AD BC AB DC AC BD

Et

Et

Eo

au'+hv'

fl(tt^^-,ti) -f. hv a^ + h*

Eliminons t/, v, ti\ v' et u" entre ces six équations. Il vient :

Cette relation est indépendante dos sections altribuées aux barres, ainsi que de la répartition des forces extérieures appliquées il la poutre, et résulte uniquement de la disposition

géométrique dje louvrage. Elle montre que Ton ne peut fixer arbit^rairemont les valeurs de R pour toutes les barres sans se heurter, à une, impossibilité, la relation précitée devant ètie nécessairement satisfaite. Nous avons déjà fait cette remarque à titre généri^l, en étudiant les propriétés des systèmes & liaisons surabondantes.

Nous avons supposé ici, pour plus de simplicité, que la poutre était à semelles parallèles : dans le cas dune ferme de hauteur variable, on arriverait de la même façon à une équation analogue, un peu plus compliquée par suite de Tintroduction des angles des semelles avec Thorizontale. Nous jugeons superflu de donner ce calcul, qui est des plus simples.

Considérons maintenant une poutre de hauteur constante, à montants et croix de St-André, comportant N panneaux consécutifs semblables à celui de la Hgure 205. Pour la calculer, on commencera par écrire les N relations qui se rapportent aux panneaux considérés chacun à part :

En général, l'ouvrage sera homogène, ce qui permettra de supprimer la lettre E, devenue facteur commun de tous les termes.

F'ig. 206.

On posera ensuite les deux équations d'équilibre relatives à chaque nœud. Désignons toujours par X et Y les composantes verticale et horizontale de la force extérieure appliquée au nœud S. On a (fig. 206) :

CH. Vf. ~ I. SYSTÈMES ARTICULÉS. 53»

R, 6), — R', <ù\ -+- (Rficoa — R'b (ù\) «in 0 + X = 0. R, (0, H- (R'b iù\ + Re ^,) cos 0 + Y = 0.

Le nombre des nœuds étant égal à 2N + 2, on obtiendra 4N-4-4 relations, qui, avec les N précédentes, donneront eh tout 5N4-4 équations, comprenant implicitement les 3 équations universelles d'équilibre enlre les forces extérieures.

On pourra alors résoudre le problème de deux façons différentes, suivant le point de départ admis :

1** On se donnera les sections (o de toutes les barres, qui sont au nombre de 5N + 1, et on calculera les R par la résolution d'équations simultanées du 1*' degré ;

2o On distinguera dans la construction 4N + 1 barres formant un système sans liaisons surabondantes (poutre Bowe, Pratt ou Warrcn double^ voir tome 1), et on se donnera arbitrairement pour chacune soit R, soit o). Pour les N autres pièces, considérées comme surabondantes, on ne pourra fixer a priori que les sections w. Cela fait, il n'y aura plus qu'à résoudre les 5N-f-4 relations, qui sont toutes du 1" degré, pour obtenir les R ou les w des 4N+f pièces essentielles, ainsi que les R des N barres surabondantes.

Cette opération, très simple au point de vue théorique, est encore assez admissible au point de vue pratique. Nous nous étions proposé tout d'abord d'en donner la solution algébri' quL», mais nous arrivions à des formules tellement compliquées, même pour une poutre très courte, que nous y avons renoncé. Nous avons préféré traiter un exemple numérique simple, qui permettra de se rendre suffisamment compte des conditions de stabilité dans lesquelles se trouvent les poutres de cette espèce.

let. Eiicinple numérique. — Considérons la poutre de

hauteur constante A=- /, comportant dix panneaux carrés,

dont la figure 207 représente la première moitié. Chaque panneau de triangulation se compose d^une croix de St-Ândré occupant le carré compris entre les semelles et deux montants consécutifs.

POUTRES A TUAVÉES SOUDAIRES.

Nous avons commencé par étudier la ferme sans liaisons surabondantes obtenue par la suppression de tous les mon* tanls verticaux intermédiaires, désignés par les lettres e^ e^, tf„ ^4, Tj. L'ouvrage ainsi modifié est une poutre Warreti double, dont les semelles sont reliées entre elles par les deux

^4 IV is

Fig. 307.

triangulations simples 0, 1, 11^ IIl, IV, Y IX, X ; 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6 9, 10, qui n*ont pas de nœud commun. Le cal*

cul des sections à attribuer aux différents éléments peut en conséquence s'effectuer à Taide des équations d'équilibre de la mécanique générale, sans faire intervenir les formules de la déformation. Nous avons fait ce travail en supposant la charge divisée en dix-huit forces égales, représentées chacune par le nombre 10, et appliquées respectivement aux dix-huit

nœuds intermédiaires de la poutre : I, 2, III 8 et IX sur la

semelle supérieure, et 1, II, 3, IV VIII et 9 sur la semelle

inférieure. Après avoir évalué Teffort total subi par chaque pièce, nous avons attribué à cette pièce une aire o proportionnelle à l'effort correspondant, de façon à réaliser dans la construction l'uniformité du travail, égal au signe près en tous les points à la constante R.

