EH

Dans le cas de la poutre à semelles paraboliques, on a les relations suivantes :

h=jx{l—x) et R = - ;

d'où :

La formule générale de la déformation des poutres devient alors :

dx^ El 2EU X (l^x) '

400 POUTRES A THAVÉliS SOLIDAIRES,

d'où, en intégrant deux fois :

dx 2EH / /—a? ' ^

RZ* 1

y =iSH • [ t"" (^•''- *)+ C-^) {ln.{l-œ)-l)+Cx+C\. Les constantes G et C sont déterminées par la double condition que j- soit nul au milieu de la portée (a: = - ), et y nul sur un appui {x= 0); d'où C = 0, C' = — /(Lgn./— 1);

RI* et enfin : y = -— - [x Ln . x -+• (/ — x) Ln . (/ — x) — /L/i.ZJ.

Posonsj:=- , et changeons de signe le second membre; nous obtiendrons la valeur de la flèche d'abaissement :

^= a-is (i^«'-^«- i) = m ^^"-2= 4-ËH X *'38^-

Considérons encore le cas intermédiaire où h= y yx(l—x),

dx«-EI-EA-EH* ^/TfTZ;; '

d*ou :

y =!U(2x.rc.Tg\/^+xv7=i-;arcTg\/^+Cr+C) .

On trouvera, en procédant comme dans le cas précédent :

Posons jc = - , et changeons le signe du second membre; on

aura pour flèche d'abaissement :

<:H. IV. — 1>01TRI:S l)K HAl TKIR VARIAliLK. iOl

Eq définitive, la flèche au milieu de la portée s'obtient pour une poutre d'égale résistance en multipliant le nombre

7— par un coefficient numérique variable, égal à 1 si la hauteur est constante, à 1,386 pour la poutre à semelles paraboliques (/i = KM), et à 1,142 pour le profil intermédiaire

A = K\/M. Ces renseignements seront toujours suffisants dans la pratique pour évaluer la flèche d abaissement d'une travée indépendante avec une exactitude satisfaisante.

199. Tracé du proill en longr. — Reportons-nous au chapitre III, pages 256 et 310. Supposons que, connaissant le nombre et les ouvertures des travées d'une poutre à calculer, on ait dressé l'épure des moments limites M, égaux suivant les cas à — (X + X') ou + X + X" (page 280), dans l'hypothèse de la section constante, en appliquant les règles indiquées au chapitre I ou au chapitre III, si l'ouvrage est symétrique. Cette épure permettra d'établir le profil en long de la poutre de hauteur variable.

L'emploi de la formule /i=t=:KM ne semble pas ici à recommander, à moins que la surcharge variable ne représente qu'une fraction très faible, presque négligeable, de la charge permanente.

Tout d'abord, l'indépendance des semelles ne serait pas réalisable : les moments de flexion secondaires, dont le calcul serait des plus difficiles et des plus pénibles, auraient une importance relative bien plus grande que pour les travées indépendantes (fîg. 101 et 102, page 309), et la poutre raidissante serait lourde. D'autre part, il faudrait de toute nécessité relier les platebandes dans toute la zone où le moment fléchis*

402 IVJUTIU:S A THAYKKS SOLIDAIIŒS.

sant est susceptible de changer tic signe, zone assez élt^ndue dans le voisinage de chaque foyer quand le rapport -' n'est

pas très petit.

Si Ton se décidait à établir une triangulation continue, on aurait une poutre dont le profil tourmenté compliquerait le travail du constructeur, sans que cet inconvénient fut racheté par une économie dans le poids du métal; l'emploi de la formule /t = KM, qui conduit à faire croître Tépaîsscur des platebandes au fur et à mesure que le moment fléchissant diminue, n*est justifiable que s'il permet de supprimer la triangulation.

i' - • 24,00 - • - Oéç 58,00 5|C. - . 24.00 - *

Fig. l.V). — Pont de Hnssfurth sur le Mein.

