D'ETABLISSEMENT D'UNE POUTRE
115. Généralités. — Le volume par mètre courant (mesuré horizontalement) d'une platebandé a pour expression (art. 113) :
R h cos* «
Le volume de l'âme pleine, qui ne s'écarte jamais beaucoup de celui de la triangulation équivalente, est représenté par la formule :
îi — ^^AË^
* ~ B ~ R Rhdx '
CM. iV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. 343
Dans une construction judicieusement établie, il convient que la hauteur h croisse en même temps que la valeur absolue de X el présente un maximum (a = o), lorsque X passe lui-
même par un maximum (V= -p =^^)- En opérant de cette
façon, on réduit notablement le poids total, puisque h cos a est d*autant plus grand que X Test lui-même, et que d'autre
\ Ah.
part, — j- étant toujours de même signe que V, l'effort tranchant réduit W est plus petit que l'effort tranchant absolu V, ce qui entraîne une diminution dans le poids de l'âme, comparativement à celui qu'exigerait une poutre de hauteur constante.
Mais il ne faut pas que h croisse plus rapidement que X : il arriverait en effet que le poids V par mètre courant horizontal de platebande décroîtrait rapidement au fur et à mesure que X augmenterait, ce qui semble absurde, les sections
les plus lourdes ne devant pas correspondre aux moments
X dh fléchissants les plus réduits. D'autre part, le terme — — se-
^ • I ' ^h dx
rait de même signe, mais plus grand que V : la diminution apportée à l'effort tranchant dépasserait le but, en ce sens que, le terme de correction étant plus grand que V, le signe de l'effort à considérer serait renverse^.
Enfin quand X = o, il est rationnel de prendre h = o. En résumé, il convient, dans l'établissement du profil en long d'une poutre, d'observer la loi suivante : h doit être nul quand X l'est lui-même, augmenter régulièrement au fur et à mesure que X croît, mais suivant une progression moins rapide (ou tout au plus dans le même rapport), et présenter un maximum (a=o), qui suppose Thorizonlalité des platebandes, lorsque l'effort tranchant V est nul (maximum de X).
Ces considérations, qui limitent le champ des recherches, ne suftisent pas pour définir la marche k suivre, quand on se propose de réaliser le profil en long le plus avantageux. Nous allons tenter d'établir les règles à appliquer, lorsqu'on envisage la question au point de vue de l'économie du métal.
344 POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.
fie. Poutres à semelle* Indépeudautes. — Considérons une poutre soumise à une charge définie et connue, sinon comme intensité, du moins comme répartition, pour laquelle on ait dressé à Tavance Tépure des moments fléchissants. Il n*est pas nécessaire d'ailleurs de supposer que Touvrage soit à section transversale symétrique.
Nous venons de voir que h doit croître dans le même sens que la valeur absolue deX, mais avec une progression tout au plus aussi rapide. Plaçons-nous dans Thypothëse limite et admettons que Ton applique la formule : h = KX ; K est une constante et X représente ici la valeur absolue du moment fléchissant, précédée du signe -f-.
Nous en concluons que :
dx dx
V doit être pris avec le signe H-, si la valeur absolue de X va en croissant, et avec le signe — dans Thypothèse contraire. Les formules générales de l'article i\2y
0, =sir— «-' = iT^' W=Y-^{Tga+Tg«')=V-Jf^ .
R^cosa R/icosa h ^ "^ " ' h dx
deviennent dans le cas présent :
0) cos a = r = const. , o) cos oc = — = const. ,
n It
W=V— ;^ . KV = 0.
La section transversale réduite û est constante : û = K (- -H — j. Le poids par mètre courant d'une platebande croît
proportionnellement à , x dtant son ande d'inclinaison
'■ ' cos flt *^
sur l'horizontale ; il est minimum pour a = o, c'est-à-dire pour la section où X passe par un maximum (V = o).
L'effort tranchant réduit est toujours nul : par conséquent, il n'y a pas lieu de munir la poutre d'une âme pleine ou d'une triangulation : l'ouvrage se trouve composé do deux semelles
CH. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. 345
indépendantes, sans liaison aucune, sauf aux points où elles se rencontrent, points définis par la condition : X = o.
Cette conception d'une poutre formée de deux semelles isolées peut sembler paradoxale : elle est cependant toujours réalisable, lorsque Touvrage à établir est destiné à supporter une charge dont la répartition puisse être considérée comme absolument invariable, de telle sorte que la courbe représentative des X ne subisse d'autre modification que celle résultant d'un accroissement ou d'une réduction proportionnelle de toutes les forces extérieures, qui ait pour effet d'augmenter ou de diminuer dans le même rapport toutes les ordonnées verticales de cette courbe.
Considérons à titre d'exemple le cas où la charge serait uniformément répartie sur toute sa longueur. S'il s'agit d'une travée indépendante, la courbe des moments sera la parabole
A.sB (fig. HO) : soient AMB et ANB deux paraboles à axe vertical (à courbures opposées) et ALB une droite horizontale. Il suffira que les axes longitudinaux des deux platebandes coïncident respectivement avec deux des lignes AMB, ANB ou ALB pour qu'on ait un ouvrage remplissant les conditions voulues, et qu'il soit inutile de relier les platebandes par une triangulation.
Ce genre de construction a été quelquefois employé sous le nom de how-string^ soit avec les deux platebandes paraboliques, soit avec une plalebande recliligne et l'autre parabolique.
