PRINCIPES DE LA MÉTHODE. — FORMULES FONDAMENTALES
7t. GénéralIléH. — Dans les chapitres qui précèdent, nous avons exposé une méthode pour calculer une poutre continue d section comtante^ et nous avons énoncé des formules rigoureusement exactes, si Ton admet comme tels les princi^ pes fondamentaux de la résistance des matériaux.
Nous avons d'autre part, à la fin du chapitre II, fait voir comment, les calculs une fois terminés, on se base sur leurs indications pour établir une poutre de hauteur constante dont les sections transversales (platebandes et âme) varient en raison des grandeurs des moments de flexion et des efforts tranchants auxquels elles auront à résister.
Cette pratique, universellement admise parles constructeurs, et justifiée par un très légitime motif d'économie, sur lequel il nous parait inutile d'insister, conduirait à admettre qu'il est permis d'arrôter les dimensions d'une poutre à section varia* ble, en a'appuyant sur les résultats obtenus dans Thypothèse de la section constante.
Nous verrons plus loin que cette conclusion, à peu près acceptable dans le cas des poutres de hauteur constante, ne l'est pas toujours pour les poutres de hauteur variable* Il peut donc paraître utile et même nécessaire, au moins pour les ou^*
25G l>OLTIU:s A THAVKKS SOLIDAIHKS.
vrages imporlauls, de déterminer après coup rcrrour commise, et de corriger les excès ou les défauts de résistance constatés dans les différentes parties de la poutre, lorsque Ton tient compte de Tinfluence qu'exerce la variabilité de la section sur les courbes des moments flécbissants et des efforts tranchants.
Supposons que Ton ait à calculer les dimensions d'une pou« tre continue, dont le nombre et les ouvertures des travées soient arrêtés en principe.
On évaluera la valeur de la charge permanente d'après les exemples fournis par les ouvrages existants dans des conditions analogues, ou par la formule de la page 215, etFon dressera dans rhypolhèse de la section constante les épures des moments fléchissants et des elTorls tranchants : la hauteur et le moment d^inertie de la poutre ne figurent pas, ainsi qu'on Ta vu, dans les formules à employer et peuvent donc être laisses dans Tindétermination.
Cela fait, si Ton se propose d'établir une poutre de hauteur constante, on calculera, cette hauteur étant arrêtée, les épaisseurs à attribuer aux platebandes, et on déterminera, pour un certain nombre de sections, les valeurs du moment d'inertie I : ces calculs s'effectueront sans difficulté à l'aide des formules énoncées dans Tarticle 66 du chapitre II. Il sera d'ailleurs inutile h ce moment d'établir les dimensions des éléments de la triangulation, puisqu'elles nMnfluent pas sur la valeur de I, seul renseignement dont on ait besoin pour l'instant.
Si l'ouvrage à exécuter est une poutre de hauteur variable, dont on arrêtera le profil en long d'après les indications del'épure relative à la section constante, on devra recourir, pour le calcul des épaisseurs des platebandes et du moment d'inertie I, à des formules nouvelles que nous donnerons au chapitre IV. Pour ne pas compliquer et allonger inutilement notre étude, nous n'énoncerons pas ici ces formules. Nous nous bornerons à dire que, l'épure relative à la section constante étant dressée, et le profil en long de la poutre arrêté, il est facile de calculer I pour une série de sections verticales de l'ouvrage, à l'aide des relations qui figurent au chapitre lY. Il n'y a plus dès lors à se préoccuper de la variation de hauteur de Ja poutre, le tracé de
CH. m. - POLTHES CONTIMJKS A SKCTION VAlUABLi:. iôl
répure relative à la section nouvelle s'offocluanl suivant les mêmes principes et àTaide des mêmes équations, que h soit constant ou variable.
Cette méthode suppose expressément et uniquement que Ton connaît approximalivement, kn un point quelconque de la poutre, la valeur de I : A n'entre pas dans les formules à appliquer.
Il s'agit maintenant de vérifier a posteriori qu'une poutre, dont les dimensions sont arrêtées provisoirement, et dont on connaît exactement la charge et la surcharge, satisfait bien à la condition essentielle que le travail ma:cimum du métal, tant à la compression qu'à Texlension, atteigne en tous les points, sans les dépasser, les limites pratiques de travail admises. Si celle condition est remplie, il n'y a rien à changer aux dispositions adoptées ; si le métal est trop fatigué en certains points, et pas assez dans d'autres, il conviendra de renforcer les parties faibles, et de réduire les parlies trop fortes de manière à assurer de la façon la plus économique la stabilité du pont, par une meilleure répartition de la matière.