Nous avons ensuite complété le système par Tadjonction des montants supplémentaires Ci, ^„ ^„ e^ et e^, dont nous avons dû, en verlu de la règle absolue posée à Tadicle 157, fixer arbitrairement les sections. Nous avons attribué à chaque montant l'aire correspondant à un bras de la croix suivante, divisée par v^2. Par exception, le montant central e^ a la mémo section que le précédent e^.

Connaissant ainsi toutes les aires o des éléments de la poutre à liaisons surabondantes, on peut lui appliquer la méthode de calcul de larlicle 157, pour évaluer l'effort subi par une barre quelconque avec une disposition de charge choisie arbi* trairemcnt.

Nous avons étudié successivement trois cas :

1» La charge^ représentée parle nombre 180, est également répartie entre les dix-huit nœuds intermédiaires, à raison d'un poids 10 par nœud. C'est la charge A qui nous avait déjà servi de base pour Tétude do la poutre Warren sans montants ;

2« Charge B, toujours égale en totalité à 180, mais concentrée aux nœuds 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9 d'une triangulation simple de la poutre Warren^ à raison d'un poids 20 par nœud; les

autres nœuds I, II, III IX ne sont sollicités par aucune

force extérieure ;

S"» Charge C disposée inversement de la précédente, c'esl-à-

dîre concentrée aux nœuds I, II, III IX de la seconde

triangulation simple, à l'exclusion des nœuds 1, 2, 3, 4, 5

Les résultats numériques du calcul ont été inscrits dans le tableau ci-joint.

On reconnaît immédiatement :

1* Qu'en ce qui concerne la charge A, les montants, pièces surabondantes, jouent dans la poutre un rôle prcsqu'insignifiant, l'effort supporté par chacun d'eux élant très inférieur à celui qui correspondrait à une utilisation convenable du métal ; que, loin de consolider l'ouvrage, ces montants ne font qu'en diminuer la stabilité, en augmentant les efforts subis par certaines diagonales, pour lesquels le travail du métal dépasse la limite pratique R. On n'a, d'ailleurs, retiré aucun bénéfice de l'addition de ces montants, car la somme des valeurs numériques des efforts subis par les deux bras d'une même croix est restée la même que dans la poutre Warren. Il en e.st de même pour les semelles. En conséquence, la modification apportée à la poutre a eu pour résultat de troubler d'une manière fâcheuse ses conditions do stabilité, tout en l'alourdissant et augmentant la dépense.

2" Dans le cas de la charge B ou de la charge C, ladjonclion des montants est indispensable, puisque sans eux, les poids n'étant appliqués qu'aux nœuds de Tune des triangulations simples, Tautre triangulation ne supporterait aucun effort : il conviendrait alors de supprimer la moitié des barres de la poutre Warren, devenues inutiles, en doublant les sections des autres constituant une triangulation unique ; on aurait une poutre simple.

Si Ton veut conserver la double triangulation, il est absolument nécessaire de prévoir des montants destinés à relier les nœuds chargés aux nœuds opposés et à solidariser les deux triangulations, de façon à intéresser à la résistance de la construction la série des barres qui n'aboutissent pas aux points d'application des forces extérieures. Mais on constate qu'en pareil cas il convient de n'attribuer à chaque montant qu'une section proportionnée au rôle secondaire qu'il remplit. Ce n'est pas à proprement parler un élément de la poutre, c'est un simple support ou une tige de suspension servant à reporter sur un nœud une partie de la charge appliquée en son correspondant. Dans le cas présent, le poids total étant représenté par 20, le montant, destiné à en transmettre la moitié au nœud

d'appui, doit simplement avoir pour aire — , quelle que soit sa

position.

