MÉTHODE DE M. DES ORGERIES POCR LES. POUTRES DE HAUTEUR CONSTANTE
•8. Fornialett ir^nérales. — D'après Tétude précédente, lorsqu'on veut effectuer avec exactitude les calculs de stabilité relatifs à une poutre h section variable, il faut auparavant avoir déterminé à titre provisoire les dimensions de cet ouvrage, en se basant sur les résultats des calculs effectués dans riiypothëse de la section constante.
Il existe un cas particulier où cette recherche préalable n'est pas nécessaire, et où il est possible d'établir immédiatement et directement les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants d'une poutre à travées solidaires, sans autres données que celles qu'exige Tétude des poutres à section constante. Ce genre de poutres, dont M. Reiwust Des Orgeries a donné la théorie dans les Annales des ponts et chaussées de 1871 (tome II, page 170), est caractérisé par les conditions suivantes : 1^ la hauteur est constante d'un bout à l'autre de l'ouvrage ; 2" la charge et la surcharge sont uniformément réparties sur la longueur de chaque travée, sans d'ailleurs conserver nécessairement la même valeur d'une travée à la suivante ; 3* on ne considère qu'une disposition déterminée de charge et de surcharge^ pour laquelle la poutre doit se comporter comme un solide d'égale résistance. Les courbes, qui figurent sur les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants, ne sont plus ici des enveloppes donnant les valeurs maxima relatives à la charge et à la surcharge variable. Ce sont, pour les moments fléchissants, des paraboles qui se rapportent à la charge et à la surcharge complète considérées simultanément, et, pour les efforts tranchants, les droites correspondant à ces paraboles.
Nous allons exposer sommaironiont celle méthode^ en ren-
voyant pour plus amples détails à rarlicle précité des Amiales des ponts et chaussées.
Soit 1, 2 une travée de poutre continue remplissant les conditions ($nonc(^es plus haut. Soit;? la valeur par mètre courant de la charge et de la surcharge cumulées. La parabole
Fig. 100,
des moments fléchissants coupera la fibre moyenne en deux points A et B, dont nous désignerons par a et b les abcisses mesurées à partir de Textrémité de gauche 1 de la travée. La hauteur de la poutre h étant constante, ainsi que le travail maximum R à la flexion développé dans Tune quelconque des semelles, on a la relation :
El ~ E/* p '
p est une constante, rayon de courbure invariable de la fibre moyenne déformc^o, qui se compose de 3 arcs de cercle, assimilables sans erreur appréciable à des arcs de parabole, se raccordant sur les verticales des points A etB.
L'arc central AB (X positifs) tourne sa concavité vers les y positifs, et les arcs latéraux (X négatifs) vers les y négatifs.
En intégrant Téquation fondamentale j-^ = -• = ± -, nous
CUV'' t-él P
obtiendrons les équations de ces trois arcs.
Désignons par Oi el B| les déplacements angulaires de la fibre déformée (primitivement rectiligne) sur les appuis 1 et 2, que nous supposerons invariables. Nous obtiendrons, en intégrant la formule générale, les relations suivantes :.
^«. m. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. Î99
'^vx^ie
r arc
py = — T + p^'^'
Second arc ' ^ a?t
^^ojsieiïie arc < ^^ î ., ^ ^ x
^s constantes d4ntégralion du 1*' et du 3* arc ont été dé- ^^'^inées en exprimant que les courbes passent respective-
^^^t j>ar les points 1 et 2, pour lesquels y=o et - =|g^.
^^s c^onstantes C et C relatives au 2« arc se calculeront en
^^încà^nt que les trois courbes se raccordent au droit des
dy points j^^et B; on égalera les valeurs données pour y et ^
pari ^^^^ deux premiers systèmes d^équations pour x=a, et par
!^^ ^^ x:m.x derniers pour x = b.
^^ ^déterminera ainsi les constantes C et C et Ton obtienplus deux équations de condition :
2 (/ a)« - 2 (/ — i)* = l{l- 2peO , 2 (A« a*) = / (/ + 2p9,) .
moments sur les appuis X, et X, peuvent être évalués ction des abscisses « et i des points de rencontre de la oie et de la fibre moyenne I.
dra
Xi = — ^pab, X,^-{p(l-a)(l-b), nsidérons maintenant deux travées consécutives de la
300 POUTRES A TRAVÉKS SOLIDAIRES.
poulre : 1,2 cl 2,3. Nous distinguerons par des accents les lettres qui se rapportent à la seconde : p\ f, a, b\
En vertu de la continuité de Touvrage, le moment X, et Tinclinaison 0* de la libre moyenne sur l'appui commun sont les mêmes pour Tune et l'autre travée.