On pourrait se demander si ce remaniement de la poutre ne rendra pas encore inexacts les résultats des calculs relatifs à la section variable, qui ne s'appliquent réellement qu'à la poutre provisoire et non à la poutre définitive. A la rigueur il serait possible de recommencer encore une troisième fois les calculs, en considérant la poutre retouchée, mais ce travail serait toujours inutile : la seconde poutre, si l'on a opéré judicieusement (art. 87 et 97), ne différera jamais, en effet, de la première que dans une mesure trop faible pour qu'il en résulte des changements appréciables dans les courbes des moments fléchissants et des efforts tranchants. Si l'on se place au point de vue pratique, d'après lequel une erreur de quelques centièmes de kilogramme dans le travail par millimètre carré d'une tôle ou d'une barre ne saurait valoir la peine d'être reconnue et corrigée, une nouvelle étude de la poutre semblera inutile, et nous admettons qu'on pourra s'en dispenser.
Soit donc une poutre à section variable, dont on connaît le
nombre et les ouvertures des travées successives, ainsi que le
moment d'inertie I en un point quelconque (ce renseignement
ibH POUTHES A TKAVKES SOLIDAIUES.
sera fourni par une épure ou un dessin provisoire deTouvrage établi d'après les résultats des calculs faits à Taide de la méthode du chapitre I, ou de celle du chapitre II s'il s'agit d'une poutre symétrique), la charge permanente p par mètre courant, fournieégalement parle calcul du poids exact des divers éléments do la poutre* provisoire,et la surcharge d épreuve jt>' par mètre courant.
Nous allons chercher les courbes exactes des moments fléchissants et des efforts tranchants en tenant compte de la variabilité de la section, sans avoir à nous préoccuper delà loi suivant laquelle peut varier la hauteur de la poutre.
1f9« Formules générale» relatives à une travée eon« sidérée lAolément. — Soit i, 2 une travée quelconque de
poutre continue à section variable, dont nous désignerons
l'ouverture par /. Nous ne formulerons aucune hypothèse sur
la loi de variabilité de la section transversale, ni sur le mode
de répartition de la charge : nous supposerons seulement que
ce sont des données du problème.
Soient Xi et X^ les moments fléchissants, d'ailleurs inconnus, produits sur les appuis de celte travée.
Nous avons vu à l'art. 1 du chapitre I que le moment fléchissant X, correspondant à un point de la travée dont Tabscisse est x^ a pour expression analytique :
(1) X = X, +(X,-X,rJ + /'(.r).
f(x) est une fonction qui ne dépend que de l'ouverture / et de
la charge, et qui est par conséquent
; / ^ connue, puisqu'elle résulte des don-
y >—'"-"*[H \t^ nées du problème. Lorsqu'on attri-
* huera à x une valeur quelconque,
Pig. 95. comprise entre o et /, on pourra tou-
jours calculer la valeur correspondante de f{x) (voir article 1, page 9).
f{x) représente le moment fléchissant qui serait développé dans une poutre à une travée, simplement appuyée à ses extrémités, ayant même ouverture /que la travée considérée et sup*
eu. III. - POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 259
portant identiquement la même charge. Si ia travée 1,2 ne supporte aucune charge^ f(x) se réduit à o« Si la charge est uniformément répartie sur toute la portée, on a :
f(x) =-px{l—x).
Ne voulant rien spécifier sur le mode de répartition de la charge, nous laisserons ce terme sous sa forme générale f{x). Nous remarquerons seulement que cette fonction s'annule aux extrémités 1 et 2 de la travée :
/(o) = oct/l[/) = o.
Choisissons arbitrairement un point N de la travée, dont nous désignerons Tabscisse par ti. L'équation (1), appliquée & ce point, nous donnera :
(2) X, = X, + (X, - XO '^ + f{u).
Nous pourrons éliminer soit Xj, soit Xi, entre les relations (1) et (2), ce qui nous donnera deux expressions différentes du moment fléchissant X :
Considérons maintenant l'équation fondamentale de la résis^ tance des matériaux :
Elf! = X.
qui peut se mettre sous la forme :
dr» El'
BU est le produit du moment d'inertie de la poutre par le coefficient d^élasticité du métal : c'est une fonction de a?, dont la valeur est supposée connue pour chaque point de la travée»
anO POlTHKS A THAVtES SOMDAIIŒS.
Intégrons deux fois celle équalioii, comme nous l*avonsfail à l'arlicle 2 du chapitre I, lorsqu'il s'agissait des poutres à section constante. Dans le cas présent nous devrons laisser
sous le signe / la variable El, mais à cela près nous ne chan-
gérons absolument rien au calcul cl nous conserverons les mêmes notations :
Appliquons cette dernière relation à rexlrémité 2 de la tra- -vée, pour laquelle on a x = / :
Nous pourrons encore établir une formule symétrique de celle-ci, en permutant les indices 1 et 2, remplaçant — Oj/ par + Oj/, et substituant xivl — x (voir page 46) :
(fi) yi — y. + o, /= 1 —dx.
Remplaçons X dans Téqualion (5) par son expression analytique fournie par la relation (3), et dans l'équation (6) par son expression analytique fournie par la relation (4) :
- — ux.
Jo El
- dx;
r:H. ni. - imhthks i.oxTiM'f'S a skctkjn vahiaulk. ioi
Xous nous servirons de ces dernières formules dans Téludo des poulres à section variable.
