A = KM

Nous verrons au chapitre IV que cette condition a pour corollaire la propriété suivante : Taire de la projection sur un plan vertical de la section droite de Tune quelconque des platebandes est une constante, quelles que soient laplatebande et la section verticale de la poutre que Ton considère. Pour abréger le langage, en renonçant à une précision absolue, nous dirons qu'une pareille poutre est h platebandes constanfes, étant bien entendu que cette constance existe, non pour Paire de la section droite, mais pour la projection verticale de cette aire.

Mh h ' Les rapports —■ et -rr étant Tun et l'autre invariables, on voit

immédiatement qu'il en est de même du rapport — . Le moment d'inertie varie proportionnellement au carré M* du moment de flexion limite, la hauteur h variant proportionnellement à la première puissance M de ce même moment.

Travée 4. — Nous avons supposé que /)' était négligeable devant p. La hauteur de la poutre est proportionnelle aux ordonnées verticales de la ligne pointillée (2-4). L'épure de stabilité no diffère pas sensiblement de celle qui concerne la travée 2, ainsi qu'on le voit en comparant les colonnes 2 et 4 du tableau. Elle serait donc représentée par les courbes 2 de la figure 98.

CH. 111. — POLTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 283

Travée 5. — Nous avons supposé que p était négligeable devant p'. La hauleur de la poutre est proportionnelle aux ordonnées vcriicalcs de la ligne pointillée (3, 5. ). LVpurc de sta-

284 POUTllES A THAVÉES SOLIDAIRES.

bilité de cette travée ne diffère presque pas de celle relative à la travée 3 (col. 3 et 5) ; elle serait donc représentée par les courbes 3 de la figure 98.

Les qualre hypothèses limites correspondant aux travées 2, 3y 4 et 5 embrassent tous les cas de la pratique où I varie proportionnellement à une puissance n déterminée de M ; en

effet le rapport -, est toujours compris entre 0 et» , et l'on ne

peut admettre raisonnablement que soit la hauteur, soit Tépaisseur des platebandes, aille en diminuant quand M augmente, ce qui aurait forcement lieu si n était plus petit que 1 ou plus grand que 2. On a ainsi nécessairement 1 < ^* < 2. Lorsque I varie proportionnellement à M**, il en résulte, si R est constant, que A varie proportionnellement à M,i-.i : n — 1 est toujours compris entre 0 et 1.

Travées & etl. — Nous avons suppose pour ces deux travées que p était négligeable devant p\ Dans la travée 6, h est constant dans la partie centrale, entre les deux foyers, et proportionnel îi M entre chaque appui et le foyer le plus voisin. Dans la travée 7, h est constant entre chaque appui et le foyer le plus voisin, et proportionnel à M dans la partie centrale. Pour la poutre 6, les hauteurs soat représentées par les ordonnées do la courbe pointillée (6) et les épaisseurs des platebandes par les ordonnées de la courbe (7).

Pour la poutre 7, les hauteurs sont représentées par les ordonnées de la courbe (7), et les épaisseurs des platebandes par les ordonnées de la courbe (6).

Les courbes des moments relatives à ces deux poulres s'écartent notablement Tune et l'autre de celles correspondant à la section constante, qu'elles encadrent (fig. 99).

9§.Belatioiis entre répare de stabilité et lo loi de variation de la section d'une poutre continue. — L'examen des résultats exposés à l'article précédent suggère différentes remarques, rigoureusement exactes pour la travée normale, qui peuvent être considérées comme également applicables aux autres travées, puisque la travée normale constitue une sorte de moyenne autour de laquelle elles oscillent sans jamais s'en écarter beaucoup.

cil. III. — POITHKS CONTLNUKS A SKCTION N AlUAULi:. 285

a. — Lorsque le moment d*inei*lie varic^ (l'une exlrémilé à laulre de Touvrage, proportionnellement à une puissance déterminée du moment limite M (c'est-à-dire — X — X', ou X + X")j qui fest nécessairement comprise entre 1 (hauteur constante) et 2 (platcbandcs constantes), les courbes des moments se rapprochent d'autant plus de celles établies dans l'hypothèse de la section constante que p/p' est plus petit, et se rapprochent d'autant plus des courbes 3 de la ligure 98, que p/p' est plus grand.

