SystèmcA arlienlés de la dcaxiëine clause

Un système articulé appartient à la deuxième classe lorsque les équations universelles d'équilibre ne suffisent pas pour déterminer en grandeurs et en directions les réactions des appuis, ce qui oblige à recourir, pour le calcul de ces forces, aux formules de la résistance des matériaux. L'étude de ce genre d'ouvrage s'effectuant toujours par la même méthode, qu'il y ait ou non surabondance de barres, il n'y a pas lieu de distinguer spécialement ce dernier cas dans l'exposé de la marche des opérations. Mais, au point de vue économique, il y a toujours intérêt à éviter la surabondance des liaisons, en s'arrangeant

526 POUTRES A TRAVÉKS SOLIDAIHES.

de façon que pour un nœud quelconque le nombre des barres inconnues, c'est-à-dire n'aboutissant pas su des nœuds précédemment considérés, soit égal au nombre des dquations d'équilibre dont on dispose, c'est-à-dire 3 dans le cas général, ou 2 pour une ferme plane.

Nous exclurons de celle critique le cas des fermes composées à triangulations multiples, dont les nœuds multiples sont concentrés aux extrémités, et qui par suite sont décomposables avec une exactitude suffisante en deux ou plusieurs systèmes sans liaisons surabondantes (page S 17).

Pour calculer un système de la seconde classe, comportant ou non des barres surabondantes, oh commencera par écrire les 37i équations d'équilibre relatives aux nœuds :

et les 3n ^- 6 -h m équations de déformation relatives aux barres :

Les données du problème peuvent consister, conime dansJc cas des ouvrages de 1"^* catégorie, dans les valeurs des sectionsr Cl) de toutes les barres.

On peut toutefois, si on le veut, remplacer la donnée <i> par la donnée R :

pour 1 , 2 ou 3 des barres aboutissant à un nœud extrême 1 ou n

1,2, 3 ou 4 — 2oun — 1

1,2, 3, 4 ou 5 — 3 ou n — 2

1,2, 3, 4, 5 ou 6 — nœud înterméd.4àn — 3.

A la limite, on peut choisir arbitrairement les R pour3n — 6

éléments constituant un svstème sans liaisons surabondantes,

et les iù pour les m autres.

En principe, il faut éviter de se donner pour une mèmç pièce à la foisR et (1) : on pourrait se heurter dans la suite des cal-

CH. VI. — I. SYSTKMKS ARTICULES. 527

culs à une inipossibililé soit ihéoriqnc, si les équations créquilibre ne pouvaient plus èlre satisfaites, soit pratique,s'il en résultait des valeurs inadmissibles pour les R ou lesco des autres barres.

Les bases du problème étant ainsi posées, on n'a plus qu*à résoudre les 6/* — 6 + ;?? équations du 1" degré dont on dispose, pour en tirer les inconnues. Mais il faut remarquer qu'ici X, Y et Z ne représentent plus toujours, comme dans le cas de Tarticle précédent, d »s forces connues. Nous avons admis en cftet que les équations universelles d'équilibre ne pouvaient à elles seules fournir les réactions des appuis.

Nous désignerons par i le nombre de ces composantes X, Y ou Z des forces extérieures, qui font pai'lie des inconnues de la question.

Supposons que Ton se soit donné les R de j barres : j ^3n — 6, et les w des 3n — 6 +m — j autres éléments.

Nous avons à calculer 3n — 6 + m + t inconnues, savoir :

î composantes X, Y ou Z,

3n — 6 +m — j valeurs de travail R,

j aires <o.

Nous disposons à cet effet des 6n — 6+ m équations précédemment écrites, qui contiennent en outre, à titre d'inconnues auxiliaires, les déplacements u, v eiw des 7i nœuds, au nombre de 3n.

Pour que le problème soit déterminé, il est absolument nécessaire que l'on puisse joindre i équations nouvelles aux 6n — 6 ■+• m précitée». Ce seront en général des relations entre les n, v et u? des nœuds correspondant aux appuis, et les composantes connues ou inconnues des réactions de ces appuis* On les écrira en se basant sur les conditions spéciales d'établissement de Touvrage étudié.