9S. Théorème des trois momeuts* — Considérons deuK travées consécutives 1,2 et 2,3 d'une poutre à section variable. Nous distinguerons les abscisses et les moments relatifs à la se* conde en accentuant les lettres qui les représentent.
il iN^ H i
Fig. !1C.
Appliquons l'cqualion (8) do i'aiiicloprwédcnl à la pivmièro Iravce, et l'équation (7) à la seconde, on remarquant qu'en vertu de la continuité de la poutre les moments fléchissants X. cl X'., les déplacements angulaires 0, et b't et les déplacements verticaux yi et y',, relatifs à l'appui commun 2, sont respectivement les mêmes pour l'une et l'autre travée. Les abscisses M et «' se rapportent aux points N et N' choisis arbitrairement sur chacune des deux travées.
Eliminons fj, entre ces deux relations :
-U(i-n)J, Kl /'«'X El J
L Vu' \X Kl Kh K' 'A VA '■ '
Cette équation fondamentale constilue, dans sa forme la
plus générale, la formule des trois moments, appliquée à deux travées consécutives d'une poutre à section variable.
En effet, toutes les intégrales définies peuvent se calculer, soit directement si leur dérivée est une fonction rationnelle de Xy soit par quadrature, puisque les lettres qui figurent sous les signes I ne représentent que dos constantes, ou des variables
dépendantes de x, toutes connues : les abscisses u et u' qui ont été choisies arbitrairement, les ouvertures l et Z' des travées, le produit El qui résulte pour chaque section de l'élasticité du métal & employer et des dimensions de la poutre, enfin les fonctions f{x) et f\x') qui dépendent chacune de la charge supportée par la travée à laquelle elle se rapporte.
Connaissant les déplacements verticaux t/i, y*, y^ subis au droit des appuis par la fibre moyenne déformée, ainsi que deux des moments \u, X, et X V, on pourra toujours, à Faide de cette formule, calculer le troisième.
Les abscisses n et ti peuvent Aire choisies à volonté. Rien ne nous empêche donc de poser?/ = o et u = /', ce qui revient à transporter le point N sur l'appui 1 , et le point N' sur Tappui 3. Dans ces conditions, comme f(p) = o el que f{t)= o, nous obtiendrons une équation correspondant, pour les poutres à section variable, à la formule des trois moments donnée à Tart, 10 (page 46) pour les poutres & section constante :
\*l j ». ^, T j,y -T ^ j, 1^ PI -r ^i^j^ g|
r l Kl '
Pour retrouver Téquation (3) de Tarticle 10, relative à une poutre à section constante, il suffirait de chasser le terme constant El des dénominateurs où il figure, et d'effectuer les intégrations.
Dans le cas présent, El étant une variable qui n'est généralement pas représentée par une fonction algébrique de x, il ne
CH. m. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 263
pourra être question de calculer les intégrales sous une forme générale, et il faudra en évaluer approximativement les valeurs nomériques par une méthode de quadrature, dont nous parlerons plus loin.
Nous pouvons encore ici, comme nous Tavons fait à l'article 11 pour les poutres à section constante, séparer les effets dus à la charge des effets dus à la dénivellation des appuis, en scindant la formule (4) en deux équations distinctes dont lune comprendra les termes en yi, y»^ y^ et l'autre les termes enf(x) et f{x\
Moments dus à la dénivellation des appuis : Moments dits à la charge :
Les moments totaux dus à celte double cause seront fournis par les relations :
Xi=Mt+N,, X. = M, + N,, Xa^Ma + Na.
DaprL»s la règle posée à Tart. 11, nous conviendrons d'étudier séparément les effets dus à la charge, au moyen de la formule (6), et les effets dus à la dénivellation des appuis, à l'aide delà formule (5).
Dans la pratique, on suppose toujours, dans la recherche des moments et des efforts tranchants développés sur les appuis d'une poutre continue, que les travées ou sont complètement déchargées, ou supportent une charge uniforme répartie sur toute leur longueur. La fonction / (.r) se réduirait à 0 dans le
20i POUTRES A TRAVKE/? SOLIDAIRES.
prcmior cas, et serait -pj:(/— a;) dans le second. De même /'(.r)
serait ou 0, ou ^p'x (J — x),
Nous verrons plus loin (art. 88) que le calcul de l'ouvrage peut encore s'effectuer, mais avec un peu plus de complication, lorsque la charge n'est pas suppos(?e uniforme.
94. Théorème des deux moiuenls. — Nous jugeons ulile de démontrer ici, bien que nous ne devions pas nous en servir dans notre étude des poutres continues par la méthode algébrique, un théorème des plus importants, tant par l'intérêt qu'il offre au point de vue purement théorique, que par l'utilité qu'il présente dans l'étude des poutres continues parla statique graphique. Nous voulons parler du théorème desrfew.r moments dû à M. Maurice Lévy,
Reprenons la formule générale (3) de l'article précédent :
(3) T-y»U+F'j + 7==lT(rr^Ji -li-^'^
Les points N et N' de la figure peuvent être choisis arbitrairement : au lieu do les prendre au hasard, donnons-nous seulement t/, et déterminons u' par la condition d'annuler le coefficient de Xj dans l'équation qui précède.