En d'autres termes, l'épure de stabilité dressée dans l'hypothèse de la section constante est exacte en ce qui concerne TefTet de la surcharge variable. Celte remarque curieuse, qui, croyons-nous, n'a jamais été faite jusqu'à présent, nous conduit à formuler comme il suit la règle à suivre pour obtenir une épure oiTrant toute garantie d'exactitude : 1° Etablir la courbe enveloppe des moments fléchissants dus à la surcharge comme s'il s'agissait d'une poutre à section constante, saiis poids propre ; 2° Etablir la courbe des moments dus à lacharge permanente, comme s'il s'agissait d'une poutre à section variable, soustraite à Vaction de la surcharge. La réunion de ces deux courbes constituera l'épure cherchée, le moment Ms'obtenant par l'addition des moments partiels, X' ou X" fournis par la première épure et X fournis par la seconde.

Cette règle est rigoureusement exacte pour les poutres de liauteur constante : on a en effet le droit de considérer un ouvrage de ce genre comme formé par la juxtaposition de deux poutres de môme hauteur dont on a calculé séparément les platebandes de façon que Tune supporte dans des conditions convenables la charge permanente et que l'autre résiste aux effets de la surcharge variable. Les courbes des moments, exactes pour chaque poutre partielle considérée k part, le seront aussi pour l'ouvrage de même hauteur obtenu en les réunissant et soudant leurs platebandes.

Soient Mi et Ii, M, et Is les moments de flexion et les moments d'inertie partiels, relatifs à chacune de ces poutres élémentaires pour une même valeur de x.

286 POUTRES A THAVKES SOLIDAIRES.

On a :

2Ii 2Ia 2(ïi+Ij)

Or Ml + Mi est précisément le moment de flexion, et Ii+I| le moment d'inertie relatifs à l'ouvrage complet.

Pour des poutres de hauteur variable, cette règle n'est qu'approximative, parce que les poutres partielles étudiées n'auraient plus la môme hauteur dans les sections correspondantes et que par conséquent on ne peut considérer l'ouvrage complet comme obtenu par leur juxtaposition : comme il faut de toute nécessité les ramener à la même hauteur avant de les réunir, on voit qu'aucune d'elles ne satisfait à la condition /^ = KM*, et que par suite, les courbes tracées n'étant exactes ni pour Tune ni pour TautrCjiln'y a pas lieu de compter qu'il en sera autrement pour l'ouvrage complet. Toutefois larfegle énoncée donne même en ce cas des résultats suffisamment voisins delà vérité pour qu'il soit permis d'en faire usage dans la pratique.

Nous rappelons que les poutres étudiées doivent satisfaire à la condition :

I = KM*, qui a pour corollaire la relation suivante applicable à la moitié de la hauteur : /i = — - = — M*~* , où —

est une constante.

Donc h est proportionnel à M*~*.

b. — Lorsque la loi de variation du moment d'inertie n'est

pas représentée par une relation de la forme : — = const, il

est impossible de rien affirmer en ce qui touche les courbes des moments, qui peuvent s'écarter notablement des lignes relatives à la section constante.

Mais on peut faire à cet égard différentes remarques : 1° Lorsque le moment X dû à la charge permanente est plus grand, en valeur absolue, pour la poutre à section variable que le moment X calculé pour la section constante, il en est de

CH. 111. — POUTRKS CONTIM'ES A SECTION VAHIAULE. 287

même du moment limite de même signe (X' ou X'') dû à la surcharge variable : SX est toujours de même signe que SX' et SX''.

2* On peut diviser une poulre quelconque en un certain nombre de zones, dont les limites sont toujours voisines des foyers, dans Télendue de chacune desquelles le moment maximum M est : soît positif (zones positives, comprenant le centre de chaque travée) ; soit négatif (zones négatives, comprenant un appui et limitées entre les foyers voisins de deux travées consécutives).