Nous ajouterons que, dans le cas d'une poutre Warren double,munie d'une série de montants verticaux reliant les nœuds opposés, et soumise à une des dispositions de charge B ou G, la répartition des efforts entre les éléments des deux triangulations s'effectuerait d'une manière très inégale ; la triangulation passant par les nœuds chargés serait de beaucoup laplus fatiguée. La méthode de calcul habituelle, basée sur la considération des efforts tranchants et des moments fléchissants, donnerait donc ici des résultats inexacts, et conduirait à attribuer à certaines pièces des dimensions un peu trop faibles et à d'autres des dimensions un peu trop fortes.

En effet la poutre Warren double n'est pas à proprementparler un système sans liaisons surabondantes, puisqu'elle ne remplit pas exactement les conditions énoncées à la page 516.

TABLEAU des efforts subis par les divers éléments de la poutre

Détigoatioa

des

élémenta

ht h

Aire de là

section

droite

multiplia par R

Ferme

sani

montants

charge A

Ferme avec montants

charge A

charge B

charge G

Semelle supérieure (comprimée)

123 ~ Jf5 —125,825

Semelle inférieure (tendue)

Diagonales comprimées

sj2X V^2X V^2X 45 — 45 -50,562

Diagonales tendues

\l2xf -52,264 -33,055 -26,865 -12,154

Montants verticaux (alternativement comprimés et tendus)

540 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

Nous avons dit qu'en général on peut appliquer sans erreur grave aux poulres composées la méthode des systèmes articulés simples, en parlant d*une hypothèse plausible, c'est-à-dire en admettant Tégale répartition des efforts entre les triangulations distinctes. Mais il faut que cette hypothèse soii plausible^ et elle ne Test jamais quand on est obligé de recourir pour là transmission des charges à des pièces additionnelles qui créent des liaisons surabondantes.

Pour que la méthode de l'article 157 donnât dans le cas présent un résultat très exact, il faudrait d'abord que les poids fussent appliqués également soit sur tous les nœuds de la semelle inférieure sans exception, soit sur tous ceux de la semelle supérieure, de façon à permettre la suppression des montants ; il conviendrait en outre défaire disparaître le nœud o, en supprimant les éléments ol de la semelle supérieure ainsi que le montant Oo et la diagonale ol. Les efforts réels ne différeraient plus alors d'une façon appréciable de ceux calculés pour le cas de la charge A.

tas. Défauts des •jstênies à liaisons surabondantes.

— En généralisant les résultats fournis par l'étude précédente, nous arrivons aux conclusions suivantes :

1^ Etant donné un ouvrage sans liaisons surabondantes, & triangulations multiples, et calculé par la méthode de l'article 156, il y a toujours inconvénient sérieux à y introduire des éléments supplémentaires, montants verticaux ou diagonales obliques. Ceux-ci ont pour effet de produire une perturbation plus ou moins grave, et ne soulagent certaines barres que pour augmenter, au-delà de la limite pratique, le travail supporté par d'autres, qui par suite sont plus exposées à se rompre qu'avant la modification apportée à la ferme. C'est donc une erreur de croire qu'en ajoutant des montants à une poutre à treillis double ou triple, de façon à séparer par une pièce verticale deux croix consécutives, cette opération, si elle ne fait aucun bien, no fera du moins pas de mal : on alourdit la construction, on la rend plus chère, et en même temps on diminue sa solidité.

2"" On peut toutefois pallier les inconvénients signalés plus

CH. VI. — I. SYSTÈMES ARTICULÉS. 5il

haul, en refaisant les calculs de Touvrage modifié et tenant compte, dans la fixation définitive des sections des barres, de la présence des pièces surabondantes. Mais on ne peut éviter, même en ce cas, que le travail subi par les éléments en excès ne soit bien inférieur à la limite pratique admissible pour le métal. Il en résulte une mauvaise utilisation de la matière, et, à solidité égale, la poutre est plus lourde que celle, sans liai* sons surabondantes, à laquelle on pourrait la ramener par la suppression d'un certain nombre de barres.

y Considérons une poutre à triangulation simple ou multiple, constituée par deux séries de barres inclinées en sens contraires : dans la zone centrale (page 220), où Teffort tranchant est susceptible de changer de signe, chacune des séries de barres travaillera tantôt à l'extension tantôt à la compression, suivant le signe de Teffort tranchant. On ne modifierait que d'une façon insignifiante leurs conditions de stabilité en ajoutant des éléments verticaux, pièces surabondantes qui n'auraient à supporter que des efforts très peu importants, alternativement négatifs et positifs, sans soulager d'une façon appréciable les barres de treillis. Donc, dans une poutre à treillis, judicieusement établie, c'est-à-dire dont les éléments tendus et comprimés ont les sections voulues pour résister aux efforts ma^ima de sens contraire auxquelles elles peuvent être soumises, il n'y a jamais lieu d'ajouter des pièces verticales.