L abscisse du point N', correspondmit au point N pris arbitrairement sur la première travée, sera fournie par la condition :
[l-u)X El "^'^l'u-X El a^-^,
qui peut s'écrire
GH. IH. - POUTRES CONTINUKS A SlXTfON VARIAI3LE. 205
Les intégrales définies peuvent toutes se calculer soit par intégration directe, soit par quadrature : rien ne s'oppose par conséquent à ce que Ton calcule tt\ connaissant ?/.
L'équation (3), dont le terme en Xj disparaît, devient :
Cette formule permel, connaissant les déplacements verticaux yi, y* et t/^y ainsi que l'un des deux moments Xu et XV? de calculer Tautre.
C'est Téqualion des rletfx momeiifs,
US. Béfinltion et prapriéléfi den poiutA eorreApondaiils. — Les points N etN', situés sur deux travées consdcutives dont les abscisses u et u' satisfont à Téquation (4), sont dits points correspondants. On voit qu'à un point quelconque d'une travée correspond \.o\x\o\ïv^ un point et un seul (l'équation (4) étant du premier degré en u et en ii) de la travée suivante : il est indépendant de la charge de la poutre. Connaissant le mo* ment relatif à Tun d'eux, on pourra, à Taide des équations 4 et 5 de l'article précédent, calculer Tabscisse «' de son correspondant N', et le moment XV relatif à ce point. On dc^termînera de même le correspondant de N' dans la travée qui suit Tappui 3, et le moment fléchissant en ce point, et ainsi de suite.
Un point quelconque d'une travée a donc un correspondant et un seul dans chacune des autres, et en procédant de proche en proche, d'une travée à la suivante, si Ton connaît la valeur du moment relatif à Tun des points de la série, on pourra calculer les moments relatifs à tous les autres.
Remarquons que cer\ains de ces points peuvent (Hre virtuels^ si la valeur de leur abscisse^ calculée avec réquation(4), estnégative ou supérieure à l'ouverture : algébriquement, cela ne change rien à la marche des calculs, et géométriquement le ré-
2<MJ J>0!TRKS A TRAVÉES SOLIDAIRES.
sullat doit être interprété on co sens que la valeur de X'" obtenue correspond à un point de la courbe des moments situé en dehors des limites de la travée, constituées parles verticales de ses points d'appui.
Remarquons encore que, si les deux travées considérées i, 2 et 2, 3 ne supportent aucune charge (f^x) = 0 et f{x) = 0), si les appuis sont fixes (i/i = y^ = y,^ = 0), et si le moment fléchissant Xu est nul en N, il en sera de même du moment XV relatif à son correspondant N'.
7e. Dénnition et propriétés des fojers. — Considérons la série des points correspondants qui comprend l'extrémité antérieure de la première travée de rive : on déterminera successivement leurs abscisses, en posant m = 0 pour la première travée, calculant Tabscisse du point correspondant de la seconde, puis celle du point de la troisième, etc., jusqu'à la dernière travée.
L'extrémité antérieure de la première travée de rive étant simplement appuyée, le moment fléchissant qui lui correspond est toujours nul, quelles que soient les dimensions et la charge de la poutre continue ; il est donc connu, ce qui permet de calculer les moments relatifs à tous les autres points.
La série des points correspondants, qui comprend Textrémité antérieure de la poutre, est dite série des premiers foyers ou des foyers de gauche de l'ouvrage : ces points jouissent en efl'et, pour la poutre à section variable, des propriétés déjà signalées au chapitre I pour les poutres à section constante.
On voit immédiatement que, si les m premières travées de la poutre ne supportent aucune charge, le moment sur le premier appui étant nul, les moments sur les points correspondants des m — 1 travées suivantes non chargées seront également nuls, en vertu d'une remarque faite à l'article précédent. La ligne brisée représentative des moments passera donc par tous ces points, et aura ses sommets sur les verticales des appuis. C'est, on le sait, la propriété caractéristique des premiers foyers (page 61).
Considérons maintenant la série des points correspondants qui comprend l'extrémité opposée de la poutre. Pour en cal-
CH. ÏII. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 207
ouler les abscisses, il suffira de faire ti = /' dans la dernière travée, et Téquation (i) permettra de calculer Tabscisse u du point correspondant dans Tavant-dernifere travée ; on continuera en passant de chaque travée à la précédente, jusqu'à la première. Cette série de points est dite la série des seconds foyers ou des foyers de droite de la poutre. Elle jouit des propriétés signalées au chapitre I pour les seconds foyers des poutres à section constante : si les m dernières travées de la poutre ne supportent aucune charge, la ligne brisée des moments passe par les seconds foyers de ces m travées.
