appui. — Nous appliquerons immédiatement à la première moitié de la poutre les formules générales établies pour le cas des poutres quelconques.
Supposons que le premier appui o ail subi un déplacement vertical y (affecté du signe — s'il s'agit d'un tassement de l'appui).
Les moments développés sur les appuis seront :
4dO POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Me=0,
M, = — p»— j.Mi,
M, = — Pn^ . M, , etc.
Supposons que le second appui 1 ait subi un déplacement vertical y.
Les moments développés sur les appuis seront :
Mo = 0,
M,= — Pn-,M,,
M* = — Pn-4 Ma , etc.
Supposons que le déplacement y ait élé subi par l'appui de numéro m, qui n'est pas adjacent à la travée de rive.
On calculera les moments de part et d'autre de l'appui m pris comme origine :
6EIy 2 + Pm-i + Pn^-i
L» '^4-iS«i-|3
II— m — 1
Mm-.=[Jm-. [6EI^,-M«]
Mm — 1= — P»n— t Mm — i 9 Mm— 8= — pm — 3 Mm — 1 9
etc.
Mm+i=Pn-m-, (ôEI^,— Mm)
Mm I I = — pn — m — j Mm-f-i y Mm— 8= — Pn— m — s Mm-f-i ,
etc.
Les moments développés à l'intérieur des travées sont figurés par les droites joignant les extrémités des ordonnées représentatives (en grandeurs et signes) des moments sur les appuis. On sait que la ligne brisée ainsi obtenue passe par les premiers foyers des travées situées à gauche de Tappui m,et par les seconds foyers des travées situées à droite, à l'exception des travées m et w+ 1, encadrant cet appui, qui sortent de la règle commune (fig. 57, page 136).
•0. Travail maxlmam à la llemion dû à la dénlvellaUon des appuis. — Les formules qui précèdent donnent les valeurs absolfies des moments produits par le déplacement d'un appui. Il est généralement plus commode de calculer immédiatement le travail maximum à la flexion développé en chaque point de la poutre, ce qui permet de faire disparaître des formules le moment d'inertie I, en y faisant entrer la hauteur h de la poutre.
Le travail maximum développé dans une section d'appui quelconque est fourni par les relations qui suivent. Lorsque T est positif, cela signifie que la platebande supérieure travaille à la compression et la platebande inférieure & Textension ; c'est l'inverse lorsque T est négatif.
Cas où le déplacement vertical y est subi par le premier appui 0 :
T.=— Pn..T.,
13= — p» — 3 13, etc.
Cas où le déplacement vertical^ est subi par le second appui 1 :
To = 0,
^ ^3Ei^^ l + fT + iSn-,
T.=+p^(»|-»-T.), T,=— p„«»T,, etc.
Cas où le déplacement vertical y est subi par un appui in« termédiaire m :
T ft (^^^^ T \ T R f^^^y T \ lui— i=pm— 1 I "t; Im 1 , *m-j-i=p»— w— 1 I -7;; Im I »
Im — s — """pi»! — 8 ■''■»» — 1»
etc« I etc*
La ligne brisée figurative du travail maximum à la flexion coupe l'axe des x aux mêmes points (1" ou 2* foyer) que la ligne brisée des moments.
Les nombres p sont fournis par fa table numérique II, placée à la fin de cet ouvrage, lorsque S présente une des valeurs suivantes : 0,7, 0,8, 0,9, 1,00, 1,10, d,20, 1,25, 1,30. L'usage des formules précédentes no soulève en ce cas aucune difficulté. Quand S a une valeur différente, il faut dresser le tableau numérique des p qui, au slirplus, a été calculé à l'avance si Ton a effectué les calculs de stabilité de la poutre.
A titre d'exemple numérique relatif au cas où S = l et
M=rl0, nous indiquerons pour les différents appuis les valeurs
L* du rapport Tm XrTT-, dans les trois hypothèses où l'appui
déplacé pjorlerait les numéros 0, 1 ou 4.
valeur ai
' •^^PP"" SEfty ^ '
Numéros d'ordre
Déplacmeut de Vappui 0
Déplacement de l'appui 1
Déplacement de l'appui 4
des appuis
CH. 11. — CALCUL DES POUïftES SYMÉTRIQUES. 193
Lorsque la travée m est assez éloignée des extrémités de la poutre pour être assimilable à la travée normale^ la valeur du travail développé sur lappui m se rapproche sensiblement, quel que soit ^, de la limite supérieure :
Pour les appuis précédent m — 1 et suivant m+1, on a la valeur commune :
Pour les appuis m ^2 et mH-2, on obtiendra une valeur suffisamment exacte de T en multipliant Tm-i par — 0,2679492, etc., etc.