i"" Dans une poutre composée, on est parfois obligé d'ajouter des barres additionnelles en vue de répartir Taction des forces extérieures entre les diverses triangulations simples. En effet le calcul de l'ouvrage est basé sur une hypothèse plausible en vertu de laquelle chaque triangulation se rapporte aune ferme partielle portant une fraction déterminée du poids total. Pour que cette hypothèse soit acceptable, il faut bien dans le cas d'un treillis à mailles serrées^ par exemple, qu'à chaque pièce de pont corresponde un montant vertical partageant la charge entre toutes les barres parallèles, sans quoi le poids tout entier serait appliqué à une seule triangulation et celle-ci serait soumise à des efforts excessifs. En pareille circonstance, l'adoption des montants s'impose ; mais on

542 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

doit, dans le calcul de leur section, les considérer comme des pièces accessoires, n'ayant pour fonction que de répartir entre les barres parallèles les charges appliquées à rextrémîté de Tune d'elles. On commettrait une faute en leur attribuer un rôle plus important.

Dans une construction ainsi disposée, il est impossible, quoiqu'on fasse, d'obtenir une bonne utilisation du métal, et de partager également la charge entre les différentes triangulations. Il peut être utile en certains cas de vérifier, par l'emploi de la méthode de calcul dos systèmes à liaisons surabondantes, que Ferreur commise de ce chef ne peut avoir d'inconvénients graves.

5® Considérons une poutre Warreji mal conçue, dont certains éléments soient exposés à supporter des efforts supérieurs à leur force de résistance. Ce cas ne se présente guère que pour des bras comprimés dont le moment d'inertie est insuffisant et qui ont une tendance au flambement lorsqu'ils sont soumis à un travail de compression notable. En pareil cas, l'adjonction de montants verticaux susceptibles de travailler à la compression est justifiée, puisque les barres de treillis, qui devaient résister à ce genre d'effort, ne remplissent pas convenablement leur rôle.

La modification apportée à la poulre a pour effet de substituer au treillis insuffisant une triangulation à montants et écharpes, en transformant la poutre Warre?i en poutre Pratt. Quant aux barres inclinées, qui étaient censées d'abord résister à la compression, il n'en faut plus tenir compte : comme elles se courbent sous un léger effort de compression, la diminution de distance de leurs extrémités est bien supérieure à

colle que donnerait la formule -^* = --. Elles vibrent sous le

passage des charges roulantes, avec un bruit de ferraillement, et ne servent plus à grand chose.

La vogue dont a pu jouir le système des poutres à montants et croix de St-André tient précisément aux nombreuses consolidations, faites avec le plus grand succès, de poutres à treillis dont les bras flambaient, et qu'on a renforcées par des montants verticaux. On en a conclu à tort qu'une opération sem-

blabie augmcnlcrait la stabilité d*unc poutre à treillis bien conçue, c'est-à-dire pourvue de bras inclinés suffisamment solides. Il n'en est rien. C'est en somme un remède efficace k apporter aux ponts qui menacent ruine, et non une solution acceptable pour des ouvrages neufs.

6"* Considérons une poutre à montants verticaux et à écharpes obliques. Dans la zone centrale, lorsque Teffort Iranchant vient à changer de signe, les montants doivent travaillera l'extension el les écharpes à la compression. Or, il arrive que celles-ci, formées de barres plates ou de liges rondes, ne sont aptes à travailler qu'à l'extension. La nécessité s'impose donc d'ajouter des contre-tirants complétant entre les montants la croix de saint Ândré^ et destinés à résister à l'extension dans les cas où les tirants, se trouvant comprimés, seraient exposés à flamber.

Le type à croix de saint André et montants est donc justifié dans les zones oii Teflort tranchant peut changer de signe ; mais les deux bras de croix sont des tirants^ dont Tun travaille toujours à l'extension, l'autre étant lâche (tome I, page 470) et ne subissant qu'un effort de compression tout-à-fait insignifiant. Les montants sont toujours comprimés, quel que soit le signe de l'eflbrt tranchant.

En conséquence, dans une construction métallique judicieusement établie, on ne rencontre de pièces surabondantes que dans les zones où l'effort tranchant peut changer de signe, el ces pièces sont toujours des contre-tirants susceptibles de travailler à l'extension, et jamais des contre-bras.