Il résulte des considérations qui précèdent :
{^ Que, par la résolution de n — 1 équations du premier dogré successives, ou à une seule inconnue chacune, on peut trouver le système des premiers foyers delà poutre, qui comprend son extrémité de gauche; que, par la r(^sofution de n — 4 autres équations du premier degré successives, on peut également trouver le système des seconds foyers, qui comprend Texlrémité de droite.
La position d*un foyer quelconque ne dépend que des dimensions de la poutre et des ouvertures des travées.
Elle est indépendante do la dénivellation des appuis et do la charge.
2* Pour une charge donnée quelconque, on peut, par la n^solution do n — 1 équations du 1" degré successives, ou à une inconnue chacune, trouver les moments développés dans les sections transversales qui correspondent aux premiers foyers ; en résolvant dans les mAmes conditions w — l autres équations du 1*' degré à une inconnue, on obtiendra les moments relatifs aux seconds foyers.
3** Connaissant, pour une travée quelconque, les moments relatifs à ses deux foyers, on peut toujours tracer la courbe des moments fléchissants de cette travée : c'est le polygone funiculaire, relatif h la charge supportée par celte travée, qui passe par les deux points connus.
4* Lorsque la charge considérée est appliquée sur une seule travée de la poutre, les autres étant déchargées, on peut, à Taîde de deux équations du 1" degré à une inconnue chacune, trouver les valeurs des moments relatifs aux fovers de la tra-
âG8
i>oï"rm':s a thavkes soLm.vniES.
voe chargée, et tracer la courbe des moments pour cette travée : on la prolongera sans difficuUd sur les travées situées à gauche en traçant une ligne brisée passant par les premiers foyers et ayant ses sommets sur les verticales des appuis; pour les travées situées à droite, on aura une ligne brisée passant par les seconds foyers.
9V. Prineipe de la méthode graphique pour l'étude de» poutres à «eetion variable. — Lorsqu'on se base snr le théorème des deux moments pour faire Tétude d'une poulre à section variable, on n'a jamais à considérer, qu'il s'agisse de calculer l'abscisse ou le moment relatif à l'un des systèmes de foyers, que des équations à une seule inconnue^ susceptibles d'une interprétation géométrique simple, et qui peuvent par conséquent elre résolues par des constructions graphiques.
On suivra donc la marche suivante : !<> on tracera le polygone funiculaire (dont nous avons représenté l'équation par y =f[x) ) des moments dus à la charge propre de chaque travée, considérée isolément et simplement appuyée à ses deux extrémités : ce polygone devient une courbe funiculaire (fig. 97) si la charge est continue, et une parabole à axe vertical si la charge est uniforme ; 2** on déterminera graphiquement les positions des deux foyers sur chaque travée ; 3** on obtiendra de même la longueur représentative, en grandeur et signe, du moment développé en chacun des foyers de la travée par la charge permanente ou par la surcharge complète d'une seule travée, et Ton déterminera, parla simple addition de ces longueurs choisies convenablement, le moment total produit par une des dispositions de surcharge qu'il y a lieu de considérer {page 85) ; 4<> on tracera la courbe des moments relative à chaque disposition de surcharge étudiée, comme il suit : si la travée est supposée déchargée, la courbe en question se réduit à une droite passant par les extrémités des ordonnées menées par les foyers
CH. m. - POITKKS CO.VriMKS A SKCTJnX VAlUABLi:. ^m
cl roprésenlanl, en grandeurs et signes, les moments calculés pour CCS foyers. Si la travée est supposée chargée (fig. 97), la ligue m — 1 Sm étant la courbe funiculaire y=f{x) précédemment tracée, on portera à partir des points a et c de rencontre de cette courbe et des verticales des foyers, et au-dessous de la courbe, les ordonnées représentatives, en grandeurs et signes, des moments relatifs à chaque foyer. Dans la ligure 97, nous avons admis que le moment en F' était représenté par +ab, elle moment en F" par — cd. Menons la droite bd. Le moment développé en un point quelconque N sera représenté en grandeur et signe par la portion de verticale n n comprise entre la courbe m — 1 Sw et la droite bd : on voit, par exemple, que le moment est positif en N (+ nn') et négatif en R {—rr').
Nous nous bornerons à cette indication du principe de la méthode géométrique, et nous renverrons au traité de Statique graphique de M. Maurice Lévy (11° partie), où la question est développée dans tous ses détails et dans toutes ses applications, le lecteur désireux de recourir, pour l'élude des ponts, aux procédés graphiques.
C'est d'ailleurs k cet ouvrage que nous avons emprunté textuellement, à part quelques changements de notation, les articles 72, 73, 7i, 75, 76 et 77 qui précèdent.
78. Méthode alg^ébrlque pour l'étude dem poutres m seetion Yuriable. — Si Ton veut recourir au calcul pour Tétude d'une poutre à section variable, on peut s'appuyer soit sur le théorème des deux moments, soit sur celui des Irois moments. La première méthode, qui comporte la résolution d'équations du 1" degré à une seule inconnue, a été exposée plus haut. Elle est développée dans le traité de statique graphique de M. Maurice Lévy et nous nous dispenserons de la reproduire en détail.