Si le nombre de ces relations supplémentaires était supérieur à t, il y aurait incomptabilité entre elles. Le problème proposé serait insoluble, parce que Touvrage à construire ne pourrait remplir simultanément toutes les conditions posées ; il faudrait nécessairement renoncer à quelques-unes d'entre elles.

523 POUTliES A TR.VVÉES SOLIDAIRES.

Si ce nombre était inférieur à t, cela indiquerait, ou que l*on aurait omis de tenir compte de toutes les propriétés caractérisqucs de la ferme, ou que Ton aurait étudié un ouvrage instable ; tel serait par exemple le cas d'une travée de pont-grue à triple arliculation, ou de deux travées successives à double articulation simplement appuyées sur l'appui commun.

Dans Téludc des ouvrages de seconde catégorie, il n*est pas utile en général d'établir les six équations universelles deTéquilibre, qui ne suffisent pas pour permettre le calcul des réactions des appuis. Elles sont contenues implicitement dans les 3n relations d'équilibre relatives aux nœuds.

Si nous passons du cas général étudié plus baut à celui de la ferme plane, qui se rapproche plus des conditions de la pratique, le problème se simplifie par la suppression d'une équation sur trois. Nous aurons 2/2 équations d'équilibre relatives aux nœuds et 2/) — 3 H- m équations de déformation se rapportant aux barres ; à celte seule diiïércnce près, la marche des opérations ne sera pas changée.

159. Éuaniératiou des ouvrages de la deuiKiènie élusse. — Arcs articulés aux naissances, — Cas général où la ferme n'est pas plane : elle repose sur chaque culée par l'intermédiaire de deux nœuds situés sur l'axe de rotation. Les réactions inconnues exercées par les culées sur ces quatre nœuds d'appuis sont au nombre de 4, ce qui donne douze composantes inconnues X, Y et Z : d'où i = 12.. Mais chacun de ces nœuds d'appui étant immobile par définition, les douze déplacements u, v eiw relatifs à ces points sont nuls, ce qui rétablit l'équilibre entre le nombre des relations dont on dispose et celui des inconnues à calculer. La résolution du problème ne soulève aucune difficulté, du moins au point de vue analytique ; pratiquement, elle exigerait des calculs laborieux et compliqués.

Remarquons que si la culée était déformable^ en raison de l'élasticité de la matière qui la constituerait (culée métallique), les w, y et to d'un nœud d'appui ne seraient pas rigoureusement nuls. Mais on pourrait toujours établir leur expression analytique en fonction des composantes inconnues X, Y ctZde

la réaclion qui produit, en ce poinl, la déformalion de la culée : u = &X, t; = AT, w = k"Z. A, A' cl Zt" seraient des coefficients numériques calculables à Tavanco, connaissant toutes les dimensions de la culée. Les lellres u^v ett^disparaitraient ainsi des équations,el c'est tout ce qu'il faut pourqucla résolution du problème soit possible. Dans ce qui va suivre, toutes les fois que nous dirons que la composante du déplacement d*un nœud d'appui est nulle, nous entendrons implicitement : ou calculable en fonction de la réaction connue ou inconnue de F appui.

Ferme plane. Les quatre composantes X et Y des réactions des culées sur les nœuds d'appui sont inconnues; les quatre composantes u ei v des déplacements de ces nœuds sont nulles.

Arcs encastrés aux naissances. — Cas général. L'arc repose sur chaque culée par Tintermédiairo de N nœuds, N étant au moins égal à 3. Pour chaque nœud d'appui, t/, t; et i^ sont nuls et les composantes X, Yet Z de la réaction sont inconnues; il y a donc compensation, et le nombre des équations demeure égal à celui des inconnues.

Ferme plane. L'arc repose sur chaque culée par Tintermédiairc de N nœuds, N étant égal ou supérieur à deux. Pour chaque nœud, u et v sont nuls et X et Y inconnus.

Poutres continues et ponts-^rues wnixtem» — Action de la charge et de la surcharge, — Toutes les forces qui sollicitent l'ouvrage étant verticales, les X et les Z sont nuls. Pour un nœud d'appui quelconque, v est nul et Y inconnu.

Résistance au vent. — Si le vent agit horizontalement dans la direction de Taxe oz, on a pour un nœud d'appui quelconque la condition to = o, et Tinconnue Z n'est plus nulle.

