FORMULES RELATIVES A UNE POUTRE DE HAUTEUR

VARIABLE

1 iO. Tracé des scellons transversales et de la flbre moyenne. — Une poutre de hauteur variable est un ouvrage sollicité exclusivement par des forces verticales (charge, surcharge, réactions des appuis). C'est le caractère essentiel qui distingue ce genre de construction des arcs et des ponts suspendus, sur lesquels les appuis exercent des réactions obliques, dont les composantes horizontales sont des poussées ou des efforts de traction.

Nous admettrons, par infraction aux principes généraux du

paragraphe précédent, que Ton peut sans inconvénient attribuer à toutes les sections transversales des directions parallèles, et les obtenir par les intersections de la poutre avec une série de plans verticaux normaux à Tâme. Comme conséquence de cette modification, les angles a et cl correspondent aux inclinaisons dçs plate- Fig. 106. bandes sur Thorizontale.

11 convient tout d'abord de justifier celte convention.

334 t>Ot]TRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

Soient M\r une section transversale exacte (normale à la fibre moyenne de l'ouvrage) et Mi M'i la section verticale qui la rencontre en son centre de gravité G (fig. 106).

SoitX lemoment fléchissant, qui est la somme des moments des forces extérieures, toutes verticales, par rapport à G, ou un poinl quelconque de la verticale Mi M'i : on peut remplacer le système des forces extérieures par le moment X et une résultante verticale Vj située dans le plan M| M'i.

Soient a, a\ a, a , Q et I les données relatives à la section transversale exacte MM', ûTi, a',, a,, a'i, ûi et Ii celles relatives à la seclion verticale Mi G M'i.

On a, en assimilant dans les triangles M Mi G et M' M'i G, les arcs très courts M Mi et M' M'i à des segments de droites et désignant par n Tangle Mi G M :

MG cos a = MiG cos ai , ou a cos a = «i cos a^ De même :

a' cos a = a\ cos a'i ;

ai=a + 7) et ai = a — y).

Enfin nous admettrons que les points M et Mi , M' et M'i soient respectivement assez rapprochés pour que les sections droites (0 et (i)' des deux platebandes varient extrêmement peu lorsqu'on passe de Tune à Tautre.

Appliquons les formules (4), (5) et (6) de Tarticle 106 d'abord à la section transversale MM', puis à la section verticale MiM'i.

Nous obtiendrons dans le premier cas :

(1) X = — Sa cos a H- SV cos a ,

(2) F = Vi sin Y) = S cos a + S' cos a ,

(3) V = ViC0S7)=— Ssina-f-S'8ina'+ W;

et dans le second :

(l)i X= — Si^i cos ai+ S'ia'i cos tt'i= — Sj^ cos a + S'i^'ccsa',

(2)i Fi=o= Sicos «i-f-S'iCOS a'i= Sicos (a+T)) +S'iCOs (a— iq) ,

{3)i Vi=-S,sinai+S\sinot'i+\Vi=-S,8in(«+Y5)+S\sin(«'-Y))+W| .

CH. IV. — tOUTRÈS DE HAtJTEUR VARIABLE. 33S

Pour que les deux méthodes de calcul fussent équivalentes, il faudrait qu*elles fournissent respectivement des valeurs identiques pour S et S|, S' et Si', W et Wi, ce qui n'est pas. Mais Tdcart est très faible lorsque Tangle y) est petit, ce qui permet sa?ts toucher aux relatiom (1) c^(l)i, de poser v) =o et cos n = 1 dans les équations (2) et (3). On arrive, en définitive, par Tune et l'autre méthode, à des résultats identiques en ce qui touche le travail des platebandes à la flexion ; elles ne diffèrent Tune de l'autre qu'en ce qui touche la répartition de la résultante des forces extérieures entre les semelles (effort normal F) et Tâme (effort tranchant réduit W). Nous aurons occasion plus loin de fournir à cet égard des exemples justificatifs (art. H4etl2S;.

Nous conclurons donc qu'il est permis de substituer aux sections transversales exactes d'une poutre une série de sections verticales lorsque la fibre moyenne ne s'écarte pas beaucoup d'une ligne horizontale, l'erreur commise en un point quelconque n'étant sensible que si l'inclinaison n de cette fibre moyenne sur Thorizonlale est notable.

