DÉFORMATION. — DENIVELLATION DES APPUIS. LANCEMENT

S9. Déplaeementit angulalreii de la flbre Hur les

appuis. — Soient Q>n-i le déplacement angulaire sur le premier appui d'une travée quelconque, et Om le déplacement sur le second appui.

Nous avons les formules générales :

dx ,

Eu représentant les intégrales définies calculées pour la recherche des moments par les lettres qui leur correspondent

202 POIÏKES A TKAVKES SOLIDAIRES.

(page 83), cl conservant les nolalious de rarlicle 30 (page 124) relatif à la déformation des poutres à section constante, nous obtiendrons les relations suivantes, qui donnent les différentes valeurs de 0,>i.i et de bm correspondant aux cas de charge et de surcharge définis à Tarticle 21.

Charye permanente :

6fH— 1 == — û (U • A;h— 1 + S . Am + Z) ; e^ = + 7, (S . A,„-, + T . Am + W> Surcharge variable :

Maximum positif, O'm-i = — ^ (UEw— i + SDm) ; Maximum négatif, 0"w— i = — ^ (UDm-^i + SE,» + Z) ; Maximum négalif, 0'?» = tz (SEm- i +TDm) ;

Maximum positif, 0"m = p (SDm i + TEm + W).

Dans ces formules, E représente le coeflicient d'élasticité du métal supposé homogène : dans le cas hypothétique d'une poutre hétérogène, la valeur variable de E figurerait implicitement dans les intégrales S, T, U, W et Z. Il y aurait donc lieu de faire disparaître cette lettre des équations.

Il convient de remarquer que, dans toutes ces relations, la lettre E représente le coefficient d'élasticit-é du métal, tandis que les lettres E,ii-.i et E;„ sont les moments développés sur les appuis m — 1 et m par une disposition parliculière de la surcharge : c'est un vice de nolalion qui pourrait, le cas échéant, donner lieu à dos erreurs. Nous aurions déjà dû le relever, à propos des poutres à section constante (art. 31 et art. 58).

•O. Flèelie d^abaisseiiieut au milieu d-unc travée.

— Nous conserverons, en ce qui concerne la désignation dos flèches et des moments, les notations de l'article 31.

Cir. m. — POITRKS CONTINUKS A SKlTIUN VAHIAUM:. 203

L'ordonnée y de la Hbrc déformée, pour uq point de la travée m dé&ni par son abcisse », est donnée par tes relations suivantes, déjà énoncées fi la page 16 :

Q„j t s'obtiendra, quelle que soit l'bypothèsc faite sur la répartition de la surcliarge, ii t'aide d'une des formules de l'article 89. En remplaçant X par sa valeur connue X|H-

{X, — X,) tH-/'(j:), nous transformerons la rclalion précédente de façon que tes intégrales délinies puissent toutes èlre élablies en s'aidant des calculs déjà faits (page 273) pour la recherche des momonis. Il n'y aura, en offel, qu'à limiter, au

point de division portant le numéro (i — 1)7,1» sommation

des nombres partiels qui donnent S, T, U, W et Z pour obtenir les valeurs des inlé»Talea enire les limites o et M :

Considérons le point pour lequel u =^ j, et clicrctions, dans tes divers cas indiqués à t'arlicle 31, la valeur de la flèclic d'abaissement au milieu de ta travée, qui est égale à l'ordonnée y changée de signe.

L'expression générale de la fl^clie est :

Désignons par S', U', W et Z' les valeurs obtenues en limitant les intégrales définies de l'article 79 au milieu de la travée :

S'^yr'llLzi.) etc.

Nous obtiendrons les expressions suivantes pour la flèche d'abaissement, dans les différents cas de surcharge variable de l'article 31. Les déplacements angulaires Om-i, 6m-i et 6"fl,-i doivent être calculés à Taide des formules de l'arlicle précédent.