Nous nous bornerons à indiquer les formes simples que prennent les deux équations fondamentales (4) et (S) de l'arlicle 74, lorsqu'on suppose constante la section de lu poutre.
i70 POUTHKS A TRAVÉES SOLiDAUlES.
La première, qui sert à déterminer les positions des foyers, devient :
La seconfle, qui permet de calculer les moments relatifs à chaque série de foyers, devient :
-[X„-/(M)] j£; + [XV- A«'0]^T = -7 TyI*) ^
- \, / (f-A r {^') dx' + El Yi - y. (■ + p) + f\ •
La seconde méthode de calcul, basée sur le théorème des trois moments, est moins élégante que la première, en ce qu'elle exige pour le calcul des moments sur les appuis de la poulre la résolution de n — 1 équations simultanées (et non plus successives) à n — 1 inconnues. Dans ces conditions, l'emploi des procédés graphiques n'est guère pratique, ou du moins comporterait une complication et une obscurité que ne présente pas la première méthode, infiniment préférable à tous égards. Mais à l'aide d'un artifice des plus simples, déjà indiqué pour les poutres à section constante (art. 14 et suivants), on peut rendre l'emploi de cette méthode, au point de vue algébrique, aussi facile que celui de la précédente. Elle présente d'autre part certains avantages. Le nombre des moments à calculer est moindre de moitié (n — 1 appuis au lieu de 2 n — 2 foyers). Pour établir les équations des moments et des efforts tranchants, il est plus commode de faire usage des moments sur les appuis que des moments sur les foyers. Enfin, même avec la méthode basée sur le théorème des deux moments, il parait nécessaire de déterminer après coup,comme résultats intéressants du calcul, les moments sur les appuis, fournis immédiatement par notre méthode.
Nous allons exposer avec quelque détail la marche à suivre pour l'étude d'une poutre à section variable en partant du théorème des trois moments.
Considérons l'équation (4) de Tarticle 73. Supposons que
en. m. — POUTRES CONTLNUES A SECTION VARIABLE. 271
Ton ait déterminé les valeurs numériques do toutes les intégrales définies, ce qui est possible puisqu'elles dépendent uniquement des dimensions de la poutre et de la répartition de la charge, supposées connues à l'avance. En remplaçant ces intégrales par leur valeur, on obtiendra une équation des trois moments absolument semblable à la formule (3) de Tarlicle 10, qui se rapporte aux poutres à section constante : on ne constatera qu'une seule différence, consistant en ce que les coefficients numériques de Xi, Xs et X3 et le terme tout connu ne seront plus les mêmes. A cela près, l'identité sera absolue.
Nous pourrons donc faire exactement le même usage do Féquation relative aux poutres a section variable que de celle qui correspondait à la section constante. Nous jugeons super- Uu de reprendre la série des démonstrations et des raisonnements qui ont permis d'ëlablir la méthode relative aux poutrès à section constante. Nous n'avons à cet égard aucun changement, aucune addition, aucun retranchement à faire au § 3 du chapitre I.
Nous nous bornerons donc à indiquer les procédés pratiques qui permettent d'appliquer à une poutre à section variable la méthode du chapitre 1, sans tomber dans une répétition qui serait sans intéri^t ni utilité.
Nous admettrons tout d'abord, comme nous lavons déjà fait, que la charge supportée par la poutre est toujours assimilable à une charge uniformément répartie couvrant toutes les travées dans le cas de la charge permanente, et limitée dans le cas de la surcharge variable aux zones les plus défavorables pour la section de la poutre que Ton considère.
CALCUL DES MOMENTS FLÉCHISSANTS ET DK3 EFFORTS TRAN- CHANTS PRODUITS PAR LA CHARGE ET LA SURCHARGE VA- RIABLE
t^O. Calcul citô ^uelqaétt intég^rale!» déflaies. — II cou-
tn IMJLTllKS A ÏRAVKKS SOLIDAIRKS.
vient d'abord de chercher pour chaque travée do la poutre les valeurs numériques des intégrales définies qui figurent dans Téquation des trois moments (équation 4 de Tart. 73).
Les dimensions de la poutre étant supposées connues à l'avance, il sera toujours possible de relever, soit sur un tableau numérique dressé ad hoc^ soit sur une épure, la valeur du produit El du coefKcient d'élasticité E du métal par le moment d'inertie I, relatif à une section transversale choisie arbitrairement dans une travée quelconque de la poutre. Ainsi que nous l'avons déjà fait à Tarticle 71, nous renverrons, eu ce qui touche les poutres de hauteur variable, au chapitre IV, où sont énoncées les formules qui servent au calcul de I.
En général, on doit admettre rhomogénéitOide la matière qui constitue la poutre, et le facteur E étant alors une constante, on peut se dispenser d'en tenir compte, le remplacer par Tunité dans le produit El, et se borner à relever^ pour la section considérée, la valeur de 1. C*est*ainsi que nous procéderons et nous ferons disparaître la lettre E de nos formules avec cette réserve que, dans le cas hypothétique oii la matière serait hétérogène, on devrait substituer dans les calculs le produit El au facteur I.