Il résulte de cette convention : 1^ que la hauteur h de la poutre est, en un point quelconque, représentée par la distance verticale des deux platebandes ; 2^ que la différentielle dh de cette hauteur a pour expression, en fonction des angles à et a , et de l'abscisse horizoatale a:, mesurée à partir d'une origine placée à l'extrémité de gauche de la poutre : dh = dx {Tgx + Tgx) ; 3** que la fibre moyenne peut être tracée par points à Taide de la formule suivante, où a' désigne sa distance verticale à la platebande inférieure :

, , w cos «

w cos « + w' cos «' '

4» que la fibre moyenne, ainsi définie, n'est pas exactement normale aux sections transversales successives, contrairement aux indications du paragraphe précédent. Mais il ne faut pas que l'écart soit très grand, ce qui suppose que les platebandes sont à courbures opposées {x étant toujours du même signe que a ), ou que, si Tune est rectiligne, cas fréquent dans la pratique, l'autre est tracée suivant des courbes de très grand rayon.

336 POLTHKS A THAVÈES SOLIDAIRES.

En fait, tous les ponls existants remplissent la condition posée.

fit. Du deyré d^ei^actitade à reebereber dans les ealcnls. — Les ingénieurs hollandais ont recours pour calculer leurs grands ponts à semelles courbes(Croizette-Desnoyers: Travaux Publics en Hollande) à une méthode, à la vérité compliquée et pénible à appliquer, qui repose sur des formules d*une exactitude quasi- absolue. Ils arrivent de cette façon à déterminer les efforts développés dans les différents éléments de l'ouvrage avec une précision qui s'étend à un nombre illimité de décimales. Pour rester conséquents avec eux-mêmes, ils évaluent les longueurs des pièces de la triangulation à un centième de millimètre près (épure du pont de Kuilemburg). On n'en exige pas tant pour Tajustage d'une montre. Voyons à quoi peut servir ce luxe de soins, et si en fm de compte le résultat répond aux efforts tentés.

1° Les formules employées supposent qu^à chaque point d'attache de la triangulation les deux éléments successifs de la semelle sont réunis cnlr'eux et avec les pièces de Tàme (montants et tirants) par des articulations. Or, la semelle est continue, par conséquent rigide, et assemblée au moyen de rivets avec les barres de la triangulation. Première cause d'erreur, qui entache tous les résultats.

2^" Après avoir calculé les épaisseurs des platebandes à un centième ou un millième de millimètre près, on arrondit les nombres obtenus en centimètres en vue d'employer en chaque point un nombre entier de tôles d'épaisseur courante.

3® On fait de même pour les montants et les tirants, dont les sections difftrent toujours par excès des sections théoriques. L'écart varie entre 5 et 100 O/o (pont de Kuilemburg).

4° Le constructeur muni des pièces du projet modifie les dimensions des éléments, pour ramener tous les fers à un petit nombre de types courants, qui figurent surles albums des forges, faciliter les assemblages, etc.

Quelque soin que l'on mette dans la taille des abouts et le perçage des trous de rivets, il est bien évident que la précision obtenue sur une pièce longue et lourde ne peut jamais être

CH. IV. - POUTRES DE HALTEL'H VARIABLE. 337

absolue : un écart d*uu millimèlre ne peul être considéré comme exlraordinaire.

Les procès-verbaux d'épreuves des malériaux font connaître en outre que, malgré le soin apporté dans la fabrication, l'élasticité du métal varie toujours sensiblement d'une barre à l'autre, de sorte que l'homogénéité rigoureuse de la matière, que suppose le calcul, n'est pas réalisée.

Enfin, en exécution, malgré l'alésage des trous de rivets, il arrive toujours que certaines pièces sont soumises, au moment de leur pose, à un effort initial d'extension ou de compression qui modifie légèrement les conditions de stabilité de Touvrage. Les changements inévitables de température, à prévoir pendant le montage, suffisent pour amener ce résultat.

5" D'autre part, le poids définitif du pont s'écarte toujours, généralement en plus, du poids hypothétique admis dans les calculs pour l'évaluation de la charge permanente. La répartition est différente de celle supposée. Quant à la surcharge d'épreuve réelle, elle diffère également de la surcharge théorique*

Que reste-t-il en fin de compte de l'exactitude rêvée par l'auteur des calculs de stabilité ? Peu de chose, à coup sûr. Le travail considérable qu'a entraîné l'adoption de formules soidisant exactes a été fait en pure perte ; il est non seulement inutile, mais nuisible, en ce qu'il peut donner des illusions sur la situation réelle de l'ouvrage construit.

En définitive, lorsqu'on a calculé le travail du métal d'un pont à i/10 de kilog. près, on doit se tenir pour satisfait. Une plus grande précision ne servirait à rien, et il n'y a aucun inconvénient à négliger, dans les formules employées, les termes qui ne peuvent exercer d'influence que sur les décimales d'un ordre supérieur. En opérant ainsi, on apprécie le but à atteindre, et on lient compte, dans la mesure voulue, do la distance qui sépare la théorie de la pratique.

!!•. Formulen irénérales. — . Du moment que la poutre est sollicitée exclusivement par des forces verticales, et que ses sections transversales sont toutes situées dans des plans verticaux, l'effort normal F du paragraphe précédent est nécessairement nul, puisqu'il représente la somme des projections

338 POUTHKS A TRAVÉES SOLlbAlUlîS.

horizontales (normales aux seclions) d'une série de forces verticales.

Les formules relatives aux ouvrages métalliques se trouvent donc modiÇées par la suppression du terme F, et deviennent :

Formules exactes

Formules approximatives

(1) V = — Sacosa + SVcosa' ;

(2) 0 = Scosa + S'cosa'+Tsine ;

(3) V = — Ssina + S'sina'— Tcose.

(4) X = — Sacosa+S'a'cosa ;

(5) 0 = Scosa + S'cosa' ;

(6) V=-Ssina + S'sina' + W .

(7) R = , — - — = -f , (I) cos a = 73 ;

^ ^ Aw cos a I ' hR

Formules | x a'X , X

usuelles i ^^^ *^ = 17^.' = T ' *- «»s «'= - ;

(9) W=\-^(Tga+Tga')=V-f ^ •

R et R' ont toujours le même signe que X. Donc, si X est positif, la platebande supérieure travaille à la compression, et la platebande inférieure à l'extension. Si X est négatif, c'est la platebande supérieure qui est tendue, et la platebande inférieure comprimée.

fis. Poutres à section transversale symétrique. —

Nous avons dit qu un ouvrage métallique devait être dit à section transversale symétrif/ue lorsque le travail moléculaire R à la compression subi par Tune des semelles était égal au travail moléculaire R' à l'extension subi par Taulre.

La symétrie de la section entraîne, pour les poutres de hauteur variable, deux conséquences importantes :

1** (i) cos (x= o>' cos a'. Les projections verticales des seclions droites correspondantes des deux platcbandes présentent toujours la même aire ;

2» a = a = /</2. La fibre moyenne passe au milieu de la hauteur verticale d'une section quelconque.

Il paraît évident que colle disposition est la plus rationnelle et la plus économique, lorsqu'on emploie dans la confection

Ctl. iV. — POUtRES DE HAUTEUR VARIABLE. 339

des deux platebandes un métal également propre à travailler à la compression et à l'extension, ce qui est le cas du fer et de l'acier. Une poutre de hauteur variable doit donc être à section symétrique, si elle a été judicieusement établie, et, dans ce qui va suivre, nous supposerons toujours que cette condition essentielle est remplie, et que la fibre moyenne est le lieu géométrique des milieux des distances verticales des deux platebandes.

Les formules à employer suivant que Ton se propose de calculer le travail produit dans des platebandes de dimensions arrêtées, ou de déterminer les aires à attribuer à ces platebandes, pour qu'elles résistent^ dans des conditions de travail données, aux forces extérieures, seront les suivantes :

(i> cos a = (i) cos (X , A = T (»> cos a = r- Cl) cos a = 7 12,

Û = o> cos a + G)' cos a' = 2 (x) cos a ;

hX X 2X

21 hucosoL ah '

W=V— I (Tga + Tga')=V— ~ =V— R(cosina+<..'sin oc');

<o = :r; , Cl)'

RA cos « R/> cos «'

Volume des platebaiides par unité de lo7igueur horizontale,

Plalebande supérieure :

cos « Rfc cos' « '

Platebande inférieure :

cos od R/t cos' «'

Volume de Tâme par mëtre courant, lorsquV/te est constituée par une paroi pleine :

-, W V , . , / • A V X dh

POLTJiKS A TBAVÉES SOLIDAIHKS.