Charye permanente :

Surc/iarf/e rariahle :

Relèvement maximum négatif,

Abaissement maximum,

/"= - [ e"^«,+ g [{S -U') Dm-i 4-(r -S') E„, + W - Z'] ;

Amplitude totale de Toscillalion,

F = - i (6"m^,-e'«^0+ 2E [(S -- U') (Dm-,, - £«,>.) +(T'-S') (Em - Dm) + W — Z'].

•1. ElTets produits par la dénivellation des appuis. — Reportons-nous à l'article 37 du chapitre 1, dont nous conserverons les notations. L'équation (5) de la page 263 nous fournira le moyen de calculer les moments sur les appuis, produits par le déplacement vertical y d'un appui déterminé. Nous croyons inutile d'enlrer dans le détail des recherches, qui devraient être conduites absolument comme pour les poutres à section constante, et nous on énoncerons immédiatement les résultats.

Déplacement y de T extrémité yauche de la poutre y c'est-àdire de l'appui 0.

Mo = 0,

Ma = — Yn— 2 Ml ,

M8 = — Yn—iMs etc

CH. III. — POUTRES CONTINUES A SECTION VAHIABLE. 295

Déplacement y du second appui.

7 +7 0+7—1) M. = -Eytî — !î ,

Ti + U,— S, 7«,

M3 = — Y*-8 M, , Mt = — Y11-4M3 .

Déplacement d'un appui intermédiaire m.

Mm = — Ey -hl^^ ^^^

„ r ( ^^y XM \ \ . /El \

M»t-f t =^ """ Y»— m— j Mm-j-t

Mm— f — — pm—i Mm— t

M;n- 3 = — pm— 3 Mm— J elc

Mm+8 — — Y*^w— « Mm+«

etc

Toutes les lettres qui figurent dans ces relation», à Texcep* tion des moments M, représentent des quantités connues. Le calcul des moments sur les appuis ne présente donc aucune difficulté, et le tracé de Tépuro relative à la dénivellation des appuis s'effectuera comme pour les poutres à section constante (page 138).

••• Eifel* du laneement. — Le tracé de Tépuro des moments fléchissants et des efforts tranchants s'effectuera exactement d'après les mêmes principes et avec les mêmes formules que dans le cas de la section constante (article 43, page 143). Nous n'avons rien à ajouter à co qui a étd dit sur ce sujet.

En ce qui concerne le calcul de la tlëche d'abaissement subie par l'extrémité antérieure de la travée en porte-à-faux, la formule subit une légère modification, qu'il est bon d'indiquer.

206 POUTRES X TRAVKES SOLIDAIRES.

Désignons par m le numéro de la travée qui précède celle en voie de lancement et par X la longueur de la partie en porte-àfaux. Soit i {x) le moment fléchissant négatif développé, dans la partie en porte-à-faux, à la distance ^rdeTappui. L'épure des moments fléchissants fournit ce renseignement pour un point quelconque de la travée.

Nous désignerons toujours par Xm-i et X» les moments sur les appuis m-i et wi, et par T», S« et Wm les intégrales définies relatives à la travée m.

La formule donnant la flèche d^abaissement à Textrémité du porle-à-faux est :

/ = r; ( — Xm T,,, ^-X„î i S ;a — pWm ) — j -Yf" V i^y^^-

L'intégrale définie pourra toujours dire calculc^e par quadrature pour une valeur quelconque de >.

Si Ton admet que le poids de la partie en porte-à-faux soit assimilable aune charge uniformc^ment répartie p'% A(.r) dc-

vra être remplacé par — - — -^ — .

D'où : /= l (-X,„ T„, - X„..., S,n-p W,„) +p''j^ ^ dx

Dans le cas hypothétique où la fibre moyenne demeurerait horizontale au droit de Tappui m, considéré comme une section d'encastrement, le premier terme de l'équation disparaîtrait :

^-— '— rfo? (montage des poutres en encorbellement.

Dans le cas de la section constante, on aurait la formule connue :

CH. I». — POITRKS CONTLM ES A SECTION VARIABLE. 297