Les intégrales définies à calculer, que nous désignerons par des lettres, sont les suivantes:
tj:^^-^'
{ /•' J-»(/-JS)
I n'est pas en général l'epréscnlô par une fonction algébri-
CH. m. — POLTIU:s CONTIMES a SKCTIO.N variable. i73
que de x\ on ne pourra donc pas intégrer directement ces expressions, et il faudra procéder par quadrature.
On marquera sur la fibre moyenne de chaque travée
-- points équidislants (le nombre — étant d'autant plus grand
que Ton désirera plus d'exactitude dans les résultats *), dont
Técartement commun sera éo^al à — , et Ton attribuera à ces
points, en parlant de la gauche, les numéros impairs 1, 3, o...
i — iy le point 1 étant à la distance —r de Tappui de gauche.
Cela fait, on calculera pour un quelconque de ces points,
dont nous désignerons le numéro d'ordre par 2fona^ = YJ»
les cinq expressions suivantes :
Après avoir effectué cette opération pour tous les points, on fera la somme des résultats dé même espèce, et Ton obtiendra de la sorte les valeurs approximatives des intégrales définies :
-JÙ
zy
Lorsqu^il s'agit d'une poutre symétrique^ d'après la définition que nous en avons donnée à la page 157, on peut simpli-
{. Il conviendra que le nombre — soît pair, en vue de faciliter plus tard l'étude de la déibnnation de Touvrage.
fier les calculs en prenant pour un\i6 de longueur Touverture
L d'une travée intermédiaire. On remplacera dans ces for-
mules / par - pour les travées de rive, et par 1 pour les travées
intermédiaires. D'autre part, on aura les relations : T,„ = U«-m-|-i, Sm=Sn m+t, Vfm~^n-m + u Ce qui réduira do moitié le nombre des intégrales à calculer, puisqu'à partir du milieu de la poutre on retombera sur des nombres déjà obtenus.
90. Calcul de» séries numériques. — Considérons les deux groupes d'équations suivants, où les lettres S, T et U représentent pour chaque travée, distinguée par son numéro d'ordre, les valeurs des intégrales définies calculées précédemment, et w et V les termes des deux séries de nombres que Ton se propose de calculer :
Wl = 1 ,
Ui (T, 4- U,) + w, S, = 0 , WiS, + t^,(T, + U3)H-ti,S8 = 0 ,
l{î/,S8+tl3(T3+U4)+ WvS, = 0 ,
t/,n-ï S|»-.i + W«-i (T«, + Um) + Wm S« = 0 , Un-i S,^i + Un-i (T«i + Un) + t<» Sn = 0 ;
v,(U„ + Tn 0 + ««S,i = O ,
Vi S«.i + Vi (Un-i + Tn-a) + Vg Snr-n = 0 , 2 ( V, Sn-, + t?8 (Un-, + Tn-3) + V* Sn^8 = 0 ,
t?n— m Sm+ t?n-m4-i (Um + ^m—i) + V»— m-fj Sm-i = 0 ,
t?n-, S, + t\i (U, + Ti) + Vn Si = 0 .
Ces nombres m et i? joueront le même rôle pour la poutre à section variable que les nombres désignés par les mêmes lettres, dont il a été question au chapitre I, pour les poutres à section constante (art. 14, page 32).
Ils serviront à calculer les nombres (î et y dont on a besoin pour la recherche des moments. Ceux-ci s'obtiennent à l'aide des formules connues :
GH. III. — POUTRES CONTLXUES A SECTION VARIABLE. 275
Wtn—l Vm—i
p»— 1 9 Ym— î — "~ •
«in * Vm
Ils peuvent, d*ailleurs, être calculés directement, si Ton veut se dispenser d'établir les séries u et y, qui, en définitive, ne sont pas employées dans la recherche des moments. On se servira, en ce cas, des groupes d'équations suivants :
ttm— 1 Sm
Pm— 1 = ' =
Pn^l = —
ttjn Tm— l + Uj» — Sm~l jS»»— 2
«II— 1 Sn
Un Tn— 1 + Un— S,v-i j5»2 '
Pin— 1 Sn— w-t-i
Vm Tu— m-i-l + Uji^-m — Sn-m '/«i— 2 *
©n-i Si
Vn Ti + U, — S, 7n-8
Dans le cas d'une poutre symétrique, les deux séries ^ et y sont identiques : p,„ = y^ , Il suffit d'en calculer une.
9t. Détermination des foyer». — Les abscisses, par rapport à Tappui de gauche m — 1, des foyers F' et F'' de la travée m se détermineront, connaissant la série des nombres ^ et y, à Taide des formules déjà énoncées pour les poutres à section constante.
27(> 1M)IT«MS A THAVÉHS SOLIDAIHKS.
