II) N = M

Cela nous donnera encore II équations de condition.

Si nous remplaçons partout les intégrales définies où X est sous le signe /, les w, et les o relatifs aux piles encastrées par leurs expressions du premier degré en fonction des inconnues N et M, nous trouverons définitivement que les 2;i — 2 + R + n, relations que nous venons d'écrire (2n — 2 de la forme (1), (2), (3), (4) ou (5), R de la forme (I) et n de la forme (II) contiennent au premier degré 2w — 2 + R + H inconnues, savoir :

2« — 2 moments M et N (à raison de deux par pile), R flèches /(à raison d*une par articulation), II angles 0 ( à raison d'un par pile non-encastrée).

On n'aura donc qu'à résoudre ce système de 2n — 2 + R 4" II équations simultanées du premier degré, pour obtenir: d'une part, les moments sur les appuis M et N qui permettent

j ^^. jï/LrDAlRES.

n"'^ ,metAs fléchissants et celle des /v /w«"^ ■'!i'^'' '•'^ flisches d'abaissemont /"qui ,,-^/'^'^^"'-j!iii"'''"°^ subies par le pont.

^"'"Jr^^^eroe ordinaire, qui est la limite stîparative .^iren^'^'mixlts el des ouvrages instables, od peut

«"'■'^ '* ^u" *" s''"P''fi'! *i'ors parce que les R + Il relations £* J!Jj^n(au nombre do 2» — 2 et, considérées isolément, ''■■5(int i cll'^s seules les 2n — 2 inconnues M et N.

m^'itiodo géométrique exposée à l'article 137 consiste ginipl^menl dans l'emploi d'un procédé graphique pour la tilion de ces équations, procédé qui, par sa simplicité, a paru préférable à la solution analytique, d'ailleurs 1res lable puisque chaque équation du premier degré ne conque deux inconnues.

mire pari, les %i — 2 autres inconnues, soit R llèches I angle 9, sont fonrnîcs séparément par les 2m — 2 rela- (I), (2), (3), (4) ou (5), où l'on a substitué aux moments N leurs valeurs précédemment établies (art. 142). itudc du pont-gruG mixte sera notablement facilitée si peut tirer un certain nombre de moments M et N de [ucs-unes des équations 1 et II, sans recourir aux fors de la déformation. On le reconnaîtra immédiatement érifiaut si la méthode graphique de l'article 137 permet d'abord de tracer les droites D d'un certain nombre de es ; il faut pour cela qu'il existe au moins une travée à re centrale, qui servira de point do départ. Dans ces con- 13, le système des 2/i — 2-hR + II équations du premier ) se subdivise en un certain nombre de groupes indéints que l'on peut résoudre soparémont, ce qui abrège diJ;rement les calculs. Prenons par exemple le pont do 1 (fig. 174 el 175). On pcul tracer les droites D des deux os intermédiaires, qui comportent chacune une double ilation, par le procéilé graphique de l'article 137. Les étant toutes encastrées, il ne reslera plus, pour per- ■e l'achèvement de l'épure de stabilité, qu'à calculer le .-..lent N do la travée de rive gsuclie, qui se tirera d'upe

CHAP. V. — PONTS-GRUES. *7i

équation (5), et le moment M de la travée de rive droite qui s'obtiendra de la m(>me façon. Après quoi on déterminera les flèches / relatives aux deux articulations de chaque travée intermédiaire par la résolution des équations indépendantes (1) et (2), ne contenant plus chacune qu'une seule inconnue.

Pour la passerelle de Passy, au contraire, dont aucune travée ne comporte deux articulations, il faudra, de toute nécessité, résoudre en une seule opération le système des sept équations simultanées du premier degré, qui contiennent comme inconnues : les quatre moments M et N relatifs aux deux piles ; les deux angles 0 relatifs à ces mêmes piles ; la flèche / de l'articulation centrale.

144. Ponlres À travées solidaires encastrées svr les piles. — Supposons que Ton ait R = o. Le pont-grue, ne comportant pas d'articulation, est une poutre continue, que Ton calculera on résolvant un système de 2n — 2 équations (1), (2), (3), (4) ou (5) et de n équations U.