On a, en appliquant les relations qui précèdent :
1"^ travée: 2 (6'— û^) = / (/ + 2pÔ,) , X,==-^/;(/—û) (/—*); 2" Iravée : 2 (/' — a'y — 2 (/' — ô')« = l' {l' — 2pO,) ,
Eliminons 6j et Xj entre ces quatre équations ; nous aurons deux formules nouvelles^ ne contenant plus que les inconnues «, i, a et h\ qui expriment la condition de continuité de la poulre sur l'appui 2.
(II) ^ p (l-a) (l-b) = ^ pab\
Rien ne nous empoche d'établir deux équations semblables pour chacune des w — 1 sections d'appui de la poutre comprises entre deux travées consécutives (à Texclusion des appuis extrêmes). Il en résultera deux groupes (I) et (II) chacun de n — l relations entre 2;i — 2 inconnues, savoir les a et ft des 71 — 2 travées intermédiaires, le b de la première travée, et Va de la dernière. On sait que a = o pour la première travée et b = 1 pour la dernière.
Le problème est donc déterminé, et l'on peut calculer pour chaque travée les abscisses a oÀ b des points A etB : cela fait, on tracera la parabole relative k chaque travée, soit immédiatement, soit après avoir calculé les valeurs des moments sur les appuis.
Théoriquement, cette solution est des plus élégantes : elle consiste k substituer à la formule des trois moments ou à celle des deux moments, dont l'application est difficile et compli-
Cli. ni. — roLTKKS GONTLM KS A SKGTION VA»{IA»JJ:. aol
quéc pour les poulres à section variable, les relations (I) et (II) qui, dans le cas présent, expriment d'une façon simple la continuité de la poutre.
Pratiquement, la méthode de M. Des Orgeries n'est pas irréprochable. Il s'agit de résoudre 2n — 2 équations simultanées du second degré à 2n — 2 inconnues. Pour y arriver, on se donnera arbitrairement la valeur d'une inconnue, par exemple le b de la 1"* travée : i,. Les équations I et II relatives au second appui 1 permettront alors de calculer, par la résolution d'une équation du 4® degré et d'une équation du !«' degré, les quantités a, et 6* relatives à la 2® travée. On opérera de mémo pour les abscisses £73 et Ô3 relatives à la 3* travée, et en procédant ainsi pour les travées successives, on arrivera à la dernière pour laquelle on calculerai» et ô„ : cette dernière abscisse doit être égale à Ai, si Thypothèse faite sur la valeur de ô, était justiiiée.
Si, ce qui arrivera en général, on s'est trompé, l'opération aura été infructueuse, et il faudra la recommencer, en partant d'une valeur de 6^ rectifiée d'après les indications du premier calcul. On sera ainsi amené à résoudre un certain nombre de fois un système de n — 1 équations du 4" degré et de 71 — 1 équations du 1*' degré, avant d'arriver à un résultat suffisamment exact.
Une telle perspective est peu attrayante et Ton conçoit que les constructeurs soient peu disposés à adopter la méthode de M. Des Orgeries, lorsqu'ils ne peuvent faire usage des tables numériques dressées par cet auteur pour les poutres symétriques de deux, trois, quatre et cinq travées, et publiées dans les Annales à la suite de son mémoire.
•4. Méthode simplifiée. — II est heureusement facile, en modifiant légèrement la méthode dont il s'agit, de la rendre absolument pratique, en ce qu'il suffira de résoudre une seule fois un système de n — i équations du 1°' degré pour obtenir les valeui's des moments sur les appuis de la poutre.
Il convient d'abord de calculer les moments sur les appuis et les abscisses a et 6 (désignées aux chapitres I et II par les lettres Xi et ^2) dans l'hypothèse de la section constante. Si la
sot l'OlTRES A TUAVKES .SOL(DAIHIiS.
poutre étudiée est symétrique, et que l'on admette l'uniformité de la charge par unité de longueur p poor toutes les travées, les valeurs des moments sur les appuis et les abscisses a et A seront fournies immédiatement par la table numérique II insérée à la fin de ce volume, toutes les fois que S sera compris entre 0,7 et 1 ,30, Les moments et les abscisses on question figurent en effet dans les colonnes de cette table intitulées a,, Xi et Xf
Les valeurs obtenues s'é':artenl toujours très peu de celles qui se rapportent ii la m^nie poutre considérée oomme un solide d'égale résistance et de hauteur constante : la différence entre deux nombres correspondants est assez petite pour qu'on puisse considérer comme négligeable toute erreur de même ordre que le carré de celte différence.
Soient Xm le moment sur l'appui m fourni par la table II et Xm-I-^^'" 'c moment relatif au solide d'égale rdsistaoce. Le rapport -^ — ne dépasse guère la fraction 0,13 ; on peut donc
considérer comme négligeable au point de vue pratique une erreur (SXm)', qui ne représenterait au plus que 0,02 de la valeur du moment lui-môme.
Cela revient à admettre que les différences XX, ta et S6, à déterminer pour passer des valeurs relatives à la section constante à celles qui se rapportent au solide d'égale résistance, peuvent être assimilées à des différentielles et calculées en conséquence.
Soient donc : Xn)i, Xm^a et Aies moments et les abscisses relatifs à une travée quelconque m dans l'hypothèse de la section constante; Xm— i + SXw-i, Xm 4- 8Xm, a -f Sa et A+SA les valeurs relatives au solide d'égale résistance. Il s'agit d'évaluer 8Xm-i, 8X,n, Sa et 86, connaissant Xn»-,, Xm, a et A.
Les équations relatives à la travée m
X,-,=-!;,«4 cl X„ = -5((-a)(i-S), donnent, en les différenciant :
(i) SX., = -jp(-i8iH-4So),
CH. III. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 303
(2) ^Xm=+~p[{b—a)U-i-il-b)U] On aurait de même pour la travée suivante m-^-i :
(3) SXm = — ^ jo {aW + b'ia') ,
(4) 8X,„+,= i p [il' - a') U' + (/' - V) W]
Considérons l'équation (I) de la page 300. Cette équation doit se vérifier lorsque Ton remplace les lettres a, 6, a' et ô' par les valeurs numériques a + S6, a'+ Xô', ô + Sô, 6' + S6' qui correspondent au solide d'égale résistance.
D'où :
hi ^ a} 2bn — 2aâa {V — a'y - (/' — by- (5) -y- + ^ +
Nous pouvons éliminer les inconnues Sa, X6, Sa' et SA' entre les cinq équations qui précèdent, et obtenir ainsi une relation entre SXm-i, SX«, et8X„4.,.
Pour simplifier les formules, représentons par des lettres un certain nombre de coefficients numériques dépendant uniquement des quantités connues /, a et 6, qu'il sera nécessaire de calculer pour chaque travée :
pi* 6 — a
pi* b — a
p^A (l-a)* + (l-b)* pi* b — a '
La relation existant entre les accroissements SX,»-.,, SX» et SXm-).| des moments relatifs à trois appuis consécutifs sera, en
30i POLTHES A TKAVKES SOLIDAIRES.
foncliou des coefficients numériques calculées pour les Iravécs intermédiaires m et m + 1 •
On pourra établir une formule semblable pour cbacun des points d'appuis intermédiaires de 1 an — i, ce qui donnera ?i — 1 équations simultanées du i*' degré entre ?i — 1 inconnues (SX, , SXi SXn-2, SXn— i) :
(Ni + P,) SX, + M, SX, = Qi + R,
M, SX, + (N, + P,) SX, + M3 SX3 = Q, + R.
(l)/M;»SX,„,+ (N,H+Pr«+,) SX,„ + M,„+, SX„+,= Q>»-hR>,,+,
'm„-,SX„,>3+(N.-,+P„,)SX„,+M«>,SX»,=Qh..+R„^i Mh,SX„, + (N„, + P„ ) SXn-, =Q«-i+R« .
Pour résoudre ce système d'équations, on commencera par calculer une série de nombres auxiliaires v, fournis par les relations suivantes, qui se déduisent de celles du groupe i par la suppression du second membre, c'est-k-dire du terme
connu, et la substitution de r, à SXn~, , t?j à SX».
Vn—i à SX,, et Va k SXo (dans la première équation on peut considérer le premier terme comme fourni par le produit MiSXo , où SXo est nul) ; nous poserons de plus : r, == 1
Mn-,t',+ (N„^,+Pn)r,=0 ,
M«-s V., + (^n-s + P«-i) Vi + M„^i y, = 0,
(2) { M;„ !;««+, + (N;H+Pm+,)r„,„ + Mm+it'*-m-i=0,
M, t'„, H- (N, + P,) Vn-2 + M3 1'„^3 = 0 , Ml t\ + (M, + P.) r„, + M, Vn^, = 0 ,
Connaissant t\, la seconde équation du groupe fournit v^,
CH. ill. — POLTUKS CONTLM KS A SECTION VAKIAULK. 303
puis la troisième donne v^. ci ainsi de suite jusqu'à la dernière, d'où l'on tirera ri».
Multiplions les deux membres de la première équation du groupe 1 par t;„i , les deux membres de la deuxième par
Vn^i 5 etc., ot enfin les deux membres de la dernière
par t\.
Faisons la somme de toutes ces équations modifiées : les coefficients de tous les moments s'annuleront, à part celui de Xi , qui sera égal à (iNi + P.) !'«-! + Mi?;»-^ ou, ce qui revient au nu;mc, à — Mt r,» .
Nous obtiendrons en définitive Téqualion à une seule inconnue : — M, Vrt SX, = (Q4 + R,)rn i -|-(0j+ Rj) v»3-t-.. +(0„-i4-R„)r, ;
d ou : Sa,-- — —
M, Va
Le second membre de celle relation se calculera sans difficulté, puisque toutes les lettres qui y figurent représentent des termes de séries numériques calculés à Tavance : M, Q, R, v. Connaissant SX,, la première équation du groupe 1 fournira SX,, la seconde, après substitution des valeurs trouvées pour SX, et XXj, fournira SX3, et ainsi de suite jusqu'à la dernière, d'où l'on tirera : 8Xn~i.
En définitive la recherche des moments supplémentaires SX» n'exigera que la résolution de 2/1 — 2, équations successives du 1" degré, savoir les 71 — 1 dernières du groupe 2 et les n — 1 du groupe 1.
Si l'ouvrage étudié est une poutre symétrique, il faudra s'arrêter, dans le second calcul, au moment relatif à l'appui qui précède immédiatement le milieu de Touvrage ou coïncide avec lui, puisqu'à partir de cet appui les moments déjà calculés se reproduisent dans Tordre inverse, en vertu de la symétrie. Par conséquent le nombre des équations du 1" degré à résoudre se
réduira dans ce cas a —^— ou —x^, suivant que ?i sera pair ou
impair.
POLTRKS A TRAVEES SOLIDAIRES.
Pour un appui de la travée normale, on a :
A litre d'exemple de la méthode simplifiée que nous proposons de suivre, nous ferons la comparaison des résultats qu'elle donne pour une poutre de 5 travées égales (n = 5, S = 1) avec les résultats exacts fournis par la méthode de M. Des Orgeries et empruntés au mémoire publié dans les Annales.
Premier appui
Second appui
Moments
correspondant
à la
section
constante
Moments correspondant à la section yariable
Méthode exacte
Méthode simplifiée
Erreur commise
Absolue
Relative
ÎÔ5 J
L'erreur commise ne représente que le dixième de l'écart existant entre le cas de la section constante et celui de la section variable, et ne s'écarte guère du centième de la valeur absolue du moment : elle n'a donc pas grande importance, et, au point de vue de la pratique, la méthode simplifiée vaut la méthode exacte.
•5. Flèehe d^anaissemeut. ^ La flèche d'abaissement au milieu de la travée est donnée, en fonction des abscisses a et b {mesurées sur V épure relative à là poutre à section variable) par la relation :
= -L ( 3? + 8/6 — ka' — 46').
Cfl. III. — POUTRES CONTINUES A SECTION VARIABLE. 307
Il peut sembler ÎDtéressant de comparer les résullats fournis parcelle formule avecles flèches /i calculées dans Thypollièse de la section conslanle, en allribuant dans ce dernier cas à R la valeur qui se rapporle k la section de la travée la plus fatig:uéc, c'esl-à-dire à la seclion où le moment fléchissant atteint son maximum (c'est en général un appui). Nous examinerons Irois cas particuliers :
Travée normale.
Section variable : /:=-- = —.;