7** Dans un ouvrage quelconque, bien calculé et bien exécuté, il est toujours imprudent de créer des liaisons surabondantes en ajoutant des pièces nouvelles, lorsque l'utilité n'en est pas démontrée par le calcul. En gênant la libre déformation de la ferme, on ne peut que nuire à sa solidité, et la dépense faite va à l'encontre du but qu'on se proposait.

C'est ainsi que, dans le tome I, nous avons été conduit à critiquer la liaison établie entre les longerons horizontaux du pont d'Arcole (arcs du système Cadiat) et les culées où ces longerons ont été ancrés mal à propos. Le pont d'Arcole a, depuis, menacé ruine, et la première opération faite pour le re-

incUrc en élal a coasislé à supprimer celte liaison malencontreuse qui, dans Tesprit de ses auteurs, était destinée à augmenter la stabilité.

Dans les poutres à triangulation multiple, on a, en général, rhabitude de relier par des assemblages rires les pièces de treillis à leurs points de rencontre. On crée ainsi des liaisons nouvelles dont Tutilité ne nous parait pas démontrée, si du moins chaque bras a été calculé defagon à résister sur toute sa longueur à refForl de compression maximum sans flamber, ce qui dispense de le soutenir en différents points. Les ingénieurs américains ne recourent jamais à cette disposition et les ingénieurs hollandais y ont renoncé pour leurs grands ponts à travées indépendantes, dont les montants ne sont pas reliés aux tirants en leurs différents points de croisement. Cette pratique semblejustifiée par la théorie et il conviendrait peut-être de ne pas s*en écarter.

Les assemblages articulés qui, dans les ponts américains, relient les barres de triangulation aux semelles, présentent parla même raison une supériorité réelle, du moins au point de vue théorique^ sur les assemblages rigides des ponts européens. Mais cet avantage est compensé par des inconvénients pratiques, de telle sorte qu*il est difficile de se prononcer sur la valeur comparative des deux systèmes de construction. Nous ne reviendrons pas sur la discussion que nous avons enr gagée à ce sujet dans le tome T.

Cette question a d'ailleurs été traitée d'une manière très complète par M» Maurice Koechlbi dans son ouvrage sur les Applications de la statique graphique (chapitre III, paragr. 8 cl 9).

A titre d'exemple simple du mauvais résultat que peut donner une liaison surabondante, considérons deus cftbles métalliques flexibles situés dans un même plan, de même ouverture, mais de flèches notablement différentes. Ces deux câbles sont utilisés concurremment pour le passage d'une charge roulante P, dont le poids est transmis par moitié, à Taide de

galets de roulement, sur chaque câble : chacun d*eux a donc

P été calculé de façon à supporter sans se rompre le poids —

appliqué en son milieu.

Cfl. VI. - I. SYSTÈMES ARTICULÉS. 543

Supposons qu'on ait jugé bon de relier les deux câbles par une tige ab maintenant leur distance constanle, et proposonsnous de chercher le résultat N obtenu. On voit immédiatement que cette disposition aura pour effet de faire porter, quand le poids passera en B, toute la charge par „. ono le câble le plus tendu MaN,

iiïg, 20». . ^ . '

qui cassera. Apres quoi ce sera le tour de l'autre, resté seul pour soutenir P. L'adjonction de la tige a&aura donc été une idée désastreuse.

Il en serait de même pour un pont en arc, étudié dans Thypolhèse de la triple articulation, dont on supprimerait Tarliculalion de clef ; pour un arc, calculé dans rhypolhèse de Tarliculalion sur les culées, qu'on encastrerait sur ses appuis, etc.

lat. etade d^ane pile métolliqae. — Nous étudierons le cas simple d'un panneau vertical de pile, aQeclant la forme d'un trapèze A A'BB' à bases horizontales symétriques par rapport à la verticale NO qui coupe AA' et BB' en leurs milieux NctO.

Nous désignerons par : 2a la longueur AA',

b la hauteur ON,

i l'inclinaison de AB sur la verticale, a l'inclinaison de BA' sur la verticale.

Nous supposons que le panneau soit sollicité par deux forces égales et symétriques Q et Q' appliquées en A et en A' : ces deux forces coupent la verticale ON sous l'angle 0, mesuré dans le même sens que le fruit i du montant.

Il s'agit de déterminer en grandeurs et signes les efforts supportés par les différentes barres du panneau.