Si n est égal à n — 1 , la poutre est simplement appuyée sur toutes ses piles et on retombe dans le cas général étudié dans les chapitres I, II etlll. Si II est égal à zéro, la poutre est encastrée sur toutes ses piles. On a affaire à un genre de construction tout nouveau, qui présente cette particularité d'être en définitive d'un calcul plus facile que le type classique de la poutre à travées solidaires : on n'a à résoudre que les 2n — 2 relations (1), (2), (3), (4) ou (5), ne contenant pas d'autres inconnues que les moments M et N, au lieu de 3« — 3 équations renfermant de plus n — 1 inconnues.

Ce genre de pont aurait Favanlage d'être beaucoup moins déformable sous le passage des surcharges roulantes que la poutre continue ordinaire, et il serait désirable que l'on en fit quelques applications pour se rendre compte de ses mérites. Si les piles sont métalliques, il y a évidemment intérêt à relier solidement chaque montant à la poutre, au lieu de surmonter la pile d'un support mobile à balancier et rouleaux de friction, ce qui constitue un mode de liaison peu efficace au point de vue de la résistance au vent, facilite les déformations et favorise les oscillations transversales et verticales du pont.

Enfin, au point de vue de la résistance aux chocs (passage des véhicules lourds, comme les locomotives), la conlinuilé absolue du système formé par le pont et ses piles est à coup sûr très désirable.

La seule objection à opposer à noire Ihèse serait, scmblet-il, basée sur la nécessité de laisser les mouvements longitudinaux du pont, dus aux dilatations et aux contractions produites par les changements de température, s'opérer librement. Nous verrons plus loin (art. 149) comment on peut réaliser un encastrement ne gênant pas les mouvements longitudinaux delà poutre, sans trop laisser a désirer au point de vue de la solidité de l'assemblage avec la pile.

Si la pile est en maçonnerie, il faut, pour réaliser Tencastrement, ou lui donner une longueur, mesurée sur Télévation du pont, très considérable, ou la diviser en deux massifs isolés, formant deux piles distinctes dont la distance mutuelle sera fournie par le calcul (fig. 175). Cela revient en somme à doubler le nombre des piles, en intercalant entre deux grandes travées consécutives une travée très courte dont la portée correspond à la base d'encastrement des grandes travées. Sur chaque pile, on installera un appareil do support ordinaire, à balancier et rouleaux.

Une pareille disposition est dispendieuse en raison de la nécessité de doubler le nombre des piles ; elle ne peut donc être justifiée que si les grandes travées sont d'ouverture très exceptionnelle, en raison de circonstances locales ne permettant pas de les réduire.

L'économie à réaliser sur leurs poids et Tutilité de réduire au minimum les déformations produites par la surcharge sont en ce cas un motif suffisant pour motiver l'encastrement. Nous verrons que celle mesure a été appliquée au pont du Forth : en supprimant les articulations de cet ouvrage et plaçant sur chaque pile un appareil de support à rouleaux, on aurait une poutre continue équivalente comme poids et moins déformable sous le passage des trains. Par contre, la liaison avec les piles étant moins bien assurée, la force de résistance au vent serait réduite. Celle modification présenterait donc un inconvénient compensant ses avantages.

Nous avons reproduit sur la figure 187 Tépure des moments qui se rapportent à la travée normale d'une poutre continue, simplement appuyée sur ses piles (fig. 65, page 183). Nous y avons ajouté en pointillé Tépure des moments produits par la surcharge variable dans le cas de la travée normale parfaite* ment encastrée sur ses appuis (fig. i4, page 29). Pour la charge permanente, il n'y a aucun changement. Pour la surcharge variable, l'écart existant entre les lignes pleine et pointillée indique Timporlance du bénéfice maximum que Ton peut retirer de Tcncaslrement, Pour un encastrement incomplet, tel que le fournirait une pile métallique, on aurait une courbe intermédiaire.

O^tîU

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o^êsu

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0,Oik$7

Fig. 187.

En étudiant ce genre de construction, on arriverait à simplifier la méthode de calcul de façon à la rendre plus aisée à appliquer que s'il s'agissait d'une poutre continue simplement appuyée sur ses piles. Nous avons cru inutile de nous lancer dans une pareille recherche, au sujet d'un type qui n'a pas reçu la consécration de l'expérience.

f 4ft. Wttetm de la dénlTellation des appoiv fior les pentsvffrnes mixtes. — Nous avons vu que les ponts-grues mixtes étaient sensibles, comme les ponts à travées solidaires, qui en constituent une variété, à la dénivellation des appuis.