Lorsqu'on fait croître le moment d'inertie d'une section déterminée en augmentant sa hauteur, ou l'épaisseur des platebandes, on fait croître en même temps la valeur absolue M du moment limite dans cette zone, et on la fait décroître dans les zones adjacentes. L'effet produit est d'autant plus grand que la section considérée se rapproche plus du centre de la zone (appui pour les zones négatives, milieu de l'intervalle des foyers pour la zone positive) ; en même temps on écarte de la section renforcée les foyers qui l'encadrent. Par exemple si I augmente sur un appui, les X négatifs et les X' augmentent, tandis que les X positifs et les X" diminuent.

Dans le voisinage immédiat des foyers, on peut modifier arbitrairement le moment d'inertie de la poutre sans rien changer aux courbes des moments.

3** On conçoit qu'il soit possible de faire varier la section suivant une loi telle que, les effets produits sur les zones successives se compensant, les courbes relatives à la section variable coïncident exactement avec celles relatives à la section constante.

Cette concordance s'obtient précisément, comme on l'a vu, en supposant constante la hauteur de la poutre, en ce qui concerne les moments dus à la surcharge variable, mais non pour les moments dns à la charge. Pour obtenir le même résultat

avec une valeur donnée de -, en ce qui touche la travée nor-

maie, il suffirait de faire croître légèrement la hauteur à partir de chaque appui jusqu'au centre de la travée, et Ton obtiendrait ainsi une poutre à section variable ayant même épure

tHH Fori'HKS A TKAVKfciS SOLIDAIHES.

(le stabilité que la poutre k section constante. Cette disposition serait d ailleurs irrationnelle, et cette remarque n'est faite qu'à un point de vue purement spéculatif.

c. — Supposons qu'après avoir dressé Tépure d'une poutre continue dans Thypothèse de la section constante, on s'en soit servi pour établir les dimensions provisoires d'une poutre à section variable. Nous ne ferons d'ailleurs aucune hypothèse sur la règle suivie pour la fixation delà hauteur en un point quelconque de Touvrage. Après avoir refait, dans l'hypothèse de la section variable, les calculs de stabilité relatifs à la poutre provisoire, ou devra corriger, à l'aide des indications fournies par cette dernière épure, les dimentions admises dans le principe. Pour obtenir un résultat satisfaisant, il sera bon démultiplier par 3/2 les écarts constatés entre les deux épures, afin de tenir compte du nouveau déplacement des courbes des moments, qui résultera des dernières modifications apportées à la pou* tre.

Supposons par exemple que, les moments limites relevés sur la première épure (section constante) en deux points A et B déterminés de la poutre étant Ma et Mb, les moments correspondants sur la seconde épure (section variable) soient égaux respectivement à 1,15 Ma et 0,92 Mb- Il faudra calculer les dimensions définitives de la poutre, en admettant pour valeurs respectives des moments aux points A et B :

et

Mv(l+,^ • 0,15) = 1,225 M,;

Mb (i — ; • 0,08) = 0,88 M" .

On sera à peu près sûr de cette façon de ne pas commettre d'erreurs imporlantes,etd obtenir une poutre définitive dont les dimensions concorderont en tous les points avec Tépuro de stabilité exacte.

SH. €^n d'une eharir^ irrégulièrement répartie. — -

Nous avons admis jusqu'à présent que la charge et la surcharge étaient uniformément réparties sur la longueur de cha-

CIL III. - POUTRES CONTINUES A SIÎGTION VAIUAHLE. â80

que Iravéc. Celle hypollièse n\^sl pas absolument exacte, quoique s'écartant peu en général de la vérité. On pourrait se proposer, en vue d'arriver à des résultais plus conformes à la réalité, de tenir compte de l'irrégularité de la charge permanente, dont la valeur par mètre courant varierait d'un point à Tautre de chaque travée. Il peut en être de même de la surcharge, représentée par un train de chemin de fer dont les différents essieux ne porteraient pas le même poids.