Les travées extrêmes du pont de lïassfùrlh sur le Mein fournissent un exemple de l'application de ce type. Mais la travée centrale, dont le prolil correspond à la courbe des moments produits par la charge permanente, abstraction faite de ceux dus à la surcharge variable, rentre dans la catégorie des po7ilS'(jnies, dont il sera parlé au chapitre Y. C'est en somme une construction hybride, sur laquelle on fera bien de ne pas prendre exemple.

On devra par conséquent recourir à la formule générale :

h ^ yjA + BM — V' A ,

qui comprend, à litre de cas particulier, la relation : A=K^M. La propriété caractéristique de ce profil consiste en ce que le poids par mètre courant horizontal des platebandes varie entre des limites peu écartées, tout en croissant en général avec le moment de flexion M, mais moins rapidement que sa racine carrée. D'autre part, Tefl'ort tranchant réduit W ne dépasse guère la moitié de l'effort tranchant absolu V. A ce

CIL IV. — IMKTKKS DK llArTKni VARIAliLK.

double poinl de vue, un ouvrage ainsi conçu permet de réaliser la plus grande économie de mêlai.

Les figures loi el 152 représentent des profils en long dressés, dans rhypolhèse d'une semelle inférieure horizonlale, à l'aide des formules :

et

dont nous avons fait antérieurement l'application aux travées indépendantes (fig. 121, page 363). Nous avons successivement admis que p était négligeable devant/)' (tig. loi), et p' négligeable devant/? (fig. 152). On obtiendrait dans la prali-

Fig. 151.

Fig. 152.

que, pour une valeur donnée de -, un profil intermédiaire,

qui, on peut le remarquer, serait très voisin d'une ligne droite dans la zone de l'ouverture qui correspond aux moments de flexion négatifs [M = — (X + X')], c'est-à-dire dans le voisinag^e de chaque appui.

En réalité, la ligne correspondant à la formule h=^Ky/M n'est rigoureusement recliligne que si M a pour expression

- p {a — xf^ ce qui est le cas pour une poutre encastrée à une

POLTHES A THAVKES SOLIDAIRES.

extrémité et libre à Taulro, la paruboie dos moments étant tangente en son sommet à Taxe longitudinal. L'exemple en serait fourni par une volée de pont tournant, ou par un ponlgrue à jonction centrale (voir cliap. V).

Mais, pratiquement, la ligne en question se rapproche toujours suffisamment d'une droile entre chaque appui et le premier foyer de la travée pour qu*on puisse se dispenser sans inconvénient de suivre la courbe exacte. Cette propriété est indépendante des valeurs numériques attribuées aux coefficients A et B. On devra donc substituer à la courbe théorique de chaque semelle^ entre les foyers de deux travées consécutives qui encadrent l'appui commun, une ligae brisée en chevron ayant son sommet sur Tappui. Cela faciliterai la fois les calculs de résistance et le travail d'exécution de l'ouvrage.

Fiff. 15n.

La fig. 1S3 représente le profit en long d'une étude faite pour rétablissement d'un pont sur l'East-River à New- York {ComolHy Ponts on Amérique), qui se rapproche sensiblement du type que nous venons de définir. Ce projet se rapporte d'ailleurs à un ouvrage de la catégorie des ponts-grues (chapitre V), qui diffère notablement d'une poutre continue ; nous ne le mentionnons ici que comme exemple de l'application du profil le plus économique des poutres continues de hauteur variable.

Si la charge de chaque travée, au lieu d'être transmise à la pile par des tirants obliques reliés à la semelle inférieure, comme dans le cas de la figure 153, était transmise par deux bras obliques, divergents à partir d'un sommet commun situé

CH. IV. -^ POUTRES DE HAUTEUR VARIABLE. Jm

sur la semelle inférieure, il conviendrait de supprimer, entre les points d^attache de ces bras sur la semelle supérieure, la ligne brisée du chevron, dont le sommet angulaire disparaîtrait, et de relier les extrémités des deux bras ou contrefiches par une portion de semelle supérieure horizontale (voir, à titre d'exemple, le profil du pont du Forth, au chapitre V).

Pour la partie centrale de la travée, limitée à ses deux foyers, la formule théorique indique un profil analogue à celui des poutres à travées indépendantes ; dans le cas d*un pont-grue, l'identité serait absolue. On peut substituer, pour plus de simplicité, à ce profil une droite horizontale, ce qui d'ailleurs modifiera dans une certaine mesure la courbe des M.

Nous admettrons donc que Ton ait recours à une relation de la forme 7î = \/A+ BM — y^A. Les coefficients numériques A et B se détermineront soit en fixant la hauteur de la poutre pour ^eux valeurs choisies de M, soit en se donnant la hauteur en un point et les inclinaisons a et a des semelles sur Thori-

zontale en un autre point, par exemple sur un appui. Dans la

dh formule-r; = tga + tg a, on prendra a et a' égaux à 43®

(semelle courbe), ou à 0 (semelle horizontale).

Comme nous ne connaissons pas d'exemple de ce genre de construction parmi les ponts existants, et qu'on n'en n'exécutera peut-être jamais, il nous semble inutile d'insister sur les considérations à invoquer pour la fixation des coefficients A et B ; nous renverrons à ce qui a été dit à l'article 120 pour le cas des travées indépendantes.

190. €)aleal des niomeutu d'inertie et traeé de« épure» de stabilité déflnitiirefi. — Si Ton a adopté un profil en long très voisin du profil théorique représenté par une relation de la forme A == y^A + BM — y^A, on pourra appliquer immédiatement la méthode simplifiée de l'art. 98 pour le tracé des épures définitives des moments et dos efforts tranchants relatives à la charge permanente. En ce qui touche l'effet de la surcharge variable, on conservera sans modification les épures établies dans l'hypothèse de la section constante (page 312).

400 PorTHKS A TliAVKKS SOLIDAIIIKS.

Si Ton veul arriver à un résultat d'une précision absolue, ou si Ton s'esl écarté du profil théorique, en remplaçant par exemple la courbe limitée aux deux foyers de chaque travée par une droite horizontale, il faudra appliquer la méthode de calcul des poutres de hauteur variable résumée à Tari. 97.

On calculera tout d'abord les moments dlneriiel à attribuer à un certain nombre de sections transversales de l'ouvrage par la formule :

Mh

OÙ h sera relevé sur le profil en long de la poutre et M sur Impure de 'stabilité relative à la section constante. R est, dans rhypothèse de la section transversale symétrique, la limite pratique du travail à la flexion admise pour une quelconque des platebandes.

Connaissant I, on établira les épures définitives des moments fléchissants et des eflbrts tranchants, en suivant la marche indiquée pour une poutre de hauteur variable dont les dimensions sont arrêtées (chapitre III).

tSO. Caleul de» plaiebandei» et de la triauirulatioii.

Les épures définitives des moments de flexion maximaM et des efforts tranchants absolus T étant dressées, il ne restera plus qu'à calculer les épaisseurs des platebandes et les sections des pièces de triangulation.

Pour les platebandes, on se servira des formules connues, où (0 et w' représentent les aires des sections droites et a et a les inclinaisons sur Thorizontale :

Semelle supérieure, co =

Semelle inférieure, w'

RA cos «' M

\\h cos a

On arrêtera les dimensions transversales des pièces de triangulation de façon que chacune d'elles puisse résister à Teffort

représenté par ; w est le nombre d'éléments parallèles

r:tl. IV. — l'iil THKS DK HAriKIU V.VmAItl.i:. 407

rencontrés par la socIJOD verticale consitiért'o, () leur angle commun d'inclinaison sur la vcrlicalo qui passe par leur extrémilé antérieure (pag'e 223), et W l'elTort lianchant réduit, dont la valeur exacte est fournie par la it'lalion :

\V = T--J(Tga + Tga').

Los valeurs de h, Tjfa et Igy.' seront rf!lcv(^es sur le prolil en long de la poutre.