Lorsque plusieurs appuis subissent simultanément des déplacements verticaux, il convient de calculer séparément les eiTorts dus au déplacement de chacun d'eux, et d*en faire la somme algébrique, suivant la règle indiquée à la page 138.
m. Applleallons des formules préeédeutes. — Poutres établies sur piles en maçonnerie, — Lorsque Ton construit les poutres continues dans leur emplacement définitif, en les montant sur des échafaudages en charpente ou des ponts de service, Touvrage métallique épouse naturellement le profil en long des appuis, qui n'est pas nécessairement rectiligne, et Ton n*a pas à redouter de dénivellation, sauf le cas où les piles en maçonnerie viendraient à tasser après le décintrement.
Quand on met les poutres en place par voie de lancement, ce qui oblige à établir le profil en long des appuis suivant une ligne droite sur toute la longueur que la poutre doit parcourir, on peut craindre une discordance entre le profil des plaques d'appui fixées sur les piles, lequel est réglé à Taide du niveau, et le profil de la semelle inférieure de la poutre. Mais il est généralement possible de se rendre compte approximativement de Terreur maximum qui aura pu être commise pendant la construction, et d'en déduire la valeur limite du tra-
194 POLTHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
vail anormal à la flexion, qu'il y aurait lieu de prévoir ; en général, il n'y a pas à se préoccuper de cette circonstance, qui ne saurait guère avoir de conséquences sérieuses.
Lorsque les fondations du pont sont médiocres, il peut arriver qu'une pile tasse après la construction ; cet accident n.e serait grave que si le mouvement se produisait brusquement et avec une amplitude suffisante pour amener la rupture du pont ou la désorganisation du métal dans le voisinage de la pile déplacée. Si le mouvement est lent et que la surveillance exercée sur l'ouvrage permette de le constater en temps opportun, on pourra toujours y remédier en relevant la poutre au-dessus de l'appui qui s'affaisse, à l'aide de presses hydrauliques, de verrins ou de coins, et réglant à l'aide du niveau la position nouvelle des plaques d'appui. Cette nécessité de surveiller d'une manière continue les ponts à travées solidaires, lorsque leurs fondations n'inspirent pas de confiance, en vue de corriger sans retard les tassements qui pourraient se maninifesler, est un défaut propre à ce type de construction, dont on s'est peut-être quelquefois exagéré l'importance. C'est sans doute parce motif que les Américains l'ont systématiquement exclu de leurs travaux, malgré l'argument pratique que fournit le succès constant obtenu par les constructeurs européens, lesquels ont fait dans leurs grands ponts un usage presque exclusif des poutres continues.
Il peut être utile, lorsque l'on est chargé de surveiller un pont à travées solidaires, dont les piles ne sont pas fondées sur le rocher, de se rendre compte a priori de l'importance des mouvements qui seront une cause d'inquiétude, en calculant la grandeur du tassement qui pourrait donner lieu à un travail supplémentaire du métal jugé excessif et fixé par exemple au maximum de 2 kilogrammes par millimètre carré (T= 2.000.000).
On se servira à cet effet des formules de l'article précédent, que l'on résoudra par rapport à y, la valeur de T étant donnée.
Il convient de remarquer que les effets de la dénivellation d'un appui ne sont à craindre que dans les sections où le travail à la flexion dû à cette cause vient s'ajouter à celui dû à la
GH. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. iÔS
charge ci à la surcharge. Il est hien évident en effet que dans les sections où le mouvement fléchissant dû au déplacement de lappui est de signe contraire à celui dû aux charges, il y a réduction et non augmentation de travail, puisque les efforts de sens opposés se compensent partiellement.
Il ne faut donc considérer, dans Tétude des effets dus à la dénivellation, que les points de la poutre où T a* le même signe que X (moment dû à la charge permanente), et en particulier la section, que nous appellerons la sectio?i dangereuse, où cette valeur de T est la plus grande.