On pourra aisément, sans compliquer les calculs d'une façon sérieuse, arriver au résultat voulu.

1® Il conviendra de tracer pour chaque travée, dans Thypo- Ihësc où les deux extrémités seraient simplement appuyées, les courbes des moments fléchissants dus soit à la charge, soit à la surcharge .irrégulière, supposées connues a priori (la charge permanente sera fournie par l'avant-métré provisoire de la poutre ; la surcharge sera définie par le programme des épreuves auxquelles l'ouvrage devra être soumis). Nous admettons que le tracé de ces courbes ne présentera aucune difficulté, soit que l'on emploie la méthode graphique pour le tracé du polygone ou de la courbe funiculaire, soit que Ton ait recours au calcul algébrique. On sait que Ton a :

f{x) == Y^'^ — (/ — x) -j- ^^ -^-j-^ X , dans le cas de poids isolés (page 9), et

f{x) = J ^'^^ ^^^'' + X ^ ^^"^'') ^'* ' ^^^^ '® ^^^ A'Mna charge définie algébriquement [p étant fonction de ;*).

2" Soit f[x) l'ordonnée de celle courbe correspondant à un point d'abscisse x pris sur une travée déterminée: on Uobtiendra par un simple mesurage effectué sur l'épure.

Les inlégraleSj définies W et Z de l'article 79 auront pour expression :

et

Z = j rf{.r){l^x) dx.

îf90 POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.

On les calculera sans difficulté par la méthode de quadrature de rarticle 79, en relevant sur Tépure pour chaque point considéré les valeurs correspondantes de f{x) et I.

Dans les formules des moments J et H, on substituera les valeurs de W et Z aux produits p W et /? Z qui y figurent : on obtiendra ainsi les moments sur les appuis relatifs à la travée considérée, on la supposant seule chargée.

3"^ Les courbes des moments Héchissants seront représentées dans toutes les hypothèses par des relations de la forme :

X = Xm-i + {^m--i — Xm-i) 7 + f{x).

Si la travée est supposée chargé, f[x) sera fourni par Tépuro déjà dressée.

Dans le cas où la travée ne serait pas chargée, la formule serait :

X = Xm— 1 -}- (Xm — s — Xm — i) r ^

et / (x) n'y figurerait pas.

Dans le cas de la travée partiellement surchargée, que l'on a à considérer pour l'étude des effets de la surcharge variable, il serait trop compliqué de tenir compte de l'irrégularité de la surcharge. On appliquera donc les formules relatives à la surcharge uniforme, Terreur commise ne pouvant jamais représenter qu'une fraction insignifiante du moment fléchissant.

Cette règle serait également applicable aux poutres à section constante portant des charges irrégulières, en y considérant I comme une quantité invariable. Mais on n'aura jamais occasion d'en faire usage. Comme en réalité les poutres que l'on construit sont toujours à section variable, Terreur commise, en leur attribuant dans le calcul une section constante, a des conséquences plus importantes que celle imputable à la substitution d'une charge uniforme fictive à la charge irrégulière relie. Ce serait donc bien inutilement qu'on se donnerait la peine de corriger les conséquences de Tinexactitude la

CM. m. - l'OUTRKS CO.NTINLES A SECTION VARIABLE. 291

moins importante, alors qu'on ne tiendrait pas compte d'one antre plus sérieuse.

En fait, l'irrégularité de la charg'e et de la surcliarge n'a jamais une influence assez sensible sur les conditions de stabilité pour qu'il y ait un inconvénient grave à leur substituer des charges et surcharges uniformes, équivalentes comme poids total.

En ce qui tnuche les efTorls tranchants, il n'y a pas à se préoccuper de l'irrégularité des charges. Nous jugeons donc superflu d'énoncer les formules que l'on obtiendrait en différcnfiant par rapport à j: les équations relatives au calcul des moments fléchissants. Il n'y aurait qu'à faire entrer dans ces for-

forts tranchants dans l'hypothèse où les deux extrémités sont simplement appuyées. Le tracé de celte courbe n'offre aucune diflîculté, du moment que l'on connaît la charge.