S'il s'agit d'une travée solidaire^ la courbe des X sera une parabole telle queaOisO*ô, coupant la fibre moyenne aux deux
points Oi et 0, (fig. 111). Soient A'MB' et A"NB' deux paraboles à axe vertical, de courbures opposées, passant par ces
Flg. 111.
mêmes points Oi et Oj. On obtiendra encore une poutre à semelles indépendantes en traçant les platebandes suivant deux des courbes ou lignes horizontales :
A"Oi, A0„ A'0„ entre A et 0^ ; 0,M0„ OiNOi, 0,L0„ entre Oi et 0, ; OjB' , OjB, 0,B', entre 0, et B.
On pourrait obtenir par la combinaison de ces différents arcs vingt-sept types différents de poutres sans triangulation. 11 semble évident a pHori que, si Ton se trouve dans les conditions voulues (invariabilité absolue de la répartition des charges) pour pouvoir recourir à ce genre de construction, son adoption constituera la solution de beaucoup la plus économique, puisque Touvrage se réduira à deux éléments travaillant Tun à la compression simple et l'autre à Textension, sans qu'aucune partie soit fléchie. Mais il est très rare en pratique que la constance de répartition de la charge se réalise d une manière suffisante. Nous citerons cependant, à titre
B d'exemple, le cas d'un bras de grue, destiné à supporter des charges concentrées appliquées exclusivement à son extrémité, le poids propre du bras étant considéré comme négligeable. La figure 112 représente un ouvrage de ce genre à semelles indépendantes AB et CB ; B est le point d'application de la charge, et AC la section d'encastrement sur l'appui, •
Fig. 112.
CH. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE
Nous aurons plus tard occasion de citer une autre application de cette théorie, en parlant des piles métalliques.
Revenons aux ponts. Dans une poutre à semelles indépendantes^ Tune des deux platebandes peut être horizontale, Tau- Ire étant profilée suivant une courbe semblable à la courbe représentative des X. Si les deux semelles sont curvilignes, il est nécessaire qu*elles soient à courbures opposées, et que
Fig. lis.
Fig. 114.
Fig. 115.
Fig. ne.
chacune d'elles ait le profil indiqué par Tépure des moments : cette double condition est indispensable pour que Taxe longitudinal s*écarte peu de Thorizontale, sans quoi les formules dont nous nous sommes servi deviendraient inapplicables (voir l'observation précitée à ce sujet, page 335). Indépendamment de ses semelles, le pont comportera des éléments verticaux, supports comprimés ou tiges de suspension, destinés à transmettre aux semelles le poids du tablier. Lorsqu'une des semelles est rectiligne, elle remplit généralement l'office de longeron du tablier. Lorsque les deux semelles sont courbes, le tablier repose sur un longeron spécial soutenu de distance en distance par des barres verticales qui le relient aux deux platebandes.
Dans le cas d*une travée indépendante, on peut réaliser une des dispositions représentées par les figures 113, 114, 115 et
Le type théorique de la poutre à semelles indépendantes, que nous venons d'étudier, suppose rinvariabilité absolue de répartition de la charge et delà surcharge, condition qui, pratiquement, n'est jamais remplie au moins pour les ponts. La seule exception que nous pourrions citer serait celle des ponts-
348 POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.
canaux, où naturellement robligation de maintenir Télanchéité entraîne en général l'emploi d'âmes pleines.
Considérons une poulre à semelles indépendantes, dont le profil ait été établi en se basant sur la charge permanente et la surcharge complète (fig. 117). Soit AMB la courbe décrite par une des semelles. Si nous nous plaçons dans Thypothèse d'une surcharge partielle, la courbe des moments fléchissants différera de celle qui correspond au profil en long. Tl pourra alors se présenter deux cas : 1° La semelle se déformera de façon que son profil nouveau ANB corresponde à la courbe actuelle des X (A = KX). Celte déformation n'est acceptable que pour les câbles flexibles des ponts suspendus. Pour une semelle supérieure comprimée, il en résulterait à coup sur un phénomène de flambement amenant la ruine du pont, pour peu que l'écart entre les doux lignes AMB et ANB soit nolable.
2'' La semelle, considérée isolément comme une poutre
courbe, possédera une rigidité propre lui permettant de résister aux momentsfléchissants5^con</^2r^5doni le signe et la grandeur (d'après une échelle qu'il serait nécessaire d'éta- Fig. 117. blir) sont fournis sur la figure 117
par les distances verticales mesurées entre les deux courbes AMB et ANB. Si les deux semelles de l'ouvrage sont rigides le moment fléchissant secondaire pourrait être réparti entre elles, chacune constituant une poutre pourvue d'une raideur suffisante. Chaque platebande doit en outre travailler à la compression ou à l'extension simple, sous l'action du moment fléchissant principal (correspondant à la charge et à la surcharge complète), pour lequel le profil en long de l'ouvrage a été établi [h = KX).
La recherche analytique des moments de flexion secondaires présente de grandes complications, surtout si Ton se propose de déterminer pour chaque section de la poutre la valeur maximun\ de ce moment. L'emploi des procodés graphiques serait plus commode, sans être cependant bien pratique. En général, on devra se borner à évaluer aussi exactement que
zj\
cil. IV. — POLTRES DK IIAI'TEUH VAKIABLK. 34î>
possible une limite supérieure absolue de ces momenls, et s en servir pour calculer chaque semelle comme une poutre soumise à un effort décompression (ou d'extension) variable qu'il est facile de déterminer dans chaque section à l'aide des formules déjà énoncées, et d'un moment fléchissant constant égal à la limite supérieure précédemment trouvée. Mais pour peu que ce moment secondaire ait quelqu'importance, l'obligation de calculer les semelles indépendantes comme des poutres de très faible hauteur, relativement a leur portée, obligera à leur attribuer des poids considérables. L'économie réalisée par la suppression de la triangulation se trouvera ainsi compensée. Comme d'autre part la déformation subie par ce genre de construction est nécessairement plus forte que celle d'une poutre à triangulation, il en résulte un désavantage réel que ne rachète plus une diminution dans le poids total.