Premier foyer F« , ,x',„ ^ /« r^lT" î
Deuxième foyer F m , x\ = ln { 1 — rr^^^^ = ^« rz:^
Ht. Momieiitfi déiretoppén nnr le» appuis d'ano travée chargée, toutes le» autres étant «upposées ue porter
aueune charge. — Considérons la travée m, sollicilée par une charge uniformément réparlie /?/«, les autres travées étant déchargées.
Les moments sur les appuis m — 1 et m^ que nous avons désignés précédemment parles leltresJn,i et H», seront fournis par les relations suivantes, où W« et Z^ désignent les intégrales définies de Tarticle 70 relatives k la travée m :
j p Zm — M m yn—m
HP W«— Zm ^m— I
'm 4, jii— m j. Q
>>in 1 — pm— 1 Vu—
En résumé, étant bien entendu que les coefficients numériques relatifs h la travée m sont les suivants :
ce qui nous permet de supprimer les indices qui compliquent les formules, les abscisses des foyers et les moments sur les appuis seront fournis parles relations : . .
Premier fover , x = l
Deuxième fover , x' =^l
Moment sur le premier appui , J = — ^ {^B ' Moment sur le second appui , H' = — -r- g* .
83. Courbes représentatives des moiueuts fléeliis« sauts et des efforts traueliants. — Connaissant pour cha*
CH. m. - POITRKS CONTLMES A SKCTION VAUIAIJI.E. 277
que Iravée les valeurs de x , x\S et H, ou opérera pour tracer les courbes des moments fléchissanls et des efforts tranchants, correspondant à la charge permanente et à la surcharge va* riable, exactement comme pour les poutres h section constante.
La marche à suivre est exposée dans l'article 20 du chapitre I, à partir du paragraphe d. Nous n'avons absolument rien à changer ni au libellé des formules énoncées dans cet article, ni à leur mode d'emploi.
Nous jugeons inutile de répéter ce que nous avons dit à ce propos : il n'y a plus à s*occuper ici de la variabilité des sections de la poutre, les calculs étant conduits comme si la sec* lion était constante.
'Dans le cas d'une poutre symétrique, les abscisses des foyers el les moments sur les appuis s'obtiendront immédiatement pour la seconde moitié de la poutre, dès que Ton aura effectué les calculs relatifs à la première, à l'aide des relations qui résultent de la correspondance des travées m et 72 — m + 1 :
Il suffira, d'ailleurs, de tracer Tépure pour la première moi-
■Il 41 I 'I
lié de la poutre jusqu'à Tappui - si n est pair, et — — si n est
impair.
84. Emploi de la stailqae irraphique. — La méthode basée sur le théorème des trois moments est susceptible d'une solution graphique. Après avoir déterminé les valeurs des intégrales définies à l'aide de procédés graphiques, sur lesquels nous n'insisterons pas, il serait facile d'obtenir les nombres p, fournis par des équations successives, au moyen de constructions géométriques. Il en serait de môme des positions des foyers et des moments sur les appuis. Après quoi le tracé des courbes des moments et des efforts tranchants s'effectuerait par la superposition des épures partielles relatives au cas où chacune des travées serait seule chargée, à l'exclusion des antres.
Mais cette manière de procéder est moins claire et plus compliquée que celle de M. Maurice Lévy, basée sur le théorème des deux moments, dont il a été question plus haut.
96. Travée normale. — Nous avons précédemment (page 180) appelé travée normale la travée qui serait précédée et suivie d'un nombre infini de travées égales. Son épure de stabilité est la limite vers laquelle tendent les épures des travées successives d'une poutre symétrique, et dont elles ne diffèrent que très peu dès que le numéro de la travée considérée dépasse six, dans les cas usuels de la pratique. L'étude de cette travée-type peut présenter de l'intérêt, en ce qu elle fournit des indications moyennes sur les conditions de stabilité des diverses travées d'une poutre continue quelconque, lorsqu'il n'existe pas de différences exceptionnelles entre les ouvertures successives.
Pour les poutres à section variable, le tracé de l'épure relative à la travée normale s'effectue avec une grande facilité, les calculs à faire étant notablement simplifiés par l'hypothèse qui consiste à admettre que cette travée est précédée et suivie de travées identiques.
Calcul des intégrales difi>nxes, — Les intégrales à calculer se réduisent à deux:
On a en effet: U=T, ot W=Z = ?S.
Abscisses des foyers.
x'=:l — x^ =r: Y-^ (rouvorlurc / est prise pour imité d'nbscîsse).
CH. m. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARTABLE. 270
Moments sur les appuis.
Charge permanente : A =
2(1 + 13) 2(l + lS)>
(la quanlilé pP est prise pour unité de moment) ;
Surcharge variable
Ap
Points où le moment fléchissant dû à la charge permanente s'annule. — Ces points coïncident rigoureusement avec les foyers, comme pour les poutres à section constante. On a eu effet:
S«. Exemples namériqaes. — Nous avons appliqué les formules de Tarticle précédent dans six hypothèses différentes, relatives aux travées normales de poutres à section variable choisies. Le tableau numérique suivant contient les principaux résultats obtenus et les figures 98 et 99 représentent les épures de stabilité correspondantes.
