SOI

tionnellement défavorable, nous en conclurons que l'influence des changements de température sur la stabilité des viaducs métalliques n'est pas à craindre ; les nombreux ouvrages do ce genre construits avec le plus grand succès par H. de Nordling, dans les lignes du réseau central de la Compagnie d'Orléans, confirment au point de vue pratique cette induction théorique.

Les ingénieurs américains ne sont pas partisans de l'emploi des poutres conti nues. Ils paraissent éprouver une défiance extrême pour ce genre d'ouvrage, et, dans une des rares circonstances où ils ont cru devoir y recourir, ils ont adopté des mesures de précaution que l'on peut trouver excessives, pour se mettre à l'abri des effets des changements de température, et assurer à la poutre une flexibilité lui permet-

tant de se plier sans effort aux déplacements verticaux des supports métalliques.

Nous voulons parler du pont sur le Kenttccky-River (Lavoinne et Pontzen, Chemim de fer en Amérique^ tome I, pag^e 210), que représente la figure 67.

Cet ouvrage comporte trois travées égales de Hi",40, dont les culées sont constituées par le rocher naturel, et les piles formées de supports métalliques de 54°" de hauteur. La hauteur constante de la poutre est égale à 11", 44, soit -- de l'ouverture de chaque travée.

Pour éliminer d'une manière absolue Tinfluence de la température, le constructeur a coupé la poutre dans le voisinage du foyer de chacune des travées extrêmes, et a réuni les deux abouts par une articulation permettant au tronçon central de s'abaisser ou de se relever librement en suivant les supports métalliques^ sans modification aucune dans les courbes des moments fléchissants dus à la charge et à la surcharge. Le résultat cherché a été obtenu évidemment de la manière la plus complète ; mais valait-il la peine que Ton s'en préoccupât ? Il est facile de s*en rendre compte.

Admettons que la température s'élève de 3S** au-dessus de la moyenne. Le relèvement de chacune des piles métalliques sera égal à 5i™ X 0,0001 = 0'",02i6.

Le travail à la compression développé au droit de la pile 1 par les déplacements simultanés des appuis intermédiaires sera fourni 1^=1, n=3) par la relation, déduite des formules de la page 191 :

3E% Mif, /3E% mj/ Mjt^X

La table numérique II placée à la fin de ce volume donne dans le cas présent :

Cfl. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. 20;^

On a :

D'où

Le travail supplémentaire est de 0^,\S par millimètre carré, moins de un cinquième de kilogramme.

MM. Lavoinne et Pontzen terminent leur élude de cet ouvrage ainsi qu'il suit :

« En ce qui concerne le tablier, l'articulation établie dans « la semelle supérieure des fermes des travées extrêmes consc titue un moyen ingénieux de leur donner la flexibilité né- « cessaire pour obvier aux variations de température ; elle a « toutefois le triple inconvénient de nuire à la rigidité du ta- € blier, de déterminer sur certaines articulations l'accumula- <( tion d'efl'orts considérables et d'entraîner, dans une partie a des semelles de la travée centrale, des efforts de sens varia- « blés, suivant la répartition de la charge roulante sur les « travées, contrairement à la règle admise par les ingénieurs « américains. L'adoption d'une semblable disposition ne peut « être justifiée que par la hauteur inusitée des piles, d'où ré- « suite un relèvement sensible des points d'appui tout à fait « exceptionnel par suite des grandes variations de tempé- « rature. »

Nous compléterons ces conclusions très judicieuses et très motivées, en ajoutant que, vérification faite, cette disposition pourrait être justifiée, mais qu'en réalité elle ?ie l'est pas : ses inconvénients sont sérieux et incontestables, et son avantage unique est insignifiant, pour ne pas dire nul.

69. Dénivellation systématique des appuis. — Considérons la parabole des moments fléchissants AOiSOgA' dus à la charge complète, pour le cas de la travée normale (fig. 68). Le moment moyen s'obtiendra dans cette travée en divisant par l'ouverture L l'aire de la surface (marquée sur la figure par des hachures) comprise entre les différents arcs de la parabole, AOi, Oi SOf et OjA', et l'axe des x.

Supposons maintenant que, la poutre ayant été construite avec une fibre moyenne rectiiigne d'une extrémité à l'autre, et la ligne des appuis étant également profilée suivant une droite, nous fassions subir à tous les appuis des déplacements

Fig. 68.

verticaux tels que leur profil en long passe de la droite primitive à un cercle tournant sa convexité vers le haut et ayant son sommet au milieu de la longueur de la poutre ; la fibre moyenne de celle-ci suivra le mouvement des supports et prendra en se déformant la forme circulaire (tig. 69). Nous savons que celte déformation aura eu pour résultat de développer dans toutes les sections de la poutre à section constante un moment de flexion M négatif, également constant, dont la valeur sera fournie, si Ton désigne par p le rayon do courbure de la fibre déformée, par la relation :

Que deviendra, dans ces conditions nouvelles, Fépure des moments dus à la charge complète, pour la travée normale? Le moment négatif M, venant s'ajouter à tous ces moments, on voit immédiatement que Ton obtiendra la nouvelle épure

en relevant dans la figure 68 Taxe des x de la quantité m — 1

El

(m — iy=m{my= -.

Les moments de flexion seront encore représentés par la parabole A0\ SO', A' rapportée à Taxe {m — i)\m)'.

GII. H. — CALCUL DES POrTRKS SYMÉTIUQUES. 205

On peut donc, en faisant varier convenablement le rayon de courbure p de la ligne des appuis, relever autant qu'on le voudra Taxe des x de Tépure. Proposons-nous de faire subir à cet axe le déplacement nécessaire pour réduire au minimum le moment de flexion moyen dans la travée, ou, ce qui revient au même. Taire de la surface comprise entre la parabole et Taxe des x.

Il est évident a priori qu'il faudra pour cela placer le nouvel axe dans une position telle que Ton ait :

En effet, la différentielle de Taire en question, représentée, pour un déplacement dy de Taxe des x, par Texpression df/ [{m— if O'i — O'i 0\ H- 0', (m)'], sera égale à 0, si

(m — l)'0'i=-, ce qui indique que cette aire passe alors par

un minimum.