En conséquence, le type à semelles rigides indépendantes n'est acceptable que pour les ponts où la surcharge variable est très petite comparativement à la charge permanente (ponts* routes ou passerelles pour piétons de très grande ouverture, ponts- rails de portée tout h fait exceptionnelle). Nous reviendrons sur ce sujet en parlant des travées indépendantes. C'est au surplus le seul cas de la pratique, à l'exclusion des poutres continues, où Ton ait eu recours à des constructions de cette esptce. Nous aurons occasion d'en citer quelques exemples.
119. Bechercheda profll le plus aYanta^eusi daa« le eas d'une sureharg^e variable. — Dans l'étude que
nous venons de faire de la stabilité des poutres de hauteur variable, X et V représentaient jusqu'à présent le moment fléchissant et l'effort tranchant développés simultanément, dans une section verticale définie par son abscisse .r, par la charge permanente et une surcharge déterminée, sans qu'il ait été fait d'ailleurs aucune hypothèse sur la répartition de cette charge et de cette surcharge. Dans ces conditions V correspond aux mêmes forces extérieures que X, et Ton a entre ces deux variables la relation :
3S0 rOUTRES A TKAVÉES SOLIDAIRES.
Si nous éludions maintenant les poutres soumises à une surcharge variable, il nous faudra admettre que X et V peuvent varier Tun et l'autre, dans une même section, entre des limites plus ou moins écartées ; nous désignerons par M la valeur absolue maximum que puisse atteindre X, et par T la valeur absolue maximum que puisse atteindre V. Les deux maxima ne peuvent jamais être réalisés simultanément dans une même section transversale, parce qu'ils correspondent à deux modes différents de répartition de la surcharge : ce serait une erreur
de croire que T soit la valeur que prend V = j- quand X est
égal à M, et réciproquement. Nous désignerons, pour éviter toute confusion, par V^ la valeur de l'effort tranchant quand le moment X passe par son maximum M, et par X^ la valeur du moment fléchissant quand Teffort tranchant Y passe par son maximum T.
Nous supposerons que Ton ait dressé pour la poutre à étudier les épures représentatives des valeurs de M et de T : nous avons indiqué dans le précédent chapitre la méthode à appliquer quand on a affaire à une poutre continue.
Il n*est pas nécessaire d admettre que Ton connaisse aussi les valeurs de X, et de V^.
Il s'agit de déterminer le profil en long le plus avantageux à attribuer à rouvrage,au point de vue de l'économie du métal.
On pourrait tout d abord, par analogie avec la solution recommandée à l'article précédent pour le cas d'une surcharge invariable, adopter la formule h = KM. Mais remarquons qu'ici l'unique avantage de ce profil disparait, puisque Teffori tranchant réduit n'est pas nul, lorsque l'effort tranchant absolu passe par son maximum T. On a en effet dans ce cas :
Xt
Or X, est plus petit que M, et V^plus petit que T. Donc W, quoiqu'étant plus petit que T, n'est pas nul. Il faut ainsi attribuer à l'une des semelles au moins une rigidité propre, lui permettant de résister aux moments fléchissants secondaires (art.
cil. IV. — POUTRES DÉ HAUTEUR VARIABLE. 351
116), ou recourir à l*empIoi d'une triangulation destinée à relier entre elles les semelles non rigides. Nous supposerons que Ton prenne ce dernier parti. Nombre de constructions ont été exécutées dans ces conditions, comme nous le verrons ci-après. Mais peut-on admettre qu'un profil en long, dont Tavantagc essentiel devrait être de permettre la suppression de Tâme, soit encore la solution la plus économique quand cet avantage disparaît ? Evidemment non. Du moment que la triangulation existe, il importe peu qu'elle ait à remplir un rôle plus ou moins considérable: son poids est loin de décroître aussi rapidement que les intensités des efforts tranchants réduits auxquels elle doit résister, et la légère économie réalisée sur cette partie de la construction ne compensera pas l'augmentation de poids ad« mise pour les semelles, dont le volume par mètre courant horizontal croit, au lieu de diminuer, au fur et à mesure que le moment M diminue lui-même, (o cos a étant en effet une cons-
tante égale à-, le poids par mètre horizontal U ou — est ° H *^ "^ cos a
d'autant plus grand que cos a est plus éloigné de 1; il atteint son maximum pour M = 0^ et son minimum quand M est le plus
grand f - =0, Vm^O j. Il paraît absurde que les platebandes
soient d'autant plus pesantes que le moment de flexion est moindre. La suppression de la triangulation pourrait justifier celte disposition, mais du moment qu'il faut y renoncer, il n'y a pas de motif pour conserver le profil des poutres à semelles indépendantes.
Nous allons donc chercher les règles à appliquer dans la détermination du profil le plus avantageux, au point de vue de l'économie, pour les poutres de hauteur variable à semelles reliées par une triangulation.
Il est évident d'abord que si l'on se plaçait dans le cas hypo« tbélique où la variation de la surcharge serait telle que la valeur du moment maximum M restât sensiblement la même sur toute la longueur de l'ouvrage, la constance de la hauteur s'imposerait : les sections transversales successives étant appelées à résister à des moments égaux, il n'y aurait aucun motif pour faire varier leur moment d'inertie.
POIÎTHES A THAVÈES SOLIDAIHES.
Or, dans la pratique, on se trouve toujours placé dans une situation intermédiaire entre le cas hypothétique précédent, pour lequel il faudrait admettre une hauteur constante, et le cas de la surcharge invariable, qui conduit à Temploi du profil à semelles indépendantes. Il convient donc d'adopter pour A, qui dans tous les cas, ainsi qu'on Ta vu plus haut (page 343), doit croître en même temps que M, mais suivant une progression moins rapide, une loi de variation intermédiaire entre celles représentées par h = K et A = KM.
 priori, la solution la plus simple parait être : (2) A = K
\/M. Pour une travée indépendante où le moment maximum M est produit, quelle que soit la section considérée, par la charge et la surcharge complètes, il est facile de se rendre compte que refTort tranchant réduit, dans la même hypothèse de surcharge, est alors égal à la moitié de l'eiTort tranchant absolu.
On a en effet ;
dh K Vm
dx
d*où :
W = Vm — - — =
h dx
La réduction est un peu moindre si, au lieu de considérer l'effort tranchant Vm, on prend TcfFort tranchant maximum T, qui correspond à une valeur plus faible du moment fléchissant. Toutefois, on peut admettre, avec une approximation très suffisante, que le profil ainsi défini a pour eiïet de limiter sensiblement à la moitié la fraction de TefFort tranchant absolu transmis à la triangulation : cet effort est réparti à peu près également entre les platebandes et Tàme. Le poids par mètre courant de triangulation ne dépasse donc guère la moitié du poids qu'exigerait la poutre de hauteur constante.
Quant au poids par mètre courant horizontal d'une platebande, il est fourni par la relation :
cos a [{h cos<
CH. IV. — POUTilKS DE HAUTEUR VAHIABLE. 353
Tant que le rapport —r est petit, celte formule donne des
VM résultais satisfaisants : le poids de la platebande croit à peu près proportionnellement à la racine carrée de M, ce qui est rationnel. Mais, s'il existe une section où M s'annule, le rapport
- — devient très grand dans son voisinage, et U croît démosûrement jusqu'à devenir infini pour M = 0. En effet, — étant
CLJu
infini pour M == 0, les deux semelles deviennent verticales au droit de celte section, du moins si elles sont toutes deux courbes ; si Tune d'elles est rectiligne, et par conséquent
horizontale, cette conclusion n'est applicable Ml qu'à Tautre.
Une semblable disposition est vicieuse. Soit Oi le point de la fibre moyenne pour lequel X
s'annule : h doit être également nul en ce point. ' ^' Cherchons à déterminer l'inclinaison a sur l'ho-
rizontale quil convient d'attribuer à la platebande OiM, qui n'a plus ici d'autre rôle que celui de résister à l'effort tranchant Y. Le volume par mètre courant horizontal de cette
platebande est représenté par - X -: ( effort de com-
^ '^ '^ R sin « cos « \
pression : -: — : lons^uour mesurée sur OiM : ) ; il sera
'^ sin a *^ cos «/
minimum pour sin a = cos a, ou a = 45^. Donc, au point
de vue de Téconomie, il convient que la platebande coupe en
Oi l'horizontale suivant 45% tandis que, avec la formule
h = K y/X^ celte inclinaison atteint 90% la platebande étant verticale.
En conséquence la formule en question^ acceptable pour les poutres où M ne passe pas par 0 (travées solidaires à surcharge variable importante), ne l'est plus pour les autres (travées indépendantes, travées solidaires à surcharge variable peu importante, etc).
Nous adopterons alors la formule nouvelle :
(3) h = \/A -h BM — Va .
Plaçons-nous dans l'hypothèse où Tune des semelles serait horizontale. On déterminera les coefficients numériques A et B par la double condition : 1° que la hauteur de la poutre atteigne un maximum H, fixé a priori, dans une section où M passe lui-même par un maximum Mh, correspondant à Vu = 0 ; 2^ que Tinclinaison a de la semelle surThorizontale soit égale
dh
k 45* (TgoL = -- = 1), lorsque le moment M s'annule : nous
désignerons par V^ la valeur que présente alors l'effort tranchant correspondant Vm.
Nous obtenons ainsi deux relations :
n = v'a + BM„ — Va , i
d*où
Mh - HVo '
Il n'y a plus qu'à substituer à A et B leurs valeurs numériques dans la formule (3) pour pouvoir calculer la hauteur h correspondant à une valeur quelconque de M.
Avec cette formule, le poids par mëtre courant horizontal do platebande est :
«'^ <=«« '« R (v/.VTiS - v'X) \ * (^ + »M)
- Jl) \
Tant que le rapport "Tr est petit, on obtient à peu près les
mêmes résultats que par la formule (2). Mais quand M s'annule, y n'est plus infini, ce qui est un avantage sérieux au point de vue de l'économie, la platebande étant inclinée à 45^ sur l'horizontale, au lieu d'être verticale.
Si les deux semelles de la poutre devaient être courbes, il faudrait établir séparément, pour chacune d'elles, une relation fournissant, non plus la hauteur totale de la poutre, mais la distance verticale de la semelle, mesurée au dessus ou au dessous, à rhorizontale passant par le point où h s'annule (M=o).
On obtiendrait les deux équations :
CH. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. 3S5
Semelle supérieure, A, = \/Ai + BiM — v/A,,
Semelle inférieure, Aj t= y'A, -+- BjM — \/Âl,
donl les coefficieuts numériques se calculeraient à l'aido des
conditions :
b,Vn
2vT,
La hauteur totale de l'ouvrage serait, les deux semelles étant obligatoirement à courbures opposées: H =hs-hht. Le maximum de H correspondant au moment Mh, relatif à la section ou V« s'annule, serait ; H = H, + H,.
lis. Calcul dcn poutres 4e hsotenr varlablr- — Nous admettrons que l'on ait (établi le profil en long de l'ouvrage étudié en se servant de l'une des formules dont nous avons signalé précédemment les avantages et les défauts.
(1) h=KV,
(2) /i = Kv'M,
(3) A=v'A + BM — ijA. (une semelle horizontale),
(4) A = v'A. + B.M + VAi+B,M — VÂT— ^â; (deux
semelles courbes).
Il reste à calculer les épaisseurs des plalebandes et les sections des pièces de triangulation.
Platebaiides. Conservant les notations de l'article 66, nous désignerons par e l'épaisseur d'une platebande mesurée normalement à sa direction et par c sa largeur horizontale. On fera usage de ta formule connue :
Wte ' RAc coa a
On peut se dispenser de relever l'anglo n sur le proûl du
POITRES A THAVÈKS SOLIDAHŒS.
pont cl de chercher cos a, en remarquant que ccosa, qui peut être calculé sans connaître cos a, est la projection verticale de
répaisseur e.
Après avoir déterminé e cos a, on en portera la longueur
représentative sur la verticale EF passant au point E considéré sur la platebande \ on mènera Thorizontale FE' coupant en E' la normale EE' à celte platebande : EE' représentera à Téchelle convenue l'épaisseur cherchée.
Si la section de la platebande est symétrique suivant Thabitude, <o cos a a la même valeur pour les deux platebandes :
Si celles-ci sont de même largeur c, la longueur EF sera aussi la même pour toutes deux. Lorsqu'une semelle est horizontale (cos a = 1), son épaisseur est précisément égale à M
fig. 119
Me
ouEF.
Si le profil du pont est représenté par une des formules (1) ou (2) du présent article, on obtient pour e cos a des expressions simples, ce qui en facilite notablement la recherche.
Formule (l). e cos ol = 77^ : e cos x est constant d'une ^ KRc
extrémité à l'autre de la poutre. La longueur EF se calculera donc une fois pour toutes, et en menant par E des parallèles
aux normales successives du profil en long, passant par les sommets correspondant à un certain nombre de sections
e; c; e; verticales, on obtiendra immédiatement,
Pig. 120. par leur intersection avec l'horizontale
passant par F, les épaisseurs EE'i EE't, etc., de la platebande qui se rapportent à ces sections.
Formule (2). e cos a == ^- ^ cos a varie proportionnelle^
ment à la racine carrée de M. On peut donc calculer cette longueur sans avoir besoin de relever h sur le profil en long. Avec les formules (3) ou (4), il est toujours indispensable de
CM. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIARLE. 357
relever h sur le profil en long pour calculer le rapport ■-,
dont l'expression analytique ne se présente pas sous une forme simple.
Triangulation, — Pour déterminer les sections à attribuer aux divers éléments de la triangulation, il est nécessaire et il suffit de connaître la valeur maximum de TefTort tranchant réduit W, pour une section quelconque (page 329).
Cette valeur, qui correspond au maximum de Teffort tranchant absolu, que nous avons désigné par T (page 350), est fournie par l'équation déjà énoncée :
Yy rp Xt dh
^^ ~ h dx '
Nous connaissons T par Tépure des efforts tranchants limi-
les, A et T- par le profil en long de Touvrage. Mais Xr, va-
leur du moment fléchissant qui correspond à Teiïort tranchant T, ne nous est pas connu, du moins la plupart du temps (sauf, ainsi que nous le verrons ci-après, pour les travées indépendantes où la surcharge variable est uniformément répartie). .
Le calcul de la valeur exacte de W n'est donc pas possible, à moins de dresser préalablement l'épure des moments Xt : ce serait prendre en certains cas beaucoup de peine pour un résultat de minime importance. Nous verrons cependant que^ même pour les poutres continues, ce calcul peut être effectué à l'aide de formules simples.
En somme, le moment maximum M se compose de deux parties : l"* le moment X dû à la charge permanente ; 2^ le moment limité X' ou X" du à la surcharge variable. Xt est né* cessairement compris entre X et M. On obtiendra donc une limite supérieure de W en remplaçant dans l'équation qui précède Xt par X, et une limite inférieure en remplaçant Xt par M.
Ces deux limites seront généralement peu écartées, de telle sorte que l'on ne commettra pas d'erreur sensible en attribuant à Xt la valeur moyenne — — =:X-t--— ou — (X + — )•
358 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES,
Cela fait, le calcul de W s'effectuera sans difficulté, à l'aide de Téquation qui précède.
Nous avons déjà vu que, dans le cas particulier où Ton suppose la surcharge invariable, W est toujours nul lorsque le profil en long est déterminé par la relation : K = KM, et
qu'il est égal à r lorsqu'on a : = K VM.
Si l'on fait usage, pour le calcul de h^ de l'une des formules
W 2, 3 ou 4 de l'article précèdent, le rapport— ne s'écarte jamais
beaucoup de cette valeur - •
Connaissant W, on déterminera les sections des pièces de triangulation par la méthode déjà indiquée pour les pouires de hauteur constante, en substituant dans les formules l'effort tranchant réduit W à l'effort tranchant absolu V.
itO. Épores des moments et de« efforts tranehants.
— La première chose à faire, lorsqu'on se propose de calculer un pont d'une seule travée, est d'évaluer approximativement le poids que représentera la charge permanente, d'après l'exemple des ouvrages existants, de même ouverture et de même forme, ou à l'aide des formules données dans les traités de construction. Nous rappellerons notamment les indications fournies à cet égard dans le tome I des Ponts métalliques^ et à la page 215 du présent ouvrage.
Le programme des épreuves à faire subir à l'ouvrage et le rôle qu'ils devra remplir fourniront d'autre part des renseignements précis sur la surcharge d'épreuve à admettre (Tome I, page 60).
Il conviendra ensuite de dresser : 1** l'épure des moments
en. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. 359
fléchissants maxima qui, dans ]ocas d'une travée indépendante, sont tous positifs et produits par la surcharge complète ; 2* Tépure des efforts tranchants maxima positifs T'' et négatifs T',qui correspondent toujours à une surcharge incomplète ; 3® si Ton veut une précision absolue dans le calcul de la triangulation, les épures des moments do flexion Xt// et Xt', correspondant, dans chaque section verticale considérée, aux dispositions de surcharge qui produisent T" et T. Quand la charge [et la surcharge, continues ou discontinues, sont réparties d'une manière irrégulière, le tracé de ces épures peut s'effectuer soit au moyen de formules algébriques d'un usage pénible, soit par des constructions géométriques qui relèvent de -la statique graphique, et sortent par conséquent du cadre du présent ouvrage.
Nous renverrons, à cet égard, aux traités spéciaux sur la matière *.
Nous ne nous occuperons que du cas, généralement admis dans la pratique, où Ton suppose la charge et la surcharge uniformément réparties sur toute la longueur de la travée^ la surcharge pouvant d'ailleurs être incomplète et ne couvrir qu'une partie de Touverture.
Désignons, comme nous l'avons toujours fait, parp et parp' les poids par mètre courant de la charge et de la surcharge, et par l l'ouverture de la travée. Nous nous bornerons, vu la symétrie de l'ouvrage, à donner les expressions analytiques de T", T, Xx^' et Xt/ pour la première moitié de la travée :
En se reportant aux pages 27, 28 et 33 du chapitre I, on voit immédiatement que les moments et les efforts tranchants maxima s'expriment comme il suit :
1. En ce qui touche la détermination des moments fléchissants maxima produits par une charge irrégulière donnée^ ou par une surcharge mobile (train de chemin de fer), nous avons fait un exposé sommaire de la méthode graphique dans une note du tome I (page 513). On suivrait une marche analogue pour la recherche des eflorts tranchants maxima.
300 POUTRES A TRAVEKS SOLIDAIRES.
M = - (jo +p') a: (/ — x); \ Surcharge couiplèle.
T'= 2 ;> (' — 2^) -1 ^j l Effort Iranchan t maxî-
X'=-i)xll-x)-h r^il-r)dr} ^^^ P^^'*'^' Surcharge T ^r \ w Jg i ^ ' j couvrant la zone limilée
= i jix(l—x)-h - ^'^^^""^^* / *'^ux abscisses x et /.
[ Effort tranchant minif — - 1 2, // 2j:) — 1 mum positif ou maximum
^ U'.r*'i-:r) \ ^^^^^^^' Surcharge cou- Xt'= - px (/ — x)-^-^—^ 1 vrant la zone limitée aux
ahscisses o et x.
Le calcul des moments fléchissants et des efforts tranchants ne présentera aucune difficulté : au surplus, nous verrons plus loin qu'il n'est pas toujours nécessaire d'en dresser les épures, et que Ton peut recourir en certains cas à des formules donnant immédiatement les sections droites des platebandes et les efforts tranchants réduits en fonction des données de la qucs* tion, et ne contenant d'autre variable que Tabscisse x.
i90.Traeé du profil en lon^. — H faut d'abord arrêter la hauteur maximum H à attribuer à la poutre dans la section où M est le plus grand, c'est-à-dire au milieu de l'ouverture. Il ne nous parait pas possible d'indiquer une règle générale à
suivre. Dans les ouvrages existants, y varie de tj. à^ , et est fréquemment égal à . ; la hauteur moyenne T y- ne parait
pas s'écarter beaucoup en général de la valeur r^ , comme
pour les poutres de hauteur constante.
Le rapport 7 parait devoir être pris plus grand pour une
poutre à deux semelles courbes que pour une poutre ayant une semelle rectiligne ; pour une poutre à semelles indépendantes que pour une poutre à triangulation. Il doit croître en même temps que la charge totale par mètre courant/? + />' : à égalité
fin. IV. - POUTRES DE HAUTEUH VARIAHLK. 3CI
d'ouvci'Iure, -. sera plus grand pour uq pont-rail formi! de deux poutres destinées à porterdetix voies que pour un pontrail à voie unique ; pour uo ponl-roule à chaussée empierrée ou pavée sur voûtes en briques, que pour un pont-roule à chaussée planchéiée. Il peut être hon aussi de tenir compte de l'efTel du vent, qui exerce sur les ponts une action tendant ii amener la renversement ou le voilement des poutres très hautes ; on sera parfois conduit par ce motif à réduire la hauteur au milieu de la poutre.
Nous donnerons plus loin une liste des principaux ouvrages existants, qui pourront fournir au besoin des exemples et des renseignements.
Supposons que l'on ait fixé la hauteur au milieu H, en tenanl compte des conditions particulières où l'on se trouve.
Il n'y aura plus qu'à établir le profil en long, en appliquant une des formules de l'article 117.
Nous avons dans le cas présent: Mh=- {p-hp'jP (moment maximum au milieu de la poutre), et T, = -(p-\- p') l (réaction maximum d'un appui).
Les formules en question deviennent donc :
(1) A = KM=4H^A ~fj ;
(2) A=Ky/M = 2HV/f(l-j) ;
(4) A = A, -f A,= y/Ai+BiM — \/Â7+ \/a,+B,M — y^Â^ Après avoir choisi la règle à appliquer, on pourra tracer im-
médiatement le profil d'une poutre dont on connaît Fouverture l et la hauteur au milieu H : les poids p et p ne figurent pas dans les relations, celles-ci ne contenant d'autre variable que Tabscisse x, ou si Ton veut son rapport x/l k l'ouverture.