Vu la symétrie de la figure, il est évident que les montants AB et A'B', ayant la même section droite, dont l'aire sera désignée par (I), supporteront des efforts égaux : Ro>.

Il en sera de même pour les écharpes AB' et A'B, auxquels correspondront les lettres R" et <i>". 35

POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

A rentreloisc AA' correspondront les lettres R' et co' .

En ce qui concerne rentreloisc BB', nous supposerons que le travail moléculaire subi par le métal soit égal à celui qui se rapporte à Tentreloise supérieure AA', soit R'. Quant à sa section oi', elle ne pourrait évidemment, dans ces conditions, èlre égale à o)'. Nous n'aurons pas du reste à nous en occuper.

(uvj A > "

Flg. 209.

Prenons pour axe des x la droite OB, et pour axe des y la droite ON. En raison de la symélrie de Touvrage, les droites AA' et BB' seront encore horizontales après la déformation, et la droilc ON verticale.

Désignons par w, le di^placcment horizontal subi par le point B, par u el v les déplacements horizontal et verlical subis par A, par suite de la déformalion élastique du panneau.

B' et A' ont subi des déplacements symétriques de ceux de B et de A, par rapport k Taxe Oy.

Ecrivons les équations d'équilibre relatives au nœud A, qui est sollicité par la force extérieure Q et les forces intérieures

(1) RV + R" co" sin a — R <o sin t — P sin e =; o.

R" w" cos a + R (0 cos f + P cos 6 = o.

Ecrivons les formules de la déformation relatives aux barres AA', AB', AB el BB', en remarquant que Ton a:

AA'=-- 2a, AB = — . , AB' = — ,

cos» cosa

BW = 2{a + 6\g i) = 2 (6 tg a —a). Enlrcloise AA' :

, a ab

Entreloise BB' :

Eu, En,

a-\-b{gi 6tga — a

D'où, en éliminant R' cnlrc les deux équations qui précèdent :

w, = w (1 + ^ tg i) = t/ ^^ tg ot — 1 j.

Cette relation entre t/j et u nous servira à simplifier les relations suivantes :

Montant AB :

R = E r-^ cos l

(4) ou R = -- (bu sin* i -f- av cos* t).

Echarpe AB' :

^ ,^(i*t + tt)8in« + ocosa K =£4 7 cosa

(5) ou R" =: — {bu sin* a + av cos* a).

Eliminons les inconnues R, R' et R" entre les équations (1), (2), (3), (4) et (5), et ordonnons les relations obtenues par rapport ku eiv.

tt(w'6+w'6sin'a— w6sin'«)+tj(flj''a sinacos'a—wasinicos*!) = — =:o,

Pa6cps6 tt(fca" 6 sin* « cos a -f w6 sin* f cos 0 + 1> (w"acos' a -^fM cos' i) -\- — ; — = o.

El

Résolvons par rapport à w et t; :

P asin6(4>"cos'a «^-ojcos'ij-l-acosO (6i"sin «cos* a — wsinï cos*î)

E « V ces'* « -f-fl^w' ces* i + ww" sin* (a f i) sin (a — t)

6sin6{w"sin'acosa -|- wsin*ïcosi)4- 6cosô(w'-J-&>'' sïn^u — wsin'/)

»Vcos'« + 6t>w' coB^i 4- W8*" sin* («+0 sin («— t)

Substituons cnliQ ces valeurs de it et de v dans les équations (3), (4) et (5). Nous obtiendrons les formules définitives :

//»\ n n «"sîn(Ô-t"«) 8În(ee+ ij8in(a — t) -|- w' cos ô cos* î

^ ' û>«" cos' a -|- ww' cos' i 4" **"" sin* (« + t ) sin (« — i)

/-v »^ / »> «" cos' a sin (0 + ce) + » cos* i sin (0 — f )

^ w«"cos'a -f- «w'cos* I -f û>«"sin* (« + t)sin(a -J-*)

,jj. P ^ p w sin (0 — t") sin (a + i) sin (a — t) — w' cos ô cos* a

^ ' ft>«" cos* « -f-«w' cos' t -f- ««" sin (a + »') sin (a — t)

Le problème est résolu : connaissant les sections w, ci>' et <o" des trois éléments qui aboutissent au nœud A, les équations (6), (7) et (8) permettront de calculer les valeurs du travail moléculaire R, R' et R", et par conséquent les efforts Rw, RV et R"co" supportés par ces barres.

