DE HAUTEUR VARIABLE

i04. Convention» et défluitions. — Soit ÂxVBB' une portion d'ouvrage métallique de hauteur variable, formée do deux platebandes AB et A'B' reliées par ime barre de triangulation A'B, de direction rcctiligne. Soit rj(j Taxe longitudinal ou fibre moyenne de Touvrage , courbe située dans le plan vertical do symétrie ABB'A' et que nous définirons comme il suit. Menons une normale quelconque MM' à cette courbe : son pied G est le centre de gravité de la surface que Ton obtiendrait en projetant sur le plan de la section transversale MM' (normale à la fibre moyenne (jff) les sections droites des deux platebandes en M et en M '.

Soient w la section droite de la platcbande AB en M, et ot l'angle que forme la tangente en M à AB avec la tangente en G à yy '; iù et a' la section droite et l'angle relatifs à la platebande inférieure A'B'. Désignons encore par a et d les longueurs des segments MG et M' G. On a, en vertu de la définition que nous venons de formuler :

Fig. 103.

ûci) cos a = a'(o' cos a'.

Connaissant la forme générale de Touvrage, on pourra toujours tracer par points Taxe longitudinal gg\ en se basant sur la propriété caractéristique du point G ; on relèvera ensuite sur le dessin les longueurs a et d et les angles « et a\

3â4 POUTKES A TRAVÉES SOLIDAIKES.

La hauleur A, Taire û cl le moment d'inciiic I de la section transversale, à considérer dans les calculs, seront ensuite fournis par les relations :

Q = (0 cos a + (i> cos a = -7 (i) cos a = - co cos a ,

I = a*(o cos a + a'^w' cos oc' = ha(ù cos a= Aéi'w' cos a' = a«'û.

Lorsque a = a'=o, on retombe sur le cas d'un ouvrage de hauteur constante, et Ton relrouve pour I et Û les expressions algébriques déjà énoncées au Tome I pour les pièces prismatiques.

Pour éviter toute confusion et mettre bien en évidence les nouvelles significations attribuées aux lettres Û et I, nous dirons qu'elles représentent Vaire réduite et le moment d'inertie réduit de l'ouvrage de hauteur variable.

Nous conviendrons d'attribuer à l'angle ot le signe + si la distance MG augmente lorsqu'on déplace vers la droite la seclion transversale MM'; de môme, a sera positif si, dans les mêmes conditions, la distance M'G s'accroît. Soit ds le déplacement infiniment petit mesuré sur la fibre moyenne, en marchant de gauche à droite, que l'on a fait subir au point G.

On a, en vertu des conventions posées :

dh = da-\- da' = ds (tg a + '-S' a') .

Toutes les dimensions de l'ouvrage étant supposées connues à l'avance, nous admettrons que l'on ait tracé l'axe longitudinal gff' et que l'on possède, pour une section transversale quelconque, les données <o, o)', a, a', a, a\ A, Q et L

Nous avons laissé de côté jusqu'à présent la barre de triangulation A'B. Pour ce qui la concerne, nous considérerons spécialement la section transversale MM' qui passe par son point de rencontre G avec l'axe longitudinal gg^ , et nous définirons la distance AB par l'angle 6 qu'elle forme avec la droite MM', cet angle étant mesuré au-dessus de la fibre

en. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIARf.E. 325

moyenne et à droite de Taxe MM' pris comme origine. Il n'y a pas à s'occuper de la section transversale de la barre en question.

Nous nous proposons de calculer les efforts supportés par les trois éléments AB, A'B et A'B'.

Nous conviendrons encore d'affecter du signe +les valeurs des forces qui donnent lieu à un travail à l'extension et du signe — les valeurs des forces qui produisent un travail à la compression. Nous désignerons ces forces par les lettres S (platebande AB), S' (platebande A'B') et T (barre A'B).

Nous admettrons, d'autre part, que l'on ait calculé à l'avance, pour la section transversale choisie MM', les valeurs :

1* Du moment fléchissant X égal à la somme des moments par rapport au point G des forces extérieures appliquées à l'ouvrage depuis son extrémité de droite jusqu'à la section MM'. Ce moment sera affecté du signe + s'il détermine dans la platebande supérieure un travail à la compression, et du signe — dans Thypothèse contraire ; 2* de l'effort tranchant V égal à la somme des projections des forces extérieures, dont il a été déjà parlé, sur ladroite MM'. Cet effort tranchant, dont le signe

est déterminé par la condition Y= -p, sera posilif s'il est di-

rigé de haut en bas ; 3* de l'effort normal F égal à la somme des projections des forces extérieures sur une perpendiculaire à la droite MM' située dans le plan de la fibre moyenne. Cet effort sera positif s'il détermine dans les platebandes un travail à l'extension.