Les niaximaposilifs T" ol négatifs T de l'elTorl tranchant absolu étant fournis par l'épiire préalablement dressée (pages 122 et 220), on calculera les moments Xi' et Xt" correspondants eu ajoulant au moment X dû à la charge permanente les moments, relatifs à la surcharge variable, donnés par les relations {1} et (3) de hi page 93 :

x; = u (i -î) +((- + ir)f + î,,v(;-:r);

X„, = (i: + J) (( |) + t' + l pr{l-T).

Ce sont les équaliuns des paraboles qui correspondent rospeclîvcment aux moments maxima (B et B') produits sur les verticales des appuis par les surcharges les plus défavorables. Leur trac<? ne présente aucune difficulté.

Il arrive presque toujours que Xr (Tjfx + Tya') étant de même signe que T, les valeurs absolues de W et W" sont inférieures à celles de T' cL T". Le cas contraire ne pourrait se

présenter que dans le milieu de la travée, si- était trhs petit. Dès que l'on connaîtra, pour une section quelconque, les limites de signes contraires W et W de l'effort tranchant réduit, on n'aura pour calculer la triangulation qu'à appliquer les r^gles énoncées à l'article 67, en substituant dans les formules W à V.

ISI.PvnlreNBemi-eontinueri. — Nous croyons utile de dire ici quelques mots d'un genre do construction, d'ailleurs

408 POUTHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.

peu usité, dont nous n'avons pas encore parlé : les poutres semi-continues^ qui sont une combinaison du type à travées indépendantes et du type à travées solidaires.

Lorsque la mise en place d'une poutre continue de grande longueur ne peut, par suite do circonstances locales, s'effectuer par voie de lancement, sa construction sur des échafaudages fixes peut être coûteuse en raison de la nécessité de les établir simultanément entre tous les points d'appui, puisque ledécintrement de Fouvrage tout entier doit s'effectuer en une seule opération, vu la solidarité des travées. Avec des travées indépendantes, on peut se contenter d'un seul échafaudage démontable, transporté successivement dans l'emplacement de chaque poutre, après avoir servi au montage de la précédente. L'économie ainsi ri^alisée est notable.

D'autre part, dans les rivières k fond vaseux ou mobile, l'installation d'échafaudages fixes peut être difficile et onéreuse. Il peut être avantageux de monter les travées sur un chantier établi sur une rive, et de les transporter à l'aide d'un ponton dans leur emplacement définitif: dans le voisinage de la mer, le jeu des marées facilite grandement les manœuvres d'enlèvement et de mise en place. Le môme procédé permettrait l'exécution d'une poutre semi-continue, formée de travées montées et mises en place isolément, dont on relierait ensuite les abouts de façon à rétablir la continuité. Chaque travée se comporte ainsi, sous l'action de la charge permanente, comme si elle était indépendante : l'équation de la parabole des moments est, dans l'hypothèse d'une charge uniforme :

Pour la surcharge variable, au contraire, la solidarité existe, et l'on trouve l'épure des moments en suivant les règles indiquées aux chapitres I, II et III.

La formule h = v^A + BM — \\ conduit dans ce cas à attribuer à chaque travée un profil aiuilogue à celui représenté par la figure 1S4.

Il peut arriver encon» que l'on divise une poutre de n travées

eu. IV. — POUTRES DE IIAUÏEUll VARIABLE.

en deuj^ tronçons de m et de ?i — m travées, qui seront lancés chacun à partir de Tune des rives, la jonction s'op^rant sur la pile de numéro m. En ce cas, les calculs de stabilité s'effec-

Fig 154. — Pont près de Tilsitt sur la Kurmer$zeris.

tueront en considérant l'ouvrage comme composé de 2 poutres continues successives de m et de 7i — ;w travées en ce qui concerne la charge permanente, et comme constituant une seule poutre de 7i travées en ce qui louche la surcharge variable. Sur la pile m, les moments dus à la charge permanente sont nuls en raison du mode de construction.

Nous verrons d'ailleurs, à la fin du chapitre V, qu'au point de vue du poids de métal employé un ouvrage établi avec la semi-continuité sur tous les appuis n'est guère moins coûteux qu'une série de travées indépendantes, pour peu que les ouvertures soient un peu grandes. L'application de ce type sera donc ouj ours très restreinte.