S*il s'agit réellement d'une poutre à section constante, \s. section dangereuse est :
i^ Dans le cas, d'ailleurs peu fréquent, du soulèvement d'un appui, la section située au droit de cet appui lui-même ;
2® Dans le cas habituel du tassement d'un appui, les sections correspondant aux appuis précédent et suivant.
Nous verrons plus tard que les poutres continues, bien que calculées comme si elles étaient à section constante, s'exécutent en réalité dans la pratique avec des sections dont les moments d'inertie varient proportionnellement aux moments de flexion maxima auxquels elles auront à résister.
Dans un ouvrage de cette espèce, on doit considérer, dans le cas du tassement dun appui seulement, deux nouvelles sections dangereuses, qui correspondent au second foyer de la travée qui précède lappui déplacé, et au premier foyer de la travée suivante. L'épure représentative de T permettra toujours d'évaluer exactement le travail développé au droit des foyers qui encadrent l'appui déplacé.
Nous allons donner quelques exemples pour le cas du tassement d'un appui : il sera inutile dans nos formules de faire ressortir le signe de T qui est négatif sur les appuis et positif aux foyers.
Poutre à deux travées égales,
1° Tassement d'une culée.
Travail développé sur la pile :
2'' Tassement de la pile.
Travail développé au droit du foyer le plus voisin de la pile :
Supposons pour fixer les idées que Ton ait :
L = 20™ et A==-^^L = 2'».
Prenons d'autre part : E = 1,60X10".
Pour que le travail développé sur la pile par le tassement d'une culée atteigne la valeur de 2 kilogrammes par millimètre carré (T = 2.000.000), il faudra que ce tassement soit égal à 0,033.
Pour que le travail développé sur le second foyer de la première travée (aux 3/4 de l'ouverture) ou le premier foyer de la seconde atteigne la même limite, il suffira que la pile tasse de 0,022.
Poutre à plusieurs travées.
Le travail supplémentaire maximum dû au tassement d'un appui est d'autant plus considérable que l'appui en question est plus éloigné des extrémités, et que les travées adjacentes se rapprochent davantage de la travée normale.
On se placera donc nécessairement dans des conditions plus défavorables que la réalité, et on obtiendra une limite supérieure du travail développé dans la section dangereuse, en attribuant à la poutre un nombre infini de travées, et admettant que le déplacement soit subi par Tappui central.
Supposons donc que l'on ait « = oo el m= - ; soit y le tas-
sèment subi par l'appui m, Tp,__i le travail développé sur l'appui précédent, et Tm le travail développé au droit du second foyer de la m" travée.
On a
et
Tw»— 1 =
La section la plus fatiguée est donc celle qui correspond à l'appui m — 1.
Le tableau numérique suivant indique, pour un certain
nombre de valeurs de L et du rapport - de la hauteur de la
poutre à l'ouverture d'une travée, les déplacements verticaux y de la pile centrale m qui donneront lieu à un travail supplémentaire de 2 kilos par millimètre carré (T = 2.000.000) dans les sections placées sur les piles précédente et suivante.
Nous adopterons encore ici pour E la valeur 1,60X10*°.
L— iO
Le danger augmente proportionnellement à la valeur du rapport - (ce qui justifie l'habitude des constructeurs européens de ne pas dépasser la limite -- ) et en raison inverse de l'ouverture L, Pour des travées de 100", lorsque la hauteur
de la poutre ne dépasse pas 10"", le tassement d'une pile ne deviendrait inquiétant qu'au-delà de huit centimètres : un mouvement de cette importance ne pourrait passer inaperçu et serait facile à corriger avec une exactitude suffisante, en relevant la plaque d'appui et vérifiant sa nouvelle position à l'aide du niveau.
Remarquons que nous nous sommes placé ici dans l'hypothèse la plus défavorable, généralement irréalisable dans la pratique y où une seule pile tasserait, les autres restant immobiles. Lorsqu'un des appuis d'une poutre s'affaisse, la charge qu'il supporte diminue, tandis que les poids portés par les piles voisines augmentent : celles-ci ont donc une tendance, si les fondations sont de même nature, à tasser elles-mêmes; le mouvement s'étend de proche en proche, mais en s'alténuant, jusqu'aux culées supposées invariables. La fibre moyenne de l'ouvrage, primitivement rectiligne, se courbe et finit par affecter à peu près la forme d'un arc parabolique ou circulaire.
En appliquant le calcul à cette hypothèse, on reconnaîtrait que l'abaissement de la pile centrale peut atteindre des valeurs considérables avant que le travail supplémentaire développé dans le métal soit important.
Considérons une poutre dont la longueur totale entre les culées extrêmes serait de 200" et la hauteur de 5™ (nous n'avons pas ici à nous préoccuper du nombre des travées). Supposons que toutes les piles s'affaissent de façon que la fibre moyenne déformée soit un cercle ayant sa tangente horizontale au milieu de la longueur de l'ouvrage, et cherchons quel devra être le tassement y de la pile centrale pour que le travail moléculaire T (uniforme dans toutes les sections en raison du mode de déformation) développé par la dénivellation simultanée de tous les appuis atteigne 2 kilos par millimètre carré.
La formule à employer sera, en désignant par p le rayon de courbure de la fibre déformée :
P dx* El E/i
en. II. - CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. i99
Eq intégrant deux fois cette relation, nous obtiendrons pour équation de la fibre déformée, rapportée à son sommet, placé au milieu de la longueur de la poutre :
^~ Eh'
Posons T=2.000.000, E = ^60XlO*°, A=5™ et a:=100" (demi-longueur de la poulre) ; nous trouvons :
La pile centrale pourra ainsi tasser de 0™,25 avant que Taugmentation du travail moléculaire atteigne 2 kilos par millimètre carré.
Nous en conclurons que des fondations même mauvaises ne peuvent jamais mettre en péril Texistence d'une poutre à travées solidaires, si elles présentent suffisamment d'homogénéité pour que la différence entre les tassamenls de deux appuis consécutifs ne soit pas trës grande.
Il n'en serait pas de môme, par exemple, si les piles d'un pont étaient établies en partie sur le rocher, en partie sur des pieux fichés dans un terrain compressible et n'atteignant pas le solide. Une rupture de la poutre serait toujours à craindre à la limite de séparation des deux systèmes de fondation. Mieux vaut en pareil cas renoncer à descendre les piles jusqu'au rocher, là où il est accessible, et les fonder toutes dans des conditions identiques. Cette solution aura le double avantage d'être plus économique et d'offrir plus de sécurité. Nous poserons donc en principe que, pour les poutres à travées continues, l'invariabilité des appuis n'est pas nécessaire : il suffit de réaliser l'homogénéité des fondations, de façon que les tassements subis par des piles voisines ne soient jamais trës différents Tun de l'autre.
Ponts établis sur des piles métalliques.
Pour les ouvrages de ce genre, on a à considérer, outre les erreurs de construction et les tassements des fondations, les changements de hauteur des piles métalliques résultant d'une
pari de raugmeniation du travail à la compression subi par leurs monlants au passage des charges mobiles^ et de l'autre des variations de température. Ou peut toujours évaluer a priori Tamplitude des déplacements verticaux que subiraient les appuis sous Tinfluence de cette double cause. Cela fait, on n'aura qu'& appliquer nos formules pour obtenir la valeur du travail correspondant.
Par la même raison que précédemment, nous devons admettre que ce travail sera toujours négligeable lorsque les piles de Touvrage se succéderont avec des hauteurs variant graduellement sans écart brusque ; la fibre moyenne, dans ces conditions, se déformera suivant des courbes à très grands rayons et les moments fléchissants supplémentaires seront insignifiants. Il n'en serait pas de même si l'on passait immédiatement d'une pile très haute à une pile peu élevée : il convient, par exemple, en admettant que les culées soient en maçonnerie, que le premier support métallique n'ait pas une élévation démesurée, sans quoi les changements de hauteur produits par les variations de température pourraient avoir des conséquences fâcheuses. En pareil cas, le travail supplémentaire maximum s'observe sur les piles les plus élevées, lorsque la température atteint son maximum (cas du soulèvement de l'appui). L'affaissement de cet appui, dû à un abaissement de température, ne produit sur les piles voisines que des effets moins importants.
Considérons le cas limite d'une poutre à deux travées égales, dont les ouvertures seraient de 50" et la hauteur d& 5", l'élévation de la pile métallique étant de 50*".
Supposons que la température s'élève à 35^ au-dessus de la moyenne pour laquelle la poutre a été réglée. La pile s'allongera de 0,0004 X30'" = 0",02.
L'augmentation du travail du fer au droit de cet appui sera fournie par la relation numérique :
soit 0^96 par millimètre carré, ce qui n'a rien d'inquiétant. Comme nous nous sommes placé dans une hypothèse excep-