Les formules (1) et (2) sont applicables indifféremment aux poutres à semelles courbes ou à une semelle courbe et l'autre horizontale.
La formule (3) est applicable seulement dans ce dernier cas:
remarquons qu^elle tombe en défaut pour H ^t. La courbe
qu'elle représente devient imaginaire dès que la hauteur de la poutre dépasse le quart de Touverture, hypothèse d'ailleurs inadmissible en pratique.
La formule (4) se rapporte auK poutres à deux semelles courbes : on établira séparément le profil en long de chaque semelle, défini par sa hauteur hx ou h^ au-dessus ou au-dessous de l'horizontale passant par ses extrémités.
Nous avons tracé sur la figure 121 quatre courbes, correspondant à la même valeur de H, dont les équations sont les suivantes :
A = 4H - H — - j , courbe 1 ;
A = 2U \/j (l — f^ , courbe 2 ;
;i = ^ [yi +320^ (l -î) - l], courbe 3 ;
* = i« [\/'+fî('-i) - 0 ■ --« *•
Les deux dernières courbes correspondent à la formule (3)
du présent article, où l'on attribuerait à -r soitlavaleur0,05
(courbe 3), soit la valeur 0,18 (courbe 4).
La figure 121 montre que le profil en long fourni par la formule (3) est intermédiaire entre les profils donnés par les formules (1) et (2), et se rapproche d'autant plus de la première
que Y est plus grand. Pour- = -, la formule (3) tombe en
CH. IV. -- POUTRES DE HAUTEUH VAHÏABLE.
défaut, ce qui s'explique facilement, puisque la parabole de même flèche-, qui est sa limite inférieure, coupe en ce cas
Fig. 121.
— = 1 pourar=Oj.
La courbe répondant à la formule 3 se trouverait ainsi tangente h la parabole sur Tappui et au milieu^ ce qui est impossible. Cette remarque ne présente d'ailleurs qu'un intérêt théorique.
191. Caleal de« platebandes. — Le profil en long étant arrêté, l'épaisseur des platebandes se calculera par la formule déjà énoncée à Particle 118 :
(i> COS OL=€C cos ot =
Nous allons voir ce que devient cette équation quand on l'applique aux différents types de poutres, en commençant, pour fournir un terme de comparaison, par la poutre de hauteur constante. Nous supposons toujours que l'ouvrage est à section transversale symétrique (R=R', ou o cos oc==o>' cos a ).
On a d'ailleurs :
1« Poutre de hauteur constante (à platebandes rectilignes) : A = H.
* (P + P') -^ ^ (I ^\ 0) = gc = > ^^^ Xa:(/ — ar).
2* Poutre à semelles paraboliques (indépendantes ou non) :
(0 cos oc = X - •
(0 cos oc est une conslante : on sait que c'est la projection sur un plan vertical de Taire d'une section droite quelconque d'une des platebandes. Lorsqu'une des platebandes est rectiligne, elle a une section constante dont Taire est préci-
sèment égale à - \,J /*. On réalise ainsi le véritable bow-
string, formé d'un arc parabolique dont les extrémités sont reliées par une corde rectilignc à section constante. L'aire de la platebande parabolique a pour expression :
8 RH cosa 8 RH >^* ^ *" ^* ^ ^
Elle va en décroissant. à partir de Tappui , jusqu'au milieu de la portée ,
Le volume par mètre courant de cette platebande décroit plus rapidement encore, puisqu'il est représenté par Texpression :
j^ i [pjj^ /* -f i6 H« (/ — txY
cosa~8 UH i« '
Cli. IV. — POLTRES DE HAUTKUH VaIUAULE. 3«iï
el varie entre les limilcs - — r-r— — - — sur I appui, et- P au milieu de la longueur.
3' Poutre dont le profil en long correspond à la relation : A=^2Hy- M — -j (avec ou sans semelle reclilignc).
Lorsqu'une semelle est horizontale, l'aire de sa section droite est fournie par la relation précédente, où l'on pose cos x = t. Elle va en croissant de l'appui, où elle est nulle,
jusqu'au milieu, où elle est égale à - — ~ — /'.
Pour la semelle courbe, on a :
6> va en décroissant depuis l'appui (j .. 1 jusqu'au milieu (i (P + p') »\
Le volume par nièirc courant horizontal est :
cos- 4 IIH Is'TÏÏ^
Il est infini sur l'appui, la semelle étant verticale pour x=Q, el va en décroissant jusqu'au milieu, où il est représenté
4' Poutre dont le profil correspond à une des relations (3) el (4) de tarticle 120, ou a été arrêté d'après une loi choisie arbiiratremeut.
Il n'y a pas grande utilité à substituer en pareil cas à A, dans la relation qui donne u cos x,son expression analytique en fonction de x. On obtiendrait des formules compliquées,
366 POUTRKS A TRAVÉES SOLIDAIRES.
4out remploi ne serait pas commode. Il vaut mieux relever la hauteur h^ pour chaque section considérée, sur le profil de la poutre dressé à FaTaace, et employer la formule générale :
Connaissant o) cos a, ainsi que la longueur c d*une plate-
« cos «
bande, on obtiendra sans difficulté la projections? cos x=
de son épaisseur, puis cette épaisseur e elle-même par la construction graphique de la page 356.
Lorsqu'on fait usage de la relation (3) de Tarticle 120 pour le calcul de A, Taire de la platebande horizontale, celle de la platebande courbe, et le volume par mètre courant des deux platebandes réunies varient, de Tappui au milieu de la portée, entre des limites faciles à déterminer, qui sont les suivantes :
Appui Milieu de rouvertura
Aire de la semelle horizontale - "T /, - P;
an. o I\H
Aire de la semelle courbe — — r — ^ /, - J\ P;
Volume par mètre des deux semelles *- — - — /, - .- P.
En prenant H = - , ce qui rentre dans les conditions de la
pratique, on voit que le volume en question a même valeur sur Tappui et au milieu, ce qui justifie Temploi de la règle proposée pour le tracé du profil en long.
Nous verrons ci-après (art. 126) que, lorsqu'on substitue à une poutre de hauteur constante H une poutre à semelles paraboliques de même hauteur moyenne, c'est-à-dire dont
l'élévation au milieu atteint ^ H, on augmente le poids total
/t J QUI
des platebandes dans le rapport — ^jj — . En admettant que
H = — Z> l'augmentation serait de 6 0/0*
CH. IV. — POUTRES DE HALTKUR VARIABLE. 367
Avec le profil intermédiaire de la formule (3), on réduira, au lieu de Taccrollre, le poids des plalebandcs, et on réalisera d'autre part une économie sérieuse sur le poids de la triangulation.
Dit. Poatre raidissante d'an ouvrage à «00161108
Indépendantes. — Si Touvrage étudié est à semelles indépendantes, il est nécessaire de le renforcer par une poutre raidissante destinée à résister aux moments de flexion et aux efforts tranchants secondaires N et Z, produits parles surcharges incomplètes. Il n'est pas nécessaire, d'ailleurs, que cette poutre soit isolée : on peut, en modifiant convenablement les dimensions d'une semelle ou du longeron du tablier, attribuer à cet élément la rigidité nécessaire pour qu'il remplisse, outre son rôle normal, celui de poutre raidissante quand la sur* charge est incomplète.
Le calcul de la poutre raidissante devra s'effectuer de la même façon que s'il s'agissait d'un pont suspendu. Nous ne reproduirons pas ici les mémoires publiés sur cette question dans les Annales des ponts et chaussées (Catfar/, 4 885, tome I; Maurice Levy, 1886, tome II). Nous nous bornerons à énoncer les expressions analytiques des moments et des efforts tranchants secondaires produits par la surcharge incomplète la plus défavorable, que nous emprunterons à l'étude de M. Cadart.
On a pour la première moitié de la travée
N=it:/?'j:^——^ -Maximum absolu: 0,045 /?7* pour a:=0,382 /. l — -j .Maximum absolu: —-pi pour a:=-'
Ces formules permettent de déterminer sans difficulté les dimensions des platebandes et des pièces de triangulation d'une poutre raidissante dont on se donnera le profil en long (en général à hauteur K constante).
Gela fait) si Ton veut attribuer à l'une des semelles du pont
3ia POUTUKS A THAVKKS SOLlDAIfŒS.
la rigidité nécessaire pour qu'elle joue le rôle de poutre raidissante, on procédera comme il suit : soit u l'aire de la section droite de celte semelle, calculée antérieurement (art. l21)pour
Fig. Wi. — Pont de Hambourg, sur l'Elbe
résister à la surcharge complète ; h' la hauteur de la poutre raidissante et a l'aire de la section droite d'une de ses plate-
Il conviendra de constituer la semelle rigide de deux platebandes situées à la distance h' l'une de l'autre, ayant chacune une section d'aire --f-a, et reliées entre elles par la
triangulation calculée pour la poutre raidissante, eu vue de résister à l'efTorl tranchant Z.
Si les deux semelles du pont doivent être rigides, on partagera entre elles l'augmentation de section 2a.
tVS. CkIsoI de l« trlBusulatlou. — Nous nous homerons, vu la symétrie de l'ouvrage, à énoncer les formules qui so rapportent à la première moitié dol'ouverlure : 0 < a; <— .
Pour calculer les «éléments de la triangulation, il ost nécessaire et il suflit de connaître, pour une section transversale quelconque, les limites extrêmes positive et négative W et W' que peut atteindre l'efTort tranchant réduit W, sous l'action dc!3 surcharges incomplètes les plus défavorahlcs. Il arrivera en général que la demi -ouverture se divisera en une zone latérale positive, adjacente à l'appui (0<'W^W} et une zôue
eu. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. 309
centrale (W < W < W"), comme dans le cas traité dans l'article 67.
On procédera pour le calcul des éléments de Tâme en substituant Teffort tranchant réduit W ou W à rcffort tranchant absolu V de la formule relative aux poutres de hauteur constante (page 123), sans autre changement dans la marche des opérations.
Nous donnerons encore ici, comme terme de comparaison^ les formules relatives à la poutre de hauteur constante. Nous rappelons que la valeur de W est fournie par la relation :
W = T-fr£ = T-^^(tga+tga').
Les expressions analytiques de T et Xt ont déjà été données à la page 360.
!• Poutre de hauteur constante, — L*effort tranchant réduit est égal à reffort tranchant absolu.
W" = T"=i;>(/-2z)+?ll^'.
La zone latérale positive s*étend de
x = {S à a: = ^!fy 1-+-^ — ij-
LiQ reste de la demi-ouverture fait partie de la zone centrale, dans laquelle l'effort tranchant varie entre un maximum négatif W' et un maximum positif W.
a** Poutre à semelles paraboliques : h = ittT (1 — - 1 •
L'effort tranchant réduit varie, pour une section quelconque, entre deux maxima égaux et de signes contraires. La zùne centrale comprend donc toute Touverture. 11 y a lieu de* re-
POUTRES A TRAVÉES SOLiDAlRES.
marquer ici que Tefforl tranchant réduit est proportionnel aux ordonnées de la parabole des moments. 11 est donc nul sur
Tappui {x = o) et maximum (± -p'i) au milieu de la portée
Fig. 123. — Pont de Mayence, sur le Rhin. 3« Poutre dont le profil est représenté par :