On peut d'ailleurs, si on le préfère, se donner TR d'une des barres et les w des deux autres, ou bien encore les R pour deux d'entre elles, et Vtù de la troisième. Mais il est interdit d'arrôler a priori et simultanément les valeurs de R, de R', de R", ainsi que nous en avons déjà fait la remarque en traitant le cas général des fermes à barres surabondantes.

On peut aisément vérifier, par la combinaison des formules (6), (7) ot (8), que, si Ton a arrêté des valeurs de deux de ces quantités, celle de la troisième s'en déduit nécessairement. On a en effet, en éliminant co, o' et <ù" :

(9) R cos' a + R' sin (a — i) sin (a + i) — R" cos' i = o.

Les relations obtenues sont absolument générales, et s'appliquent à tous les cas imaginables.

On peut par exemple s'en servir pour étudier la stabilité d'un système sans liaisons surabondantes, obtenu par la suppression d'une des barres aboutissant en A.

Suppression des montants AB et A'B' : (o = o. On a un support en X.

cos a cos a

Suppression des entretoiscs AA' et BB' : w' = o.

-^ 13 sin (ô + a) ^„ „ ^ sin (9 — i)

sin (« -|- 0 sin(«-f-t)

ce. VI. — I. SYSTÈMES ARTICULÉS. 549

Suppression des écharpes AB' et A'B : <o''= o. Support rectangulaire non contreventé.

cosô , «in (Q -- 1) i\ <i> = — r . . , i\ <i> = " . : — .

COS t COS l

Si le montant est vertical, il faudra poser f = o.

Si Ton cherchait à déterminer la solution la plus économique, au point de vue de la dépense de métal, & adopter pour le panneau, on trouverait immédiatement :

et Ro) = — P.

Le support se réduirait aux deux montants AB et A'B'^ placés dans les directions des forces P et P'.

Dans Tétude que nous venons do faire, par la méthode des systèmes articulés, des conditions de stabilité d*un panneau de pile, nous nous sommes placé dans Thypothèse la plus élémentaire et la plus simple, ce qui ne nous a pas empêché d'arriver à des formules passablement compliquées.

Pour faire une étude réellement utile au point de vue des applications, il eût fallu examiner un cas se rapprochant dos conditions réelles de la pratique, et étudier par exemple une tranche horizontale de pile, formant un tronc de pyramide quadrangulairo, dont les huit sommets seraient reliés par des montants obliques, des entretoises horizontales formant les côtés des deux bases rectangulaires, et des écharpes dirigées suivant les diagonales des faces et suivant les diagonales intérieures du solide lui-même. D'autre part, il conviendrait de se placer dans le cas d'une charge dissymétrique affectant différemment les quatre nœuds qui occupent les sommets supérieurs du tronc de pyramide, et de no pas exclure Thypothèse d'efforts horizontaux dus à l'action du vent. On peutjugcr combien une telle recherche serait ardue et pénible, et de plus stérile, vu la complication des formules définitives, qui en rendrait l'emploi ou tout au moins la discussion impossible. Même en substituant aux lettres des valeurs numériques, comme nous l'avons fait pour les poutres à croix de St-André, on ne parvien-

POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

drail pas & rend ro pratique remploidecelté méthode pourVétiide despiles.

C'est pourquoi nous en reviendrons, dans la seconde partie du présent chapitre, à la méthode usuelle des systèmes rigides, seule susceptible de fournir une solution pratique et commode pour Tétude des pibs métalliques.

CALCULS Dt: STABILITÉ

«•&. CSénéraliléfii et définitions. — Nous allons applipliquor aux pjlcs métalliques la mélliode de calcul des systèmes rigides de hauteur variable^ exposée au chapitre IV. Pour simplifier notre étude, en nous rapprochant des conditions de la pratique, nous admettrons que Fouvrage considéré se compose :

1** D'un certain nombre de montants, dont les axes longitudinaux, droits ou courbes, se prolongent sur toute la hauteur de la pile. Il arrive parfois que certains montants auxiliaires s'arrêtent à une distance plus au moins grande de la plateforme de soubassement, leurs extrémités supérieures étant reliées aux montants principaux qui s'élèvent jusqu'au sommet delà pile (fig. 210); mais cette circons- Fig. 210. tance ne changerait rien à la marche à

ViaducsurJaSioule, suivre dans les calculs, /rt^^ ^"^^^* , Les montants sont habituellement com-

Qannat). primes, mais ils peuvent, dans des circons-

tances exceptionnelles, être soumis à des efforts d'extension ; ils jouent dans la pile le même rôle que les semelles dans une poutre.