Il sera toujours facile d'étudier Teffet produit par les tassements de plusieurs piles, abstraction faite de la charge permanente et de la surcharge, en suivant la marche indiquée à l'article 143. On attribuera aux déplacements verticaux des appuis u leurs valeurs exactes, fournies par le profil en long définitif des sommets des piles, et l'on supprimera tous les termes où S entre en facteur, S étant nul puisque la charge et la surcharge sont éliminées.

On aura comme précédemment : 2n — 2 + R+n équations entre autant d'inconnues :

2n — 2 moments d'appui M et N, R flèches f, Il angles 6.

Rien ne sera donc mpdifié dans la marche déjà exposée. Connaissant M et N, on tracera pour chaque travée la droite D dont les distances verticales à l'axe des x feront connaître les moments de flexion.

f IG. Caleal des éléments d^nn pont^^rae. — Connaissant le profil en long et les épures des moments fléchissants et des efl'orts tranchants d'un pont-grue, on calculera les éléments constitutifs de chaque ferme par les formules relatives aux systèmes rigides de hauteur variable (art. 121, i23, 130). Il n*y&^cet égard aucune indication nouvelle à formuler.

Il convient de remarquer que la semelle supérieure est toujours tendue dans les consoles (X négalifs) et comprimée dans les poutres centrales (X positifs). L'effort tranchant ne change jamais do signe que dans la zone moyenne de chaque poutre centrale assimilable aux travées indépendantes cl, pour les travées sans poutre centrale seulement, dans le voisinage des abouts des consoles (pont du Niagara, about de

aiAP. V. -^ PONTS-GRUBS, 475

rive de la console) ; dans ce cas, le moment fléchissant peut aussi changer de signe dans celte même portion de la console. Ce n'est donc que vers le milieu des poutres centrales, et, en certains cas, dans le voisinage des abouts des consoles que les triangulations à montants verticaux et tirants obliques doivent être complétés par des contre-tirants formant croix de S t- André.

La méthode de calcul des systèmes articulés (page 319) est applicable aux ponts-grues ordinaires. L^emploi de la statique graphique est particulièrement à recommander, surtout si la hauteur du pont est variable.

Pour les ponts-grues mixtes, dont le calcul exige l'intervention des formules de la résistance des matériaux, la méthode des systèmes articulés entratne de grandes complications et les épures de la statique graphique sont assez pénibles à établir.

Nous reviendrons sur ce sujet dans le prochain chapitre.

149. Division en travées et en tronçons. — Il convient que dans un pont-grue toutes les travées intermédiaires présentent des ouvertures égales. Supposons, en effet, que Ton réduise la portée de Tune d'elles, en augmentant d'autant celle d'une travée voisine. D'abord Taccroissement de poids qui en résultera pour les grandes poutres de la travée allongée sera supérieure à la réduction opérée sur les grandes poutres de la travée raccourcie. Ensuite, une de ces travées se trouvant plus lourde que l'autre, les moments de flexion développés de part et d'autre de la section d'appui dans la console commune ne seront pas égaux, si cette console est encastrée sur sa pile. La pile sera donc soumise à l'aclion d'un moment de renversement constant dû au poids propre du pont, auquel viendra s'ajouter temporairement le moment produit par la surcharge d'épreuve couvrant la totalité de la grande travée, à l'exclusion de la petite. Cette pile devra en conséquence 6tre beaucoup plus robuste que dans le cas dé deux travées égales, dont les poids propres se feraient équilibre, sans tendance au déversement : d'où une augmentation nouvelle de dépense, <jui peut être sérieuse.

D'autre part, le montage par encorbellement est plus difficile et plus dispendieux lorsque les travées sont d'inégale longueur.

Enfin les déformations des deux travées consécutives seront beaucoup plus accentuées, soit qu'il s'agisse de Taltération permanente du profil en long duc au poids propre de louvrage (Fangle 0 n'est pas nul dans le cas de Tinégalité des ouvertures), soit que l'on considère les déplacements temporaires produits par le passage des charges roulantes. Il en résulte une aggravation du défaut essentiel des ponts-grues à articulations, qui consiste dans l'importance des déformations produites par les surcharges mobiles, cl dans l'amplitude des oscillations qui en résultent.

Il est bien évident d'ailleurs que, si une pile métallique de grande hauteur est soumise en son sommet à un moment de renversement permanent, elle s'infléchira d'une façon appréciable du côté de la travée la plus lourde, celle-ci s'afTaissant tandis que la petite travée se relèvera : le profil de la voie publique sera altéré d'une manière fâcheuse.