La double condition a:, = - et 0:, = -- étant admise, les

valeurs des moments sur les appuis sont déterminées :

Or, les moments développés aux extrémités de la travée normale, avant la déformation du profil en long de la ligne des appuis, sont :

Am-, = Am = — 0,08333 pV= — ^P^'-

^ Z* Mi •Th..

Fig. 69.

Pour réaliser le minimum du moment moyen de la travée normale, il faudra donc faire décrire par la ligne des appuis un cercle tournant sa convexité vers le haut (fig. 69) et ayant pour rayon de courbure :

Ce cercle à très grand rayon est assimilable à une parabole qui, rapportée à son sommet, aurait pour équation :

\ pL'j:' ^ ~ 192 El

Au lieu d'attribuer à la fibre moyenne, pendant la construction de la poutre, une direction rectiligne, et de tracer la ligne des appuis suivant le cercle de rayon p, on peut procéder inversement : la ligne des appuis seiait rectiligne,et Ton construirait la poutre de façon à lui donner pour fibre moyenne, avant l'application de toute charge, un cercle de rayon p tournant sa concavité vers le haut.

Cette théorie, que nous donnons d'après Bresse, ne parait pas pouvoir être utilement appliquée dans les ponts.

La fabrication d'une poutre avec fibre moyenne circulaire serait assez compliquée, se prêterait à des malfaçons et à des erreurs ; le montage en serait difficile et délicat. D'ailleurs le but à atteindre ne justifierait pas la décision prise : en fait, dans la travée normale d'une poutre, dont la fibre moyenne est parallèle dans le principe à la ligne des appuis, la parabole des moments est assez voisine de celle qui correspond au moment minimum pour qu'il n'y ait pas d'intérêt sérieux à compliquer le travail du constructeur en vue de réduire d'une fraction insignifiante la valeur de ce moment moyen. Celte étude n'a donc qu'un intérêt purement théorique sans conséquences pratiques.

Par contre, nous signalerons un cas où une dénivellation systématique des appuis pourrait être réellement motivée : c'est celui où la poutre considérée aurait effectivement une section constante, comme le supposent les calculs de stabilité. Dans ces conditions, le but à atteindre serait de réduire le plus possible, non pas le moment de flexion moyen, mais bien le moment de flexion maximum, puisque, vu la constance de la section, c'est à ce moment que correspond la valeur la plus élevée du travail des platebandes.

Considérons encore l'épure de la travée normale pour le cas de la charge permanente.

Les moments sur les appuis sont égaux à — 0,0833 j^L^*

Le moment au milieu de l'ouverture est égal à 0,0417 ph*.

Pour réduire au minimum le moment fléchissant le plus grand, il suffit évidemment de faire décrire à la fibre moyenne un arc de cercle tournant sa concavité vers le haut et dont le rayon satisfasse à la condition :

- = i (0,0833 — 0,0417) joL*

Cette opération aura en effet pour résultat de développer

dans toutes les sections de la poutre un moment additionnel

constant égal à + tt /?L'. Par suite, la valeur du moment sur

] appui sera diminuée et la valeur du moment au milieu de la travée accrue : ces deux moments deviendront égaux en valeur absolue (fig. 68).

Comme on ne peut réduire le moment sur Tappui sans faire croître le moment au milieu et réciproquement, on a bien atteint le but que Ton se proposait. Ainsi le moment fléchissant

présente trois maxima, tous égaux en valeur absolue kj-pV^

qui correspondent aux deux appuis et au milieu de l'ouverture, lorsque l'on oblige la libre moyenne à se déformer suivant un arc de cercle tournant sa concavité vers le haut et ayant pour rayon :

48 El

P~ pL*

La courbe décrite par la fibre moyenne déformée ne s'écarte pas sensiblement de la parabole qui, rapportée à son sommet, aurait pour équation :

^ 96 Er

Si, au lieu de se borner à considérer la charge permanente, on se préoccupait aussi de la surcharge variable, on reconnaîtrait facilement que la fibre déformée devrait avoir pour rayon

de courbure, s'il s'agissait de rendre égaux les moments maxima sur les appuis et au milieu de l'ouverture, dus à la charge et à la surcharge la plus défavorable :

; = |J (0,0208 p + 0,0152 ;>'), et l'équation de la parabole décrite par cette fibre serait :

Cette théorie, inapplicable aux ponts métalliques, dont la section est toujours variable, présente un certain intérêt pour les rails de chemins de fer, qui remplissent bien les conditions du problème, puisque ce sont réellement des poutres continues à section constante.

US* Etude des rails de ehemins de fer. — Considérons un rail continu de longueur indéfinie, sur lequel circule une charge roulante.

S'il repose, par l'intermédiaire de traverses équidistaotes, sur un sol incompressible (rocher, maçonnerie, semelle de poutre métallique), il fonctionnera comme une poutre continue à appuis invariables, et le travail maximum à la flexion se manifestera au droit des traverses. En pareilles circonstances il vaut mieux, au point de vue de la conservation de la voie, renoncer à l'emploi des traverses, et établir les rarls sur des longrines, qui, appuyées en tous leurs points sur une plate-forme bien réglée et incompressible, rendront insignifiant le travail du métal à la flexion.

Fig. 70.

Supposons maintenant que les traverses soient placées sur une couche de ballast offrant une certaine élasticité. Les appuis s'affaîssant sous le passage de la charge mobile pour se relever ensuite à leur niveau primitif, la voie présentera au

CH. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTUIOL'ES. 20î>

droit (le celle charge une ondulalion ABCD se propageant avec elle (fig. 70). Par suite de la dénivellation des appuis, le rail décrira dans sa partie chargée une courbe BC tournant sa concavité vers le haut. D*aprës ce qui a élé dit à l'article précédent, cette déformation aura pour résultat de diminuer les valeurs des momenls de flexion maxima, qui se manifestent sur les appuis, et par suite d'améliorer les conditions de stabilité de la voie. Pour un rail de 35 kg. par mètre courant, ayant 12 à 13 cent, de hauteur et supportant une charge de 6,000 kg. par mètre (ce qui correspond à peu près au poids d'une locomotive), on peut vérifier, à Taide de la formule énoncée plus haut, que le rayon de courbure le plus favorable est d'environ 200". Si l'élasticité du ballast n'est pas telle que cette limite soit dépassée, son influence sur la conservation de la voie sera donc favorable, et cette conclusion théorique justifie un résultat bien connu d'expérience, d'après lequel lacompressibilité du ballast est, dans une certaine mesure, favorable à la durée du rail. Si cette compressibilité était exagérée, elle pourrait ofl^rir des inconvénients, Teffet produit dépassant les besoins et donnant lieu à la production, entre les traverses^ de moments de flexion positifs supérieurs aux moments négatifs. En pareil cas, il n'y aurait d'autres remèdes à employer que de réduire la hauteur du rail, ce qui entraînerait une diminution correspondante dans la valeur du rayon de courbure le plus avantageux.

On a recours à cette pratique pour les voies établies sur le terrain naturel ou sur des plateformes imparfaitement ballasiées (voies de chantier, voies de l'ouest aux Etats-Unis). En augmentant la flexibilité du rail, on lui permet de se prêter aux mouvements du sol, sans fatigue exagérée du métal.

Supposons maintenant que le rail, au lieu d'être continu,

présente de distance en distance des solutions de continuité

(joints non éclissés). Pour que la dénivellation des appuis pût

donner des résultats avantageux, il faudrait que les positions

des joints fussent invariables, et que les appuis intermédiaires

subissent des tassements tels que, au passage de la charge,

chaque tronçon de rail affectât la forme d'un arc de cercle

tournant sa concavité vers le haut (fig. 71). Or il n'est pas pos-

ÎIO POUTHES A TRAVEES SOLIDAIRES.

sible pratiquement d'élablir le rail de façon que les joints re posent sur des traverses immobiles, tandis que les appuis in termédiaires seraient élastiques.

Fig. 71.

D'autre part, pour atténuer l'influence destructive des chocs des roues sur les abouts de rails au passage des joints, on est conduit à placer ceux-ci en porte-à faux, entre deux traverses dites de joint. Or la figure 72 montre que, dans la travée, limitée par les deux traverses de joint, qui comprend la solution de continuité, les deux tronçons de rails opposés fonctionnent chacun comme une pièce encastrée à une extrémité et libre à Fautre, et se déforment suivant une courbe tournant vers le haut sa convexité, et non plus sa concavité; cette déformation vicieuse s'étend, d'ailleurs, au-delà des traverses de joint par suite de l'élasticité du ballast (fig. 73). Le profil de la voie présente un angle au droit du joint. Dans ces conditions, l'élasticité du ballast, au lieu d'être favorable à la conservation des rails, lui est nuisible. Le travail k la flexion sur les appuis est augmenté au lieu d'être diminué.

Fig. 72. Fig. 73.

L'éclissage des joints, en solidarisant les deux rails, permet d'atténuer quelque peu cet inconvénient : mais il ne rétablît pas d'une manière complète la continuité de la voie. La nécessité d'ovaliser les trous des boulons d'attache, pour permettre au rail de se dilater et de se contracter librement sous l'action des changements de température, a pour conséquence immédiate de diminuer considérablement l'efficacité de l'éclisse an point de vue de la résistance aux charges roulantes.

Il en résulte que, dans les voies ballastées, les joints sont des points critiques : l'élasticité des supports, qui- joue un rôle

favorable pour la conservation des parties centrales des rails, est désavantageuse pour les abouts, soumis à des moments de flexion négatifs très supérieurs à ceux qui se manifestent dans on rail indéfini.

M. Couard, ingénieur de la Compagnie P.-L:-M., qui a fait à ce sujet des observations et des expériences très intéressantes {Revue générale des chemins de fer^ décembre 1887), a effectivement reconnu que les rails se détériorent dans le voisinage des joints et subissant, par suite des efforts anormaux dont il a été question, des déformations permanentes assez sérieuses pour altérer le profil de la voie. II a constaté que les rails finissaient par présenter des courbures, analogues à celles de la figure 73, indiquant que la limite d'élasticité du métal avait été dépassée.

Les mesurages faits par cet ingénieur Tont amené à reconnaître que la courbe de déformation permanente, tournant sa convexité vers le haut, pouvait présenter dans le voisinage des joints un rayon de 300"" environ.

Ces observations, faites sur des voies établies depuis peu d*années et entretenues avec soin, offrent un caractère de gravité incontestable, en raison des espérances que les Compagnies de chemins de fer avaient conçues sur la longue durée des voies en acier. Si Ton constate des dt^formations permanentes de cette importance au bout de 10 à 1 1 ans (sur une voie d'ailleurs très fatiguée), qu'arrivera- t-il dans 20 ou 30 ans ? Sera-t-il possible de conserver les mêmes rails pendant une cei)taine d'années, comme on s'en était flatté ?

On sera probablement conduit à chercher un remède à la situation. Etant donné quMl s'agit de conserver des rails existants, et non pas d'en établir de neufs, dont on pourrait £iugmenter la résistance, et que les modes d'éclissage actuels ne semblent pas susceptibles de modifications qui permettent d'en augmenter l'efficacité, on sera évidemment conduit à recourir aux dispositions suivantes : l*' Réduire le nombre des points critiques en allongeant les rails et espaçant de plus en plus les joints. C'est ainsi que la longueur des rails a été portée en ces derniers temps de 5"50 à 11 "00, et que l'on envisage Temploi de rails de 20™, malgré les difficulté qu'entraîneront leur trans-

21i 1>01THI:S A THAVKKS SOLIDAIHICS.

porl, leur nianiilenliou cl leur pose ; 2" Réduire les lassemcnls des rails dans le voisinage des joints en rapprochant les traverses de joint et augmentant leur surface d'appui sur le ballast : remploi des traverses métalliques, dont les dimensions peuvent être fixées arbitrairement, permettra sans doute de faire à cet égard le nécessaire; 3** Diminuer et presque supprimer la déformation de la voie dans le voisinage du joint, en reliant les deux traverses de joint par des tronçons de lon-

Fig. 74.

grines métalliques placés sous les rails et soutenant leurs abouts (fig. 74). On arrivera peut-être ainsi à constituer la base d'appui des joints par un cadre composé de deux traverses et de dcuxlongrines métalliques, ces dernières ayant suffisamment d'élasticité pourlaîsseraux rails laflexibllité exigée pour Tatténuationdes chocs, au passage des roues sur les joints, et suffisamment de rigidité pour soutenir les abouts et limiter leur abaissement. Les rails pourront, d'ailleurs, toujours se déplacer librement sur le cadre, sous Tinflucnce des changements de température ; il suffira, pour cela, d'ovaliser les trous des boulons d'attache.

DIMENSIONS PRINCIPALES ET POIDS DES POUTRES CONTINUES. — CALCUL DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS

•4. Diviiiion en travées et hauteur de la poutre* —

La fixation de Touverture à attribuer aux travées d'une poutre métallique est généralement subordonnée à des circonstances locales, sur lesquelles il nous parait superflu d'engager une

Clf. H. — CALCUL DKS POUTRES SVMKÏHIOUKS. 213

discussion générale. Nous rappellerons seulement la règle connue, d'après laquelle, si la question d'économie est seule en jeu, on réalise la disposition la plus judicieuse lorsque le prix d une pile est égal au prix d'une travée.

D*autre part, pour obtenir la meilleure utilisation du métal, il convient de recourir à l'emploi d'une poutre symétrique et d'adopter pour S la valeur 1,25 : les travées de rive auront pour ouverture les 4/5 de celle d'une travée intermédiaire. L'application de cette règle assure la plus grande uniformité entre les travées successives. En prenant 5=1, on réalise l'équidistance des appuis : mais cet avantage apparent est compensé par la nécessité d'attribuer aux platebandes des travées de rive des épaisseurs notablement plus fortes qu'à celles des travées intermédiaires (flg. 30, page 80). En somme, il faut donner à X une valeur comprise entre 1 et 1,25, et déterminée par la condition de diviser les treillis des travées de rive en mailles ou panneaux de même longueur uniforme que celle des panneaux des travées intermédiaires : si, par exemple, une travée intermédiaire est divisée en 23 panneaux, la longueur de la travée de rive devra correspondre à 23, 22, 21 , 20 ou 19 panneaux de même dimension.

Nous avons produit déjà plusieurs épures des moments, établis avec différentes hypothèses sur la valeur de S, qui justifient ce qui vient d'être dit : S=0,7 (fig. 31, page 81), 1,00 (fig. 30, page 80), 1,25 (fig. 64, page 181), 1,50 (fig. 63, page 176).

Lorsque les travées d'une poutre doivent être, par suite de circonstances particulières, de longueurs notablement différentes, ou que les travées de rive correspondent à une valeur de i supérieure à 1,25 ou inférieure à 1, il n'est pas certain que l'emploi du type à travées solidaires soit justiBé. II peut être alors préférable de se servir de travées indépendantes, qui seront parfois plus économiques, si on proportionne la hauteur de chaque poutre à son ouverture, alors que la continuité obligerait à adopter une hauteur uniforme sur toute la longueur.

Il conviendra également, pour des motifs précédemment indiqués, de prévoir des travées indépendantes lorsque les

Î14 POUTKES A TIIAVÉES SOLIDAIRES.

fondations des piles n'inspireront pas confiance, et feront craindre des tassements considérables et impossibles à. prévenir ou à. corriger en temps ulilo.

La hauteur constante de la poutre doit être comprise entre

les — de la plus petite ouverture et les — de la plus grande :

rhabitude des consîrucleurs européens est de prendre le

dixième de la portée d'une travée intermédiaire : /i= -- •

S5. Poids de» poutres». — Le poids p par mètre courant de la surcharge d'épreuve doit être supposé connu a priori^ étant donné le rôle que doit remplir l'ouvrage. On trouvera dans le tome I des ponts métalliques (page 61 et suivantes) les valeurs de;; 'pour les ponts-rails et les ponts-routes en France. Lepoidsj) de la charge permanente comprend deux éléments distincts;

1° le poids pi du tablier et des pièces de contreventement, qui est indépendant de l'ouverture des travées (sauf pour les petites portées), et peut élre déterminé dès que l'on a arrête^ les dispositions de détail du tablier, avant d'entreprendre les calculs de stabilité des poutres.

Ce poids/?! correspond aux éléments suivants de l'ouvrage : pièces de contreventcment, pièces de pont ou poutrelles, longerons, platelages en bois ou en métal, voûtes en briques, chaussées, trottoirs, longrines, traverses, rails, garde-corps, etc. Il varie en général :

Pour les ponts-rails à 1 voie, entre 400" et 600" par mètre courant;

Pour les ponts-rails à 2 voies, entre 800" et 1500" par mètre courant;

Pour les ponts-routes, entre 400" et 800" par mètre superficiel.

On établira la valeur exacte de pi en se basant soit sur l'avant-mélré du tablier, soit sur les exemples fournis dans des circonstances semblables parles ouvrages existants ;

2** Le poids ;?j des poutres ellcs-mômes, qui n'est pas connu a priori^ et doit résulter des indications fournies par les épures do stabilité.

Il est nécessaire, toutefois, pour arrêter les dimensions ^es éléments constitutifs d'une poutre, de connaître p^ à Tavance avec une certaine approximation.

On se servira à cet effet d'une formule dont nous avons dé* terminé la forme par des considérations théoriques basées sur la notion du coefficient économique des poutres (voir tome I, page S8), en y attribuant aux deux coefricients numériques qu'elle contient les valeurs convenables, pour obtenir des résultats concordant suffisamment avec les exemples fournis par Texpérience.

Soit Rie travail maximum à la flexion (compression ou extension des platebandes) admis pour le métal à employer. On suppose, d'ailleurs, que ce nombre R diffî're peu des limites admises pour le travail des pièces de la triangulation. En général R = 6.000.000 pour le fer employé dans les ponts ; pour les grands ouvrages, on est allé quelquefois jusqu'à 7.000.000 (ponts hollandais et allemands) et 8.000.000 (ponts américains) avec du fer de qualité supérieure.

Pour les ouvrages en acier, R varie entre 8,000,000 et 12.000.000, avec une moyenne de 9.000.000.

Nous supposerons connues les valeurs des poids;)' et/?i par mètre courant, définis plus haut.