2* De pièces de conlreventemenl, enlretoises oa écharpes obliques, reliant les montanls entre eux, et répartis en un certain nombre de triangulations simples, dont il conviendrait le cas échéant de faire disparaître les barres surabondantes, la présence de ces pièces ne pouvant qu'entacher d'erreur les résultats du calcul. Au lieu d'être toujours contenues dans les plans verticaux, comme pour les poutres, ces triangulations peuvent être situées dans des plans obliques, ou dans des surfaces cylindriques ou gauches, ayant chacune pour directrices les axes longitudinaux de deux montants.

Nous admettrons en principe que la pile possède deux plans verticaux de symétrie (au moins en ce qui concerne le système des montants, abstraction faite des pièces de triangulation), savoir (fig. 211) :

Un plan de symétrie longitudinal LL', contenant Taxe longitudinal du pont, et coupant la pile dans sa longueur.

Un plan de symétrie transversal TT' perpendiculaire à Taxe longitudinal du pont et coupant la pile suivant sa largeur, normalement à l'élévation du pont.

Pour éviter toute confusion, nous convenons ainsi de mesurer la longueur / de la pile sur l'élévation, c'est-à-dire dans la même direction que l'ouverture d'une travée adjacente ; et la largeur t normalement à Télévation, c'est-à-dire dans la mémo direction que la largeur du pont. Bien que contraire aux usages reçus, celte convention nous parait indispensable pour éviter des malentendus.

La verticale d'intersection des deux plans de symétrie est la fibre moyenne ou axe longitudinal de la pile, dont elle est un axe de symétrie.

La stabilité d'un pareil ouvrage doit être envisagée à deux points de vue distincts :

1** La résistance longitudinale, la pile étant soumise à l'action d'une force et d'un couple situés dans le plan longitudinal de symétrie ;

2*^ La résistance transversale, la pile étant soumise à l'action d'une force et d'un couple situés dans le plan transversal de symétrie.

CHAP. Vï. — II. PILES MÉTALLIQUES,

Résistance longitudinale (dans la direction de Taxe du pont).

Considérons un montant AB (iig. 21i). Soient (o Taire desa section droite dans le voisinage immédiat du plan horizontal HH' pris arbitrairement; i Tinclinaison sur la verticale, ou le fruits de la fibre moyenne du montant, à sa rencontre avec le plan HH'. La projection de la section droite sur ce plan aura pour aire (i> cos i.

H // ; vx ^- H

■■ ■ ^i^B • «^HB « «■«■> • mm^ m •■»<

Désignons encore par d la distance horizontale du centre de gravité de la section <o au plan transversal de symétrie TT': le moment d'inertie, par rapport à ce plan, de la section o) sera co d* cos t.

Soit enfin a Taire de la section droite d'une pièce de contreventement rencontrée par le plan horizontal HH' et a Tangle que forme Taxe longitudinal de cette barre avec le plan transversal de symétrie TT . La projection de la surfçice ^ sur ce plan de symétrie aura pour étendue : c sin a.

Nous appellerons :

Section horizontale rédxiite de la pile, la somme Q des aires 0) cos i, calculée pour tous les montants coupés par le plan horizontal HH' :

û = 2(1) cos I.

Moment d inertie longitudinal réduit^ la somme I dès momonls d'inerlie parliols o> d^ cos t, calculés pour tous les montants :

I = 2(0 tî^cos i.

Aire longitudinale de fâme^ la somme A des aires a sin « calculées pour toutes les pièces de la triangulation qui rencontrent le plan HH' :

A '= 2a sin a.

Résistance transversale (dans le sens perpendiculaire à Taxe du pont).

Opérons maintenant pour le plan longitudinal de s}naiétrie comme nous venons de le faire pour le plan transversal, en désignant par rf' sa distance au centre de gravité de Taire co, et par CL l'angle sous lequel if est rencontré par la fibre moyenne de la barre de contreventement.

Nous obtiendrons de même : le momeiit diiiertie transversal réduit de la pile :

r ■= 2(1) d'^ cos i ; et Y aire transversale de F âme :

A' = 2g sin a',.

ten. Formalcfl générales de ealeul. — Les forces in^ térieures qui sollicitent la section horizontale HH' de la pile peuvent toujours être ramenées au système composé :

1** D'un effort normal F, dirigé suivant la fibre moyenne (verticale) de la pile ;

2^ D'un moment de flexion longitudinal X, représenté par un couple situé dans le plan de symétrie longitudinal LL' