ET

y — iCT-+^ai — Êï— +/^=

, P'Xdx r'\(X''a)dx

^^-"^ in- j. ^i- •

Pour obtenir la flèche d'abaissement F an milieu de la poutre centrale, il suffit de poser dans Téquation qui précède

X = -^Y" > ®^ d^ changer le signe du résultat :

Si Ton connaît, pour une section transversale quelconque, le moment de flexion X et le moment d'inertie réduit I, on peut toujours calculer par quadrature toutes les intégrales définies qui figurent dans ces formules, et obtenir par conséquent en grandeurs et signes les flèches d'abaissement f^f et F qui correspondent aux articulatious et au milieu de la poutre centrale. On peut d'ailleurs, en attribuant à x une valeur déterminée, calculer avec la même facilité, pour le point correspondant de la fibre, le déplacement angulaire 6 et rabaissement — y, en ayant soin de choisir convenablement les formules à adopter, suivant que x est compris entre o et a, a et a , a' et l,

La recherche de la déformation d'une travée à double articulation peut donc être considérée comme un problème résolu, quelles que soient ses conditions d'encastrement ou de simple appui sur ses piles, à la condition qu'on connaisse toutes les dimensions de la travée en question et qu'on ait dressé au préalable l'épure des moments fléchissants.

Nous avons numéroté (i) et (2) les équations donnant les flèches / et /" relatives aux articulations: ce sont les seules dont nous aurons occasion par la suite de faire usage.

Travée à articulation unique. — Supposons que la travée AA' ne possède qu'une articulation, située en 0 (iig. 184).

FlR. 184.

Nous pouvons calculer sa flèche d'abaissement /soit par la formule (t) de Tarlicle précèdent :

r A /** X (a— a?) dx

soit par la formule (2), puisque le point 0 appartient à la fois aux deux consoles AO et OA', réunies à leurs abouts opposés par une articulation.

Il suffit de remplacer dans cette formule (2) f par /, et a par a, ce qui donne :

!• / . A/ /f X r^\(x—a)dx

Retranchons cette équation de la précédente. Nous obtenons une relation nouvelle, qui exprime que les abouts des deux consoles opposées sont toujours au môme niveau, en vertu do la liaison établie entre eux :

Jo *.!

POLTIiES A TRAVÉKS SOLIDAIRES.

Nous aurons également à nous servir de celle formule.

Il esl d'ailleurs évident que les équations de la fibre déformée seront celles déjà données pour les consoles AO et O'A'de la travée à double arlicuiation, en y substituant a à a. Nous nous abstiendrons de les reproduire.

Travée satis articulation. — Supposons que la travée AA' ne comporte aucune articulation (fig. 185).

Fig. 185.

L'équation fondamentale ~ = g-, appliquée à l'ensemble

de la ferme, qui est continue de A on A', donne : Équations de la fibre moyenne :

*i — e= T — ix ^ X ^^^ '

dy dx

Xxdx El ■

r \dx f xx

Flèche au milieu de la portéef a: = A :

i i l A \dx r Xxdx

~îJo Ëi"^j. "kT^

Bl

CHAP. V. — POxNTS-GRUES. 4GI

Si l'on pose x = l dans les équations de la fibre moyenne,

on doit trouver -r =+ O'et y= — u\ puisque la section con-

sidérée sur la poutre est celle d*appui A", dont les déplacements verticaux et angulaires ont été désignés par + 0^ et —m'.

Cela nous donne les conditions suivantes :

141. Dcformatioii denpilefli. — Pile encastrée. — L*ac« tion exercée par une console sur sa pile se traduit par une force verticale Q appliquée au centre de Tappui, que nous affecterons du signe •+- si la pile est comprimée, et un couple dont le moment rx a été appelé précédemment le moment de renversement de la pile. INous attribuerons à ce moment le signe + s'il tend à faire déverser la pile de droite à gauche, en la rapprochant de la pile préci'dente.

Par suite de Télasticité de la matière qui constitue la pile, la force Q et le moment »/. déterminent un déplacement vertical du centre de gravité, ainsi qu'un mouvement angulaire du plan de la section horizontale supérieure de ce support. La pile étant d*ailleurs reliée invariablement à la console, les déplacements vertical et angulaire dont nous venons de parler seront précisément ceux relatifs à la libre déformée, que nous avons désignés à Tarlicle précédent par u et 9.

En vertu du principe de la proportionnalité des elTorts exercés sur les corps élastiques et des déformations correspondant tes, on a :

//-"-yQ, et 0--I>,

Y et r étant des coefficients numériques, indépendants de Q et de [A, qu'il est toujours possible de déterminer pour une

pile métallique quelconque, connaissant toutes ses dimensions et la nature du métal qui la constitue. Nous renverrons, en ce qui concerne la recherche de y et de T, au chapitre VI, où la qneslîoa est traitée (art. 172). Pour le moment, nous nous bornerons à admettre que ces coefficients numériques ont été calculés à Tavance, et sont, des à présent, des données de la question.

On voit alors que dans toutes les formules de l'article 139, où les lettres u et 6 désignent la déformation de la section d'appui d'une console encastrée, il sera permis de remplacer ces inconnues par leurs expressions yQ et Fji., en fonction de la réaction Q exercée par la pile sur la console et du moment de renversement ji..

Cas particulier. — Supposons que la pile puisse être regardée comme indéformable en raison de l'exagération de Taire et du moment d'inertie de sa section horizontale, qui n'est soumise, sous l'action de la force Q et du moment [x, qu'à un travail à la compression et à la flexion trop faible pour entraîner une déformation appréciable. Tel est le cas par exemple d'une pile en maçonnerie que la charge et le couple de renT versement n'affectent pas d'une façon sensible, w et 6 devront être considérés alors comme nuls ou négligeables : le raisonnement précédent s'applique encore, à condition d'attribuer aux coefficients F et y des valeurs nulles, la pile étant, dans les conditions où elle est établie, assimilée à un solide inva* riable.

Pile non encastrée. — La pile n'est sollicitée que par la force verticale Q : elle ne subit que le déplacement vertical u. On a

w = yQ.

Le déplacement angulaire 9 de la console au droit de l'appui se manifeste librement, sans aflectcr la pile, surmontée d'un appareil de support à balancier, comme dans le cas d'une poutre à travées solidaires. Le moment de renversement ^ est nul. On peut encore remplacer dans les formules de l'article 139 le déplacement vertical u par son équivalent yQ, mais

CHAP. V. — PONTS-GRUKS.

on n'a plus le droit de substituer à 4 la valeur ly, qui n'aurait aucune signification, le moment pi. étant nul, et rinclinaison de la console étant indépendante de la résistance à la flexion de la pile, que mesure le coefficient F.

iâ9. Béfbmuiti^ii des ponts-^mes ordinaires. —

Considérons un pont-grue ordinaire et supposons qu'on ait dressé l'épure des moments fléchissants X et celle des efforts tranchants V en suivant la marche indiquée à l'article 137.

Pour une pile quelconque, l'effort vertical Q transmis par le pont est représenté en grandeur et en signe par la différence des efforts tranchants développés, au droit de la section d'appui, dans les travées précédente et suivante. On peut donc le relever sur l'épure des efforts tranchants.

Pour une pile encastrée, le moment de renversement (a est fourni en grandeur et en signe par la distance des points d'intersection avec la verticale de la pile des droites D de la travée précédente et de la suivante; d'aprfes la convention posée à l'article 139, [jl est positif si le point d'intersection relatif à la travée précédente est au-dessus de celui relatif à la travée suivante.

Dans la ligure 186, où les droites D et D' de deux travées consécutives sont représentées par MN et MI\', on a :

Q^m(t+(ln, et jy.= -M'N.

Si le point N était au-dessus de M', ja serait positif.

Pour que Q fût négatif, il faudrait : ou que le point n fut audessus de riiorizontale menée par s, et m' au-dessous de l'horizontale menée par s' ; ou que cette interversion eut lieu seulement pour celui de ces points qui est le plus éloigné de Thorizontale correspondante s ou s\

Connaissant Q et {/. pour chaque pile encastrée^ nous en déduirons les valeurs, en grandeurs et signes, du tassement u et de l'angle 6 par les relations : m = yQ et 6 = Fj!., où y et T sont des coefficients numériques positifs calculés d'avance pour chaque pile.

Si la pile est en maçonnerie, on a n = o et 6 = o.

Pour chaque pile non encastrée, on calculera de mAme : u = yQ. Mais, le moment de renversement étant nul, on ne disposera plus d'une formule permettant d'évaluer 0.

Si la pile est en maçonnerie, ii est nul.

En défînilive, les u de toutes les piles peuvent être déterminés immédiatement, à Taide des renseignements fournis par l'épure des efforts tranchants. Les angles 8 pourront être également calculés , en se basant sur l'épure des moments de flexion, pour les piles encastrées ; pour les piles non-encaslréeSy ces angles demeurent inconnus jusqu'à nouvel ordre.

Nous nous proposons de calculer les déplacements verticaux /"subis par toutes les articulations du pont-grue.

Nous écrirons à cette effet les équations suivantes. Il est bien entendu que l'origine des x est toujours placée à l'extrémité de gauche de chaque travée, et que les abscisses des articulations sont représentées par les lettres a et a' ; enfin les lettres qui se rapportent au second support sont accentuées.

1® Travée de rive gauche, a. — Pourvue d*une arliculalioii.

h, — Sans arlîculalîon.

(5) u-u'-H'l-hf'^ = o.

En général le lassemeutMde Texlrémilé appuyée sur la culée peut être regardé comme nul.

2' Travée intermédiaire.

a. — Pourvue de deux arliculalions.

b. — Pourvue d'une seule arliculalion.

(3) u-u'-da- e' (l-a) - f^ ^'"^^ '^ = 0.

c. — Dépourvue d'articulation.

(5) u—ti—^l—j j,j =0.

3» Travée de rive droite,

a. — Pourvue d'une arliculation.

/i\ r A C^ ^ (a—x)dx

(1) f=u~Ha-J^ — ^j

b. — Sans articulation.

Nous obtiendrons de la sorte, quels que soient d'ailleurs le noynbre et le mode de répartition des articulations y une équation par travée de rive, et deux par travée intermédiaire, en tout 2n — 2. Ces équations sont du premier degré en fonction des inconnus /et 9. Nous avons vu précédemment que le calcul préalable des tassements u peut toujours se faire en s'appuyant sur la valeur connue de la réaction Q exercée par la pile.

Or, si le pont comporte R articulations, cela nous fait R inconnues /à déterminer.

S'il existe II piles non encastrée, nous avons II inconnues 6; nous avons vu que, pour les piles encastrées, les angles 6 étaient fournis par un calcul préalable, basé sur la relation qui existe entre cet angle et le moment de renversement ja.

Nous avons donc en tout R -[- II inconnues à tirer de 2n — 2 équations simultanées du 1°^ degré. Or, en vertu de la définition donnée pour les ponls-grues ordinaires^ on a :

Le problème est donc déterminé et Tétude de la déformation s'effectuera sans peine.

Dans le cas spécial d'un pont-grue complet y tous les angles 6 étant connus puisque toutes les piles sont encastrées, les équations (1) et (2), au nombre de 2/i — 2, fournissent immédiatement les valeurs des /relatifs aux 2n — 2 articulations.

143. Calcul d^nn pont-^rue mimte. — Dans Tétnde que nous venons de faire, nous avons admis que les épures des

moments fléchissants X et des efforts tranchants V, relatives à Touvrage considéré, avaient élé dressées au préalable en appliquant la méthode de Tart. 137, et que ces épures fournissaient immédiatement d*une parties valeurs des réactions Q exercdes par les piles et des moments de renversement ja qui leur sont transmis, de l'autre le moment de flexion X pour une section quelconque, renseignement indispensable pour calculer,"au moyen de procédés de quadrature analogues à celui de Tarticle 79, les intégrales définies qui figurent dans les équations du 1*' degré à résoudre.