En conséquence, l'égalilé des ouvertures s'impose pour les travées intermédiaires.

Ce point admis, il convient évidemment d'employer des consoles symétriques par rapport aux piles.

Soient L l'ouverture totale d'une travée à poutre centrale, et a la longueur d'un bras de console. La valeur la plus avantageuse, au point de vue de la dépense, à attribuer à cette longueur a sera fournie par la formule :

OÙ P est le poids propre de la ferme métallique montée par encorbellement, et P' le poids total de la demi-travce correspondante après son achèvement, y compris la surcharge d'épreuve complète.

a varie ainsi depuis le minimum j, lorsque P est négligea-

blc devant P' (pclilcs ouvertures), jusqu'au maximum- L, lorsque P diiïère très peu do P' (portées exceptionnelles).

CirAl'. V. - PONTS fiRUKS.

Flj, lf8. — Ponl tournant de Brest, Demi élévation.

Fig. 183. — Ponl lournanl de Brest. Verrou <le joni'tion des volées.

Flg. 191, - l'ciU toiiniaiit de Goolo (Anglelorrc).

La longueur totale d'une console, d'une articulation extrême à Tautre, est égale à 2a augmenté de la largeur de la base d'appui, qui peut être considérable (pont du Forth). La

longueur de la poutre centrale varie dans les mêmes condi-

tions entre g, lorsque -57=0, et « lorsque 5;= 1.

Quand une travée de rive comporte une poutre centrale, son ouverture doit être prise égale à L — a, et varie par conséquent entre les 3/4 et les 7/12 de la portée d'une travée intermédiaire. Si elle est dépourvue de poutre centrale, l'ouverture devra être un peu supérieure à a, et varier entre L L

Dans les ponts-grues fixes sans poutre centrale, a est naturellement égal à - : les articulations sont placées au milieu de la portée de chaque travée intermédiaire. L'ouverture d'une travée de rive est égale ou plutôt un peu supérieure à - (fig.

Dans le pont de Vilshofen, dont nous avons donné l'élévation (Hg. 181), la répartition des articulations diifëre notablement de celle que nous venons d'indiquer. Mais comme nous désapprouvons absolument ce type d'ouvrage, nous croyons inutile d'entrer dans de plus amples détails à son sujet.

Les ponts-tournants rentrent dans la catégorie des pontsgrues sans poutre centrale : un pont à double volée comporte trois travées, et est constitué par deux consoles, dont chacune est en équilibre sur une pile pendant la manœuvre. Un pont à simple volée comporte seulement deux travées de rive ; il est formé d'une seule console en équilibre sur la pile.

Lorsqu'une travée de rive n'est pas utilisée par la navigation, cas très-fréquent (fig. 188), on réduit souvent autant que possible son ouverture, et par conséquent la longueur du bras de console, dit culasse^ qui correspond à cette travée. U en est ainsi pour les deux travées de rive du pont de Brest à double volée, et, dans bien des circonstances, pour une travée de rive d'un pont tournant à volée unique. Au point de vue de la dépense de métal, cette disposition ne donne pas une économie

appréciable ; la culasse, étant plus courte que le bras de console opposé, auquel elle doit faire équilibre, est nécessairement beaucoup plus lourde, ce qui établit une compensation, la réduction de longueur de la ferme étant compensée par une augmentation sensible du poids total.

149. Profil en loni^. — Nous verrons, à la fin du présent chapitre, que le type du pont-grue fixe à articulation ne peut être préféré à celui de la poutre continue, beaucoup moins déformable sous le passage des charges roulantes, que si on réalise Tencastrement sur les piles, et si le montage doit en raison des circonstances locales être fait par encorbellement.

Cette double condition étant remplie, Tadoption de ce type peut être justifiée par un motif d'économie, lorsqu'il procure une réduction sensible sur la dépense de métal, et surtout une diminution considérable dans les frais de montage. Il faut d'ailleurs qu'il s'agisse de travées de très grande ouverture^ dont la charge permanente soit au moins équivalente à la surchage d'épreuve. Il est naturel dans ces conditions que Ton fasse varier la hauteur de façon à réduire le plus possible le poids des fermes : la constance de la hauteur ne faciliterait en aucune façon le montage par encorbellement, et donnerait à la fois un ouvrage plus lourd et plus déformable sous le pas* sage des véhicules. Les types représentés par les figures 180, 181 et 182, ne comportant pas le montage par encorbellement, doivent être considérés comme défectueux.