Le poids propre /?, de la partie essentielle du pont, qui comprend seulement les grandes poutres (sans le tablier ni le contreventement), sera donné par la formule suivante, oîi L représente Touverture d'une travée intermédiaire:

2S.000 L ,, - , , V ^*=R-25,0OOl(*'*^ +''!)• ,.

Cette équation ne donne de résultats exacts pour les travées de rive que si S est voisin de \ ,25, c'est-à-dire compris entre 1 et 1,40*.

1. Pour les ponts à travées indépendantes on peut établir des formules analogues : " .

a.- Poutres de hauteur variable ou Bow-strings :/>,=- (l>2p'+Pi);

32.000L 6.« Poutres droites de hauteur constante : Pj=^^ — a/vm (^>^P'"H^i)'

Les formules indiquées par différents auteurs, pour l'évaluation du poids

Connaissant/?,, on en déduira/? égal à/?i+;?„ et Ton pourra effectuer le calcul des éléments de la poutre. L'avant-mélré de Touvrage permettra ensuite d'établir le poids exact des poutres et de vérifier si Ton n'a pas commis, dans Tévaluation primitive de /?„ une erreur trop forte, obligeant à reprendre le calcul des platebandes et de la triangulation. Cette circonstance

des ponts métalliques, ne contiennent ni B ni p'. Elles ne donnent donc que des moyennes déduites des ouvrages existants, moyennes susceptibles d*étre absolument inexactes dans un cas particulier donné. A ce point de vue, nous croyons les nôtres préférables. H est évident d'abord que le poids d'une poutre croît proportionnellement à celui de la surcharge qu'il doit porter, et qu'on ne peut à cet égard se dispenser de tenir compte des conditions à remplir. D'autre part, pour les grandes ouverlures, un faible changement sur la valeur de R peut exercer une influence considérable sur le poids de Pouvrage ; quelques auteurs ont accusé injustement de lourdeur des ponts français où la valeur de R est limitée à 6 kg. par millimètre carré, en les comparant à des ponts de m4me importance construits en Hollande, en Allemagne et en Amérique, dont la légèreté relative n'est due qu'à uneaugmeDtation de R, pris égal à ôk,75, 1^ ou 7k,5. A priori cette différence peut paraître de peu d'importance, tandis qu'au contraire elle a une influence énorme.

Soit par exemple Lzz 100", p'=6AQ0^ et pi=: 1.000k, données relatives à un pont de chemin de fer à double voie. Suivant que l'on attribuera à R différentes valeurs, on obtiendra pour p^ les chiffres correspondants qui suivent :

Poutres continues

Travées indépendantes

Bow-string8

Poutres droites

6^ (France)

6*^ 75 (Hollande et Allemagne)

7* 5 (Amérique)

Nous ajouterons que nous ne donnons nos formules que sous bénéfice d'inventaire, en ce qui touche la détermination des coefQcienls de L et de p', qui auraient besoin d'être revus et rectifiés en se basant sur l'exemple des ouvrages existants. Mais leur forme est rationnelle et il y aurait certainement intérôt à l'adopter.

CFÏ. H. — CALCUL DES POLTRES SYMÉTniQUES. 217

ne saurait guère se présenter, l'erreur commise sur ;;j ne constituant jamais qu'une fraction négligeable de p+p'*

». Platebandefl. — Supposons qu'ayant dressé les épures des moments fléchissants, on se propose de déterminer les épaisseurs variables à attribuer aux platebandes, de façon que le travail maximum du métal, en kgs par mètre carré, atteigne dans toutes les sections, sans la dépasser, la limite convenue R.

Soient : h la hauteur de la poutre; c la largeur des platebandes, supposée uniforme sur toute la longueur de l'ouvrage ; M la limite supérieure du moment fléchissant fournie, pour une section déterminée, par l'épure de stabilité ; e l'épaisseur inconnue à attribuer en ce point à chacune des platebandes (la section transversale de la poutre sera, suivant l'usage, supposée symétrique par rapport à son centre de gravité).

Le moment d'inertie I ayant pour expression -^, on a la condition connue :

21 eck

D'où l'on tire :

On calculera e pour un certain nombre de sections convenablement choisies sur chaque travée.

Lorsqu'on dispose d'une épure sur laquelle les courbes des moments ont été figurées séparément pour la charge et pour la surcharge, en supposant/? =1 etjo'=l, on peut se dispenser d'effectuer le calcul de la valeur numérique du moment maximum M. On évaluera séparément les épaisseurs à attribuer àlaplatebande pour résister d'une part aux effets de la charge, et de l'autre à ceux de la surcharge variable, et on en fera la somme.

Soient Y et Y' les ordonnées des deux courbes relatives au même point de la fibre moyenne (fig. 63 et fîg. 64).

POUTRES A THAVKES SOLIDAIRES.

Oaa: M=;;Y-h/)T'.

Calculons toul d'abord les coefficients numériques :

K= — et K'= — 7, qui sont fonctions de quantités connues

et constantes sur tout le développement de la poutre. L'épaisseur de la platebande sera :

— JL — 1 I!

Connaissant Y et Y' , par des mesurages effectués sur Tépure, on obtiendra e sans difficulté.

On peut d ailleurs recourir à une méthode graphique des plus simples, qui permet de déduire très rapidement Tépure de répartition des tôles de Tépure des moments (fig. 75), Supposons par exemple qu'on se propose de calculer e en demi-

TT

tl:-^

tt

Fig. 75.

centimètres : il suffira de tracer sur l'épure, à partir de l'axe des x^ des horizontales équidistantes pour la partie supérieure

(efîets de la surcharge) de — X 0,005, et pour la partie infé-

rieure (charge permanente) de - X 0,005. L'épaisseur de la

platebande, en un point quelconque, sera fournie en demicentimètres par le nombre des zones horizontales comprises entre les deux courbes des moments.

CH. II. — CALCUL DES POl TRES SYMÉTHIQUES. 219

La figure 75 s'applique au cas de la travée normale : les coefficients K et K' étant supposés différents, Téquidistance des horizontales n'est pas la même au-dessous et au dessus de Taxe desx, bien que chaque zone représente une tôle de l'épaisseur convenue, soit par exemple 0,005.

A l'aide de ce procédé, Tépurc des moments se transforme sans peine en épure de répartition des tôles. Il n'y a plus qu'à placer les joints des tôles, à figurer les couvre-joints et à disposer le rivetage, opérations sur lesquelles nous jugeons inutile de donner ici des détails.

•7. Trianiralation. — Les deux platebandes d'une poutre sont reliées par une triangulation dont les éléments doivent être calculés en vue de résister à l'effort tranchant. Supposons que Ton ait dressé, pour les travées successives de l'ouvrage, l'épure des efforts tranchants dus à la charge et à la surcharge, telle qu'elle est représentée par la fig. 54 (page 122).

Si l'on a adopté la même échelle pour la représentation des efforts dus à la charge (V) et de ceux dus à la surcharge (V et V), la distance verticale entre les lignes représentatives de ces efforts fournit immédiatement, pour un point quelconque, la valeur maximum de l'effort tranchant à prévoir. Si, suivant l'usage, on a établi les courbes des V et des V" en posant />' = 4, et la ligne brisée des V en posant /?= 1, il convient d'abord de remanier l'épure de façon à rétablir l'unité d'échelle. L'opération sera des plus simples : il suffira de multiplier les ordonnées Vm— i et Vw de l'effort tranchant sur les appuis par

le rapport- et de joindre par des droites les points obtenus au

point 0. On prolongera les droites Vm— i 0 et VmO jusqu'à leur rencontre avec les courbes V'w— i V'm et V'w Vm— i, qui n'auront subi aucune modification.

On aura ainsi une épure analogue à celles représentées par les figures 76 à 79, relatives à Jatravc^e normale, où nous avons distingué par des hachures (dirigées dans le sens des pièces de la triangulation qui, dans la disposition de surcharge considérée, travaillent à l'extension) l'intérieur du contour relatif aux efforts positifs (partie gauche de chaque figure) de l'intérieur

iw

POi;Tlti:s A TRAVfti-S SOLIDAtTtKS.

du contour relatif aux ciïoits n^g-alifs (partie droite). La distance existant entre la droite inférieure et la courbe supérieure de chaque contour fournira, à IVchetle du dessin, la valeur de

l-'lg. 78.

l'cfTorl tranchant maximum, positif ou négatif, relatif au point considéré. La portion de la figure où les deux systèmes dehacliures se croisent, et qui est commune aux deux conloui's, indique la zone ofi l'effort tranchant pcift èlre soit positif, soit négatif, suivant la dispo^îilîon de la surcharge.

PlK. 77.

Nous distingueroDS donc dans la longueur d'une travée trois parties distinctes : la zâne latérale positive, adjacente à l'appui de gauche, où l'effort tranchant est toujours positif ; la zâne

Fig. 78.

centrale où il varie entre des limites de signes contraires ; et la zone latérale néifalive, adjacente à l'appui de droite, où il est toujours négatif.

cil. 11. — t:.\\.i:i\. i)Ks l'oi runs svwKTiuyi i-:s, 211

DésignoDS par Z" el Z' les oi'donnéus vcilicalcs, comprises rcspeclîvomcnt entre les limilcs supérieure el inféncuredcs contours (le l'épure relatifs aux oPForts positifs et négatifs.

Les valeurs des eiïorla Irauchanls, servant ilc base au calcul des piëccs do la triangulation, seront :

Zone p08ilivc{adjacenleàrappHi de gauche)

Ml lima nég.tif«

Zone négative (adjacente àl'appuidedroite}

Les figures 76, 77, 78 et 79, relatives à la travée normale, ont été dressées dans les différentes hypothèses suivantes.qui correspondent- natureHcment & des longueurs différentes pour la zùne centrale.

Fig. 76 ,

Fig. 77 ,

Fig. 78 ,

Fig. 79 ,

Le tableau suivant indique assez exactement, pour la travée

normale, les valeurs du rapport - de la zôae centrale A à Fou-

verture L, dans les ponts-rails en fer établis avec les conditions de surcharge réglementaires en France.

Ouvertures

Rapport — de la charge à la surcharge

Rapport -

La considération du rapport '- peut avoir son importance.

Le calcul des barres comprimées ne s'effectuant pas suivant les mêmes règles que celui des pièces tendues, il y a lieu de tenir comple,dans le choix des dispositions à admettre pour la triangulation, de l'importance de la zone où les efforts tranchants sont susceptibles de changer de signe. Lorsque Touverlure est inférieure à 18", la zone centrale comprend toute la travée ;au fur et à mesure qu'augmente la portée, cette zone diminue.

Admettons à présent que nous disposions d'une épure fournissant en chaque point de la poutre les limites supérieures, positives et négatives, de Teffort tranchant, et proposons-nous de calculer les sections à attribuer aux différentes barres de triangulation.

La triangulation peut être simple, c'est-à-dire se composer

eu. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. Î23

d'une série de barres disposées suivant une ligne brisée reliant les deux extrémités de la travée et ayant ses sommets sur les platebandes. Soit 0 Tangle formé par la direction d'une barre

avec la verticale, dirigée de bas en haut, qui passe par son extrémité antérieure, c'est-à-dire par l'extrémité que Ton rencontre tout d'abord en parcourant la ligne brisée à par- = tir de l'appui de gauche de la travée Fig. 80. ^gg 80). Soit V TelTort tranchant ma-

ximum relatif à cette partie de la triangulation : c'est la moyenne des efforts tranchants fournis par Tépure pour les deux sections qui contiennent les extrémités de la barre.

L'effort normal F, qui sollicite celte pièce, sera fourni par la relation :

cos 9

Ainsi que V,cos9peut être positif (6<90<>) ou négatif(8>90*). Si Ton obtient pour F une valeur positive, la pièce considérée sera soumise à un effort d'extension ; si F est négatif, la pièce sera comprimée.

Fig. 81.

Fig. 82.

Considérons ensuite une triangulation multiple, composée de plusieurs lignes brisées distinctes : soit n le nombre de ces lignes, égal à celui des barres rencontrées par une section

transversale de la poutre. L'effort tranchant, auquel chacune

d'elles aura à résister, sera-. Si ces barres sont parallè-

les>elles subiront toutes le même effort normal, représenté par

POUTUKS A rn.VVKKS SOLlDAlHlilS.

-: c'est le cas habituel (fis*. 81, « = 4), sauf aux deux

extrémités de la poutre, sur les culées, oii elles cessent parfois d'être parallèles et deviennent convergentes (fig. 82).

Connaissant Teflort normal F subi par une barre, on sait calculer les sections à lui altribuer, à Taide de règles pratiques que nous jugeons inopportun de reproduire ici. Ces règles tiennent compte de la nature du mêlai, et, pour les pièces comprimées, de leur longueur et de la forme de leur seclion transversale.

Les constructeurs paraissent aussi d'accord aujourd'hui pour tenir compte dans ce calcul de l'écart des efforts limites, positifs et négatifs, entre lesquels Y peut varier (Lois de Wœhler, Règles de Séjourné, etc.).

Poutres à treillis. — Dans les poutres à treillis, les barres

sont toutes inclinées sur la verticale.

En général, l'angle forhié par les pièces comprimées et les pièces tendues a pour bissectrice la verticale. L'usage - des constructeurs, justifié par l'économie du métal et la facilité des assem-

Fig. 83.

blages, est d'attribuer à 0 les valeurs 43» et laS*» (fig. 83). *

— - est donc alternativement égal à ±\/2, et la formule à

employer pour le calcul des efforts normaux subis par les pièces de la triangulation est :

\Vi

Il est facile de se rendre compte que les valeurs de 0 sont, pour une travée quelconque :

Zone positive (appui de gauche) Zone négative (appui de droite)

Pièces comprimées

pièces tendues

1. Le calcul inclique en elTel que l'angle dd i5o correspond au poids mini' mum du métal employé.

CH. H. — CALCUL DES POLTHES SYMÉTRigUES.

iâo

Dans la zone centrale, où V esl tantôt positif et tantôt négatif, chaque barre travaille alternativement à la compression et à Texlension : on calcule donc sa section en lui appliquant successivement les formules relatives à l'extension et à la compression, et adoptant Ja plus grande des aires indiquées. Comme la limite pratique de résistance à la compression diminue rapidement, au fur et à mesure que la longueur de la piëce augmente, il arrive fréquemment que TeQbrtde compression, quoique bien inférieur à Teffort d'extension, est celui qui' donne le plus fort résultat.

Poutres à bras verticaux, — Dans ce type d'ouvrage, on attribue à toutes les pièces comprimées, A\iQ^ montants^ la direction verticale. L'angle 0 présente donc, pour les bras, les valeurs suivantes :

Zone positive (appui de gauche) : 6 = 0 ;

Zone négative (appui de droite) : 9 = 180**.

Dans la zone centrale, il convient^en raison du renversement éventuel des efforts tranchants, que 6 soit égal tantôt à 0 tantôt à ISO"", suivant la disposition de la surcharge. On obtient ce résultat en doublant le système des tirants, dirigés suivant les deux diagonales de chaque rectangle formé par les platebandes et deux montants successifs ; dans la zone centrale, la triangulation se compose donc de croix de St-André séparées par les montants. Â un moment donné, pour une disposition déterminée de la surcharge, une seule branche de chaque croix travaille à l'exclusion de l'autre.

Fig. 84.

Lorsque V est positif, le tirant utile est celui pour lequel 6 > 90" ; lorsque V est négatif, c'est celui pour lequel 0 < OO».

Considérons un panneau d'une zone latérale, où il n'existe qu'un seul tirant; soit V Teffort tranchant. Il est facile de re-

ail . •' * .

Ji^*

226 POUTRES A THAVKES SOLIDAIHES.

conuaitrc, en admellanl la même limite de travail pour les pièces tendues et les pièces comprimées, que le poids du panneau (formé d'uu moulant et d'un tirant) est proportionnel à

à V (A H 1, ô étant rinclinaison du tirant sur la verli-

cale. La distance de deux montants consécutifs étant représentée par h tg 0 , le poids par unité do longueur de la triangulation sera proportionnel à V cotg 6 ( 1 H ;- ).

Ce poids est indépendant de h et atteint sa valeur minimum pour tg ô=v/2, ce qui conduirait à admettre pour 6 les valeurs suivantes :

Zone positive, 123^;

Zone négative, 55°.

Nous avons déjà vu que pour les poutres à treillis les an- •>r-ï gles les plus favorables sont respectivement 135° el 45°.

Par conséquent, dans une poutre à moulants verticaux, il est rationnel de réduire à 35°, et même plutôt à 30°, Tinclinaison des tirants sur riiorizontale. Toutefois, on adopte d*habitude Tangle de 45^ qui rend plus facile Texécution des assemblages, mais augmente la dépense du métal dans un rapport qui

dépasse nécessairement --^ OU 1, 06, et peut être beaucoup

plus grand lorsque le travail des pièces comprimées est notablement inférieur à celui des pièces tendues.

0 est alors égal à 135® pour la zone positive et à 45° pour la zone négative. Dans la zone centrale, le double système d'écharpes correspond à la fois à ces deux angles.

Avec une poutre ainsi disposée, il n'y a à prévoir le renversement des efforts pour aucune barre. On n a donc jamais à effectuer qu'un seul calcul pour chaque élément, soit qu'il s'agisse d'un montant, lequel sera toujours comprimé, soit qu'il s'agisse d'une écharpe, laquelle ne pourra être que tendue. 11 faut se garder de deux fautes commises parfois par les constructeurs, fautes qui entraînent une dépense supplémentaire de métal absolument inutile au point de vue de la stabilité, et même nuisible puisqu'elle accroît sans profit le poids de la poutre, et par suite l'intensité des moments ^fléchissants et des efforts tranchants dus à la charge permanente :

l"* On ne doit pas établir de croix de St-André en dehors de la zone centrale. Gomme, dans les zônos positive et négative, TefTort tranchant ne saurait changer de signe, les contre-ti^ rantSy n'ayant jamais aucun rôle à jouer, quelle que soit la disposition de la surcharge*, sont inutiles et doivent disparaître. Pour les ponts-rails de faible ouverture (inférieure à 20™), nous avons vu que la zone centrale comprend toute la travée : il convient donc d'établir des croix de St-André sur toute sa longueur. Pour des portées supérieures à 20™, il serait absurde de suivre les mêmes errements. On a vu, à la page 222, que, pour L=40™, la zone centrale comprend la moitié de la travée; pour L = 100™, le quart seulement. Les croix de Si-André doivent être arrêtées aux extrémités de cette zone.

2"" On ne doit pas attribuer aux deux branches de chaque croix de St-André la même section transversale, puisque ces deux pièces sont destinées à résister à des eiTorts d'intensités différentes, proportionnels aux valeurs absolues respectives des efforts tranchants limites positifs et négatifs. Pour le panneau placé au milieu de la zone centrale, les efforts tranchants sont égaux et de signes contraires : il est donc légitime de donner la même section à chacune des barres. Partout ailleurs cette pratique est en opposition avec le principe fondamental de la résistance des matériaux, qui consiste à proportionner les dimensions des pièces aux efforts qu'elles doivent supporter. Il existe pourtant des ouvrages, remontant à la vérité à une date assez ancienne, où cette règle, d'une justesse évidente, n'a pas été suivie.

En définitive, si Ton se reporte h la page 221 , on reconnaît : 1® que la section d'un montant quelconque doit être calculée dans l'hypothèse d'une force de compression égale à la plus grande des quantités p' Z' onp' Tl ; 2^ que la section d'un tirant, dont la direction est définie par l'angle 0, doit être calculée en vue de résister à un effort d'extension représenté par

— ?^ si 9 > 90% et par + ^ si 0 <90o.

Cette règle ne souffre aucune exception ; elle conduit à faire décroître les sections de chacun des systèmes de barres, a par-

iis

POUTUES A TILVVKES SOLIDAIKIvS.

tir d'un appui jusqu'à l'extrémité opposée de la zone centrale, et par suite à établir des croix de St-André, à branches de dimensions inégales, dans cette zone, à l'exclusion des zones latérales (fig*. Sri).

Fig. 85.

Rechei'che du système de triangulation le plus avantageux, — A pnoriy la poutre à treillis parait devoir être sensiblement plus économique que la poulre à montants verticaux et tirants obliques. Si Ton adopte pour les tirants la même inclinaison sur rhorizonlale, io** par exemple, la figure 86 montre

que, pour aller de A en E, lo premier système de triangulation ne comportera que deux pièces (AB et BE), tandis que l'autre en exigera quatre (AB, BC, CD et DE). Les longueurs respectives des éléments comprimés seront représentées : pour

le treillis par BE=Av/2;pour la poutre à montants, par BC-|-DE=2A.

Les longueurs respectives des éléments tendus seront de même :

Dans le premier cas : AB = A y^â ;

Dans le deuxième cas : AB + CD = 2A \/2,

Clî. II. — CALCLL DES POUTRES SVMÉTRIorES.

£a somme, la longueur totale des bras est augmentée dans

le rapport-— = 1.414, et la longueur cumulée des tirants est

augmentée dans le rapport

2vi v/i

Si l'on considère Tensemblc des pièces de chaque triangulation, Taugmentation est représentée par le rapport

Toutefois, lorsque Ton examine la question de près, on est surpris de constater, non seulement que l'économie présentée par le treillis est en toute hypothèse bien inférieure à ce que Ton pourrait espérer, mais qu'elle peut disparaître complète • ment pour les ouvertures exceptionnelles, ce système se trouvant alors plus pesant et plus coûteux que la triangulation à montants.

Fig. 87.

Remarquons tout d*abord que lorsqu'une poutre à assemblages rigides se déforme sous l'action de la charge, les montants verticaux restent, après comme avant la déformation, normaux aux fibres moyennes des deux platebandes, et suivent les directions des rayons de courbure communs de ces fibres déformées : ils peuvent par conséquent être considérés comme encastrés à leurs deux extrémités, condition éminemment favorable au point de vue de la stabilité des pièces comprimées.

Considérons au contraire une pièce oblique telle que AC, rivée sur les deux platebandes sous l'angle de 45" (fig. 87).

Pour que le poids du treillis soit supérieur à celui de la triangulation à montants, il suffit que Tinégalité suivante se vérifie :

R \ ^ 10.000 rV H \ ^ 40.000 rV '

OU

40^^00r« r^tiP^

Suivant la forme que Ton attribuera aux bras de la poutre, on reconnaître que la condition nécessaire pour que le treillis soit plus onéreux que la triangulation h montants sera, en désignant par b la dimension transversale, ou largeur on élévation, de la pièce comprimée :

Montants à section rectangulaire pleine : h > 33b ;

— — évidée : A > 55 /;

— circulaire ou elliptique pleine : h > 294 ;

— — évidée : h > 41é.

Double J à âme perpendiculaire au plan de la triangulation :

Ce dernier cas se rencontre le plus habituellement dans la pratique. On peut donc admettre d*une manière générale que l'emploi du treillis à bras obliques est désavantageux dès que la largeur en élévation des pièces comprimées est inférieure à la trentième partie de la hauteur de la poutre.

Cette règle extrêmement simple se vérifie d'une manière remarquable sur les ouvrages existants ; elle fournira des renseignements très utiles lorsque Ton aura à arrêter les dispositions générales d'un pont.

Nous n'avons pas examiné dans ce qui précède le cas d'un panneau situé dans la zone centrale. L'avantage en faveur dos montants verticaux est ici encore plus marqué, malgré l'adjonction des contre-tirants, pièces surabondantes. La nécessité de calculer dans cette zone toutes les pièces du treillis de façon qu'elles puissent travailler à la compression, conduirait

à une dépense plus grande de mêlai. Si Ton appliquait les lois de Wœhler relatives au calcul des pièces alternativement len« dues ou comprimées (formules de Séjourné), on accentuerait encore plus Tinfériorité du treillis.

A titre d*exemple, nous donnons ci-après un tableau comparatif du poids du fer employ<^ dans la triangulation des poutres à montants du pont de Ktiilemburg sur le Lek (Hollande), et les poids qu'eût exigé l'adoption du treillis. Il y a lieu de remarquer que le rapport du travail moyen à l'extension (tirants) au travail moyen à la compression (montants) est de 2 pour le bow-string de 130™ d'ouverture, et de 1,25 pour les poutres droites de 80 et de 57"» ; ce qui fait ressortir Tinflucnce considérable qu'exerce la longueur d'une pièce comprimée sur l'aire de la section à lui attribuer.

DÉSIGNATION dee ouvrages

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