Lorsqu'on a affaire à un pont-grue mixte, il n'est plus possible d'établir les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants par la méthode de l'article i 37. Nous ne pouvons donc plus opérer comme dans le cas des ponts-grues ordifiaites; les seuls renseignements dont nous disposions, avant d'entreprendre l'étude de la déformation de l'ouvrage, nous sont fournis par l'épure des moments fléchissants S et des efforts tranchants (7 calculés dans l'hypothèse de l'indépendance des tra-; vées : il est toujours possible bien entendu de dresser cette épure, puisqu'il suffit de connaître la disposition de la charge et de la surcharge appliquées sur chaque travée considérée isolément.

Rcportons-noufl à la figure 186. Les courbes BSA et AS'B, ms7i etmVn' ont été tracées. Mais pour les droites D, c'est-àdire MN pour la travée BA et M' N' pour la travée AB, nous ignorons quant à présent leurs directions effectives : par suite, nous ne connaissons pas non plus les positions exactes des horizontales s et s', qui complètent Tépure des efforts tranchants. Ces horizontales doivent couper les lignes m^^ et mV aux points 5 et s' , qui correspondent aux points de contact des courbes S et S' avec les tangentes parallèles aux droites D.

Désignons par M et N les moments fléclussants négatifs représentés en grandeurs par les distances MB et NA, et prenons^ les pour inconnues du problème.

Soient S les ordonnées de la courbe BSA, fournies par l'épure; a les ordonnées par rapport à l'horizontale ba de la courbe fnji, également connues ; enfin C la réaction qu'exercerait la pile sur l'ouvrage si les travées étaient indépendantes :

G = an + am' = m'n.

4C8 POUTRES A TRAVÉKS SOLIDAIRES.

Le moment fléchissant X du pont-gme, représenlé par les distances verticales- de la droite D à la courbe S, aura pour expression :

X<p(x)c&c,ccsl-

à-dire contenant l'inconnue X au 1" degré, pourra toujours se mettre sous la forme :

s? (x) dx+M I U — ^j?(a:) rfx + N j ^ ? (x) dx,

La fonction ^{x) ainsi que la variable S étant connues, on pourra toujours calculer par quadrature chacune de ces intégrales partielles, de façon à ramener Tinlégrale considérée

/ X?(x)dlr à une fonction du 1" degré des inconnues M et N,

soit K + K'M+K"N, dans laquelle les coefficients K,K'et K* auront des valeurs numériques connues.

On a d'autre part :

[jL = AN — AM' = M' — N.

Le moment de renversement est égal à la différence des moments inconnus N et M' développés dans la section d'appui commune par les deux travées adjacentes. ^ est donc une fonction du 1®' degré de ces inconnues.

Enfin ;

Pour une pile quelconque, le tassement ii est ou nul (pile en maçonnerie) ou fourni par la relation :

Pour une pile encastrée, le déplacement angulaire 0 est ou nul (pile en maçonnerie) ou fourni par la relation.

Ces préliminaires établis, considérons un pont-grue mixte de n travées, comportant R articulations, et II piles non-encastrées. On a par définition : R + II < 2w — 2.

Nous commencerons par écrire les 2n — 2 équations (1), (2), (3), (4), (5) dont nous avons parlé à propos des ponts-grues ordinaires à raison d*unc par travée de rive, qu^elIe ait ou non une articulation, et de deux par travée intermédiaire, qu'elle soit à double ou à simple articulation, ou sans articulation. Il n*y a qu'à se reporter à Tarlicle qui précède : la marche à sui* vre est la même, que le pont-grue soit ordinaire ou mixte.

Nous pourrons écrire d*autre part R équations nouvelles, exprimant qu'au droit de chaque articulation de l'ouvrage le

{ — -tJ h- N -, doit s'annuler.

Soit a l'abscisse de cette articulation ; on a :

(I) o = s.h-m(i -J) + nJ.

Enfin, sur toutes les piles non encastrées, le moment de renversement est nul : ix = 0 = M' — N ; d'où :