Dans le cas où le calcul des réactions des appuis de Touvrage situés à droite de la section MM' ne pourrait s'effectuer par les formules de la statique, et où il nécessiterait l'emploi des équations de la résistance des matériaux relatives à la déformation des corps élastiques, X, F et V, au lieu d'être représentés par des nombres évalués à l'avance, seraient des fonctions numériques connues de ces réactions inconnues. Cola ne changerait, d'ailleurs, rien au raisonnement qui suit.

i06. Calcul des efforts développé» daus les éléments de l'oaYPai^e. — La section horizontale MM' est en équilibre

Fig. 104.

SOUS Faction : du moment X et des forces V et F d'une part ;

des forces S, S' et T (résultantes des efforts moléculaires développés dans les platebandes et la barre A'B) de Tautre. Sur la figure 104, nous avons indiqué par des flèches les sens de ce moment et de ces forces qui correspondent au signe -|-, afin de bien fixer les idées à cet égard.

Les conditions d'équilibre de la section MM' sont exprimées par les trois équations obtenues en égalant à zéro la somme des moments des forces par rapport à G, ainsi que les sommes de leurs projections sur la tangente et la normale à la fibre moyenne en G.

— Sa cos a + S'a' cos a ; S cos a + S' cos a -h T sin 8 ;

— Sin a + S' sin a — T cos 6.

Ces trois relations permettent de calculer dans tous les cas imaginables S, S' et T, connaissant X, F et V.

Elles sont rigoureusement exactes: lorsqu'on en fait usage, on a la certitude d'arriver à des résultats identiques à ceux que fournirait la méthode des systèmes articulés : celle-ci conduit absolument aux mêmes équations, sauf que les lettres X, F et V disparaissent pour faire place aux sommes des moments par rapport à G et aux projections sur MM' et sur la perpendiculaire à MM' des forces extérieures appliquées à Touvrage. Il en résulte un simple changement de notation.

loe. Formales approi^iniatiTes. — Supposons que, dans l'équation (2) de Tarlicle précédent, on puisse considérer T sinO comme négligeable devant S cos a et S' cos a/. C'est le cas général de la pratique, les efîorls transmis aux barres étant presque toujours très petits comparativement à ceux quesup-

en. IV. • POUTRES DE OAUTEUR VARIABLE. 327

portent les platebandes. Supprimons en conséquence le terme TsinO et désignons par W la composante verticale, changée de signe, de Teffort longitudinal T subi par la barre A'B : W=— Tcosô.

Nous obtenons les relations nouvelles :

(4) X == — Sa cos a + SV cos a' ;

(5) F = S cos a + S' cos x ;

(6) V = — S sin a + S' sin a' + W,

L*angle 0 ne figure plus dans ces équations, qui permettent en conséquence de calculer les inconnues S, S' et W sans se •préoccuper du système de triangulation employé pour relier les platebandes de Touvrage. Elles sont d'un usage beaucoup plus commode que les équations exactes de l'article précédent, et il convient de s'en servir dans les applications. Mais elles ne sont qu'approximatives, et, par suite, ne peuvent conduire identiquement aux mêmes résultats que la méthode des systèmes articulés (art. 102). L'écart est d'autant plus faible que le terme négligé — TsinO est plus petit comparativement à S cos a et S' cos a . Il suffit que la hauteur de la poutre ne dépasse pas J/5 de l'ouverture d'une travée de l'ouvrage pour que l'erreur commise soit sans importance aucune et de Tordre de celles qui ne sauraient exercer d'influence appréciable sur les dimensions des éléments de la construction.

Rien n'empêche, d'ailleurs, de justifier, dans un cas donné, remploi des formules simplifiées, en appliquant h un certain nombre de sections les formules exactes et comparant les résultats obtenus parles deux procédés (art. 125).

Nous donnerons à la quantité W le nom A' effort tranchant réduit.

Dans un ouvrage de hauteur variable à âme pleine, l'épaisseur de celle-ci doit être calculée en vue de résister, non à \ effort tranchant absolu V (comme pour les ouvrages de hauteur constante), mais bien à V effort tranchant réduit W.

f 07. Formales mmelle*. — Nous allons apporter, en vue

328 POUTRES A TKAVEES SOLIDAIRES.

d*cn faciliter remploi, quelques modifications aux formules (4), (5) et (6).

Soient R la valeur du travail moléculaire à la compression déterminé par la force S àaxïsldi platebande supérieure eiK h valeur du travail à Vextension déterminé par la force S' dans la platebande inférieure. On a, en vertu des conventions faites sur les signes des forces S et S' :

R(o = — S et R'(o = S'.

Substituons dans les formules (4), (5) et (6), et résolvons par rapport à R, R' et W, en tenant compte des relations connues (art. 104) :

a<i) cos a = û'o)' cos a', « -f- a' == A , û = 0) cos a + Cl)' cos % ,

I = haiù cos a = haiù' cos x' = eia'û. Nous obtiendrons les formules définitives :

(7) R=T =r(-X. — Fa)=-- =r --; — -,

(8) R'=J^=-:(XH-F«)=«-^-i: = -J^+-4^,

^ ' hoiCOSOL P ' I il /iwcosa wcos«+wcosft

(9) W= V — Ro) sin a — R'o)' sin a

= V- J(tg x + Ig a) + J(« Ig a-«Mga').

Les équations (7) et (8) permettent de calculer la valeur du travail moléculaire R ou R', développé dans une platebande, et de modifier en conséquence l'épaisseur de cet élément, de façon à augmenter ou à diminuer <o ou w', lorsque Técart trouvé entre R ou R' et la limite pratique de travail du métal à l'extension ou h la compression parait trop considérable.

Lorsqu'on veut résoudre le problème inverse, c'esl-à-dirc calculer les aires w et w' à attribuer aux platebandes, en vue d'obtenir pour R et R' des valeurs fixées à l'avance, il est nécessaire de résoudre les équations (7) et (8) par rapport aux inconnues o cos a et w' cos x ; on obtient les relations suivantes, dont l'emploi ne saurait présenter aucune difficulté.

en. IV. - POUTRES DE IIAUTEIU VARIABLE. 329

(10) <oCosa=--2-5^ + V(2irft-2l)+R(R + R')/.

, X J[ .// X F'\» FX

(11) 0) <îOSa — 2j^,^ + 2j^, + y ViH"^2R'; ~R'(R + R>

Rappelons qu'il est absolument nécessaire de tenir compte des signes de X el de F : par exemple, dans le cas où F représenterait un effort normal de compression (ponts en arc), il conviendrait de lui attribuer le signe — .

Apres avoîr calculé soit R et R' en fonction de w cos oc et iù' cos a' à l'aide des formules (7) el (8), soit (o cos a et co' cos a" en fonction de R et R', à laide des formules (10) et (11), on tirera la valeur de l'effort tranchant réduit W de l'équation (9J. Si l'ouvrage est à âme pleine, on déterminera l'épaisseur e de cette âme de façon qu'elle résiste à l'effort tranchant réduit :

Si l'âme est triangulée, on attribuera & la barre A'B (fig. 104) une section telle qu'elle puisse résister dans des conditions normales à l'effort T, donné en grandeur et signe (+ extension, — compression) par la relation :

cos G

t09. Ouvpairefl à seetion transvemale symétrique*

— Nous dirons qu'un ouvrage métallique est à section transversale symétrique lorsque R = R' : c'est une condition que Ton doit toujours s'efforcer de réaliser, en vue d'obtenir la meilleure utilisation du métal, quand on compte employer le fer ou l'acier, considérés comme également aptes h travailler à l'extension et à la compression. Pour la fonte, il en serait autrement, et il conviendrait de prendre Régal au moins au double de R'Jafonlese comportant mal sous un effort de traction. Dans l'hypothèse de la section symétrique, les formules (10) et (11) de l'article précédent deviennent : '

i.Ces formules supposent express.émeat que R et R' sont deméroe signe, et représentent Tun un travail à Textension et Pautre un travail à la compression ;

(12) ^<^^«*=m-2R + V4RÎ];i+iïïî'

(13^ <»>cosa= hV/ 1 '

Il arrive souvent que F* peut être négligé devant — . Les

formules (12) et (13) peuvent alors se mettre sous une forme simple, sans cesser de donner des résultats suffisamment exacts :

(15) «'cos«' = ^H-^.

Si Ton pose a = «'=o, on retombe sur les formules connues, relatives aux ouvrages de hauteur constante H, dont nous avons fait usage dans Tétude des ponts en arc (tome I, chap. V):

"* — ÏÏJi~2R'

Lorsque, dans un ouvrage à section transversale symétrique, l'effort normal F est nul (poutres), on a : wcos a=:(o'cos ol\

D'où \ a = a' = r . La fibre moyenne de l'ouvrage coupe

toutes les sections transversales au milieu de la hauteur.

i09. Calcul des arcs de hauteur variable. — Supposons que l'on ait à étudier un pont en arc, sans articulation à la clef, dont la hauteur varie entre des limites très écartées,

enefTet, dans le cas où les deux semelles d*une pièce fléchie seraient soumises à des efforts de même nature (exteasion ou compression), il serait impossible de réaliser l'égalité de travail entre elles. Si le moment de flexion X est nul, R et R' sont égaux en valeur absolue, mais de signes contraires, et les formules sont encore inapplicables.

CH. IV. ^ POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. 331

Le profil en long étant arrêté, on commencera par tracer la fibre moyenne dans Thypothèse où les sections transversales

successives couperaient les deux semelles sous des angles oc et a égaux :

^ .< '' ' î cela revient à admettre que les aires des

'"•- -^ • sections droites de ces semelles sont

égales, dans chaque section transver- Fig. 105. '^ sale. Le tracé de celte fibre moyenne hypothétique s*effectuera aisément par la méthode simple et élégante imaginée pour les voûtes en maçonnerie par M. Tlngénieur à'Ocagjie (Annales des Ponts et Chaussées, 1888, Tome n page 76), qui trouve ici son application.

Dans chaque section isogonale ainsi obtenue, on relèvera la distance h des deux semelles, ainsi que Tangle ^ que font leurs directions (fig. 105).

Cela fait, on calculera la poussée horizontale Q exercée sur une culée par Tare de section constante qui se rapprocherait le plus de l'ouvrage étudié, c'est-à-dire qui aurait pour hauteur uniforme la moyenne des hauteurs de cet ouvrage, et, en désignant par P le poids total maximum (charge et surcharge) supporté par Tare, on calculera dans chaque section Taire û et le moment d'inertie I par les formules suivantes, où A et ^ sont des quantités connues relevées sur le profil de Touvrage :

û=.i *• et l = rû.

Rcos-

On peut même se dispenser de calculer la poussée Q produite par lare de hauteur constante, et, en désignant par / l'ouverture et par b la flèche de l'arc (distance du sommet à l'horizontale des appuis), calculer û et I par les relations approximatives :

£) = - — et I = ---û.

cos-

û et I étant arrêtés provisoirement, on appliquera les équations du Tome I (Chap. V : art. 46, arcs articulés aux naissances ; — art. 161, arcs encastrés aux naissances) pour la recherche de la poussée, des moments fléchissants et des efforts normaux. Les épures des X et des F ainsi dressées permettent de calculer avec une précision sufKsante les aires o et co' des semelles en se servant des formules (10) et (11) de l'article 107, ou des formules (12) et (13) de l'article 108, si Touvrage est à section transversale symétrique : on devra poser cos a. = cos3î.'

P = cos -^ •

Cette méthode suppose que la section transversale effective ne s'écarte jamais beaucoup de la direction moyenne formée par la droite isogonale de M. d'Ocagne,et que le centre de gravité n'est pas très éloigné du milieu de la hauteur. Avec un profil d'arc très tourmenté, rien n'empêcherait, si l'on avait des doutes sur l'exactitude des calculs précédents, de reprendre à nouveau les opérations, en déterminant le passage exact de la fibre moyenne dans chaque section isogonale par la formule : a'= , , traçant une série de sections normales à

cette fibre, et refaisant le calcul de û et de I pour ces sections nouvelles :

Q = (0 cos a + co' cos a' , I = ha' w' cos a'-

On partirait des valeurs nouvelles trouvées pour A, Û et I pour refaire les calculs du Tome I, dresser de nouvelles épures des X et des F, et rectifier en conséquence les dimensions des semelles (w et w').

Remarquons que, dans un arc, F représente toujours un effort de compression^ et que par conséquent son signe doit être changé dans les formules qui donnent w et to' : la semelle supérieure est donc nécessairement la plus lourde.

Il resterait ensuite à calculer les efforts tranchants réduits W, qui, pour les arcs, sont toujours très petits. Après avoirdéterminé les efforts tranchants absolus V suivant la marche indiquée au Tome I, on en déduira les W par la relation :

CH. IV. — POUTKES DE HAUTEUR VAIUABLE.

W = V — ^(tga + lga) + r(«tga — «Igtt').

En général le lerme (a Ig a — a' tg a ) j- est négligeable, et on peut se servir de la formule plus simple :

W = V-î(lg«+tgoc'),

que Ton mettra sous la forme :

W = V — R(o sin a — R'o)' sin a' .

Si la semelle inférieure est coînpriméCy il est bien entendu que R' devra ôlre pris avec le signe — .