Dans les ponts-tournants, la charge permanente doit également être réduite au minimum, en vue de faciliter les manœuvres : il est donc naturel, au moins pour les grandes ouvertures, d'en faire varier la hauteur d'une manière rationnelle.

Pour les poutres centrales, qui fonctionnent comme des tra^ vées indépendantes, on doit se reporter, pour le tracé du profil en long, aux règles énoncées à l'article 120 (fig. 121). Toutefois, quand la portée n'est pas très grande, il n'y a pas grand inconvénient à leur attribuer une hauteur constante : le poids de la ferme n'en est guère augmenté, et le montage s'opère avec plus de facilité.

Supposons qu'on détermine le profil en long d'une travée

par la formule rationnelle h=:\/A + BM — y A. Pcndanl le moulage par encorbellement, le proPii théorique à admettre serait représenté (fig. 192) par le triangle aii'b, ab étant la section d encastrement sur la pile, et N'ie milieu de Touver-

Fig. 192.

turc, où s'opérera la fermeture par jonction des porte-à-faux opposés. Aprfes la mise en service du pont, le profil se modifie ot comporte : pour la console le profil triangulaire ABO, dont la hauteur, maximum sur l'appui, se réduit à zéro à Tarticulation OË ; pour la poutre centrale le profil de travée indépendante OEF, dont la hauteur atteint son maximum EF au milieu N\

En combinant ces deux tracés, on obtiendra le profil définitif à adopter pour que le pont se comporte également bien pen* dant le montage et après la mise en service. Pour la console, qui s*étend de la section d'appui AB à la section d'articulation CD, la hauteur doit aller en décroissant depuis AB jusqu'à CD, où elle est minimum ; les semelles AC et BD doivent être tracées suivant des droites ou plutôt suivant des courbes tournant leur convexité vers la fibre moyenne NO'. Pour la poutre centrale, la hauteur va en croissant de l'articulation 0 au milieu N' ; les semelles peuvent être rectilignes ou décrire des courbes tournant leur concavité vers la flbre moyenne ON'.

Il est d'ailleurs bien entendu qu'on peut sans inconvénient attribuer à une des semelles soit de la console, soit de la poutre centrale, une direction rectiligne et horizontale, à condition de tracer Taulre en observant la loi de variation de la hauteur indiquée s jr lafi3ure 192.

Si la console est encastrée sur la pile BB', les semelles doivent comporler, au droit de la pile, de A en A' et de B en B', des parties horizontales.

L'ouvrage ainsi conçu jouit de la propriété déjà signalée en

parlant des profils définis parla condition: A=v^A + BM — v^A. La section transversale de chaque semelle varie très peu d'une extrémité à Fautre et on peut en cxéculion la considérer comme constante, ce qui facilite la préparation et la mise en place des éléments du pont (pont du Forlh).

Si la travée ne, comporte pas de poulrc centrale, chacune des consoles, articulées ensemble en 0 par leurs abouts opposés, doit avoir un profil trapézoïdal tel que ABCD. Les types représentés par les figures 188 et 190 sont rationnels. Celui de la figure 191 est défectueux, la semelle supérieure de la console tournant sa concavité vers la fibre moyenne.

11 est à remarquer que la hauteur moyenne des ponts-grues

existants s'écarte généralement assez peu de la valeur — L,

admise déjà pour les travées indépendantes ou solidaires. Cette proportion semble ainsi consacrée par l'expérience. Pour les ponts-tournants, les sujétions locales obligent souvent à se contenter d'une hauteur movenne bien inférieure.

Fig. 193.

Si Ton n'avait pas à se préoccuper d'assurer la stabilité du pont pendant le montage par encorbellement, il serait permis de réduire à zéro la hauteur au droit de chaque articulation, en adoptant par exemple un des profils représentés sur les figures 193 et 194. Cette solution serait très convenable dans le cas où le montage par encorbellement ne serait appliqué qu'à chaque console, et où Von mettrait en place la partie centrale par lan-

POUTRES A TRAVKKS SOLIDAIRES.

cernent, ou par tout autre moyen (échafaudages fixes ; transport sur un ponton) ne pouvant donner lieu à la production dans la section C d'un moment de flexion.