Si Ton veut éviter que les nœuds d'appui exercent sur les supports des actions horizontales dirigées dans le sens de l'axe longitudinal ox du pont, il faut pouvoir poser pour un nœud d'appui quelconque : X = o. On ne peut donc plus admettre qu'u soit nul, sous peine dune surabondance de con« ditions, rendant le problème impossible. D'où la nécessité

absolue de faire reposer les poutres continues sur les piles par

S30 POUTHKS A TUAVÉES SOLIDAIKËS.

rintormédiaire d'apparoils de dilatation permettant les mouvements longitudinaux ; pour les ponts-grues encastrés sur leurs pilcs,on a vu précédemment que les jonctions des tronçons successifs, consoles et poutres centrales, doivent être établies de façon à se prêter aux variations de longueur de Touvrage.

Dans ces conditions, les changements de température n'ont aucune influence sur la stabilité du pont.

Dénivellation des appuis, — Pour en étudier les effets, au lieu de poser r = o pour un nœud d'appui, on attribue à ce déplacement vertical la valeur correspondant au tassement de de la pile. Rien n'est d'ailleurs changé à la marche des calculs.

L'étude, faite suivant cette méthode, d'une poutre continue ou d'un pont-grue mixte serait une entreprise rebutante et interminable. Si Ton voulait d'ailleurs, suivant l'habitude, évaluer les effets maxima produits par la surcharge variable, on serait conduit à refaire tous les calculs pour chacune des dispositions spéciales à considérer. On n'en finirait jamais.

tttO. Caleal d^une constraelion liétéroffène* — Nous avons admis jusqu'à présent que les ouvrages étudiés étaient formés d'une manière homogène et que le coefficient d'élasticité Ë avait une valeur déterminée et invariable, quel que fut l'élément considéré.

On pourrait toutefois, sans compliquer en rien les calculs et sans modifier la marche et le nombre des opérations, admettre que le coefficient E présentât une valeur particulière pour chaque pièce, la construction étant faite de matériaux hétérogènes, assemblés les uns avec les autres dans un ordre fixé arbitrairement.

Il suffirait de prendre pour données du problème ou pour inconnues de la question en ce qui touche chaque barre, au lieu

de û> et R, les expressions Eo) et ^ , E ayant la valeur numérique relative à cette barre. De cette façon, la lettre E disparaissant de toutes les équations, on n'aurait plus à se préoccuper de la variation de l'élasticité d'un point à l'autre de Tou-

on. VI. - I. SYSTÈMES AUTICULÉS.

vrage ; après ra;hèvemonl des calculs, il n'y aurait qu'à tirer

ri •

(0 et R des résultais Ew et- trouvés pour chaque élément.

On pourrait encore procéder autrement en remplaçant une barre quelconque par une barre équivalente formée d'un métal pris pour type, dont nous désignerons le coefficient d'élasticité par C. On subslilucrail à l'aire effective w l'aire conventionnelle o' fournie par la relation : Cci>' = Ew, et au travail effectif R le travail conventionnel R' donné par la formule :

On calculerait ensuite la construction comme si elle était homogène et entièrement constituée avec le métal pris pour type : on obtiendrait pour chaque barre les valeurs des quantités <i)'et R', d'où Ton tirerait immédiatement les inconnues cherchées <o et R.

Considérons à tilre d'exemple une poutre comportant à la fois :

Des éléments en fer, métal pour lequel on aurait :

E = ^80xio^

Des éléments en fonte, métal pour lequel on aurait :

Des éléments en chêne, bois pour lequel on aurait :

E = HX10«.

Nous prendrons le fer pour métal type : C = 180 X 10*, et nous commencerons par remanier les données du problème, en multipliant les R et les t> supposés connus a priori par les coefficients suivants :

Fer (raélal type)

Fonte

Chêne

Facteur de R G

Facteur de w

Nous calculerons ensuite la poutre comme si elle était en-

POUTUKS A TRVVÉES SOLIDAIRES.

lièromcnt en fer, puis nous multîplîcroas les résullals R' cl lù' parles coefRcieuls numériques inverses des précédents.

Fer Fonlo

Chêne

Facteur de R'

Facteur de w'

A titre d'exemple du calcul d'une construction hétérogène, nous traiterons à Tarticle suivant le cas d*une poutre droilc, à montants et croix de St-André, dont chaque élément serait supposé formé d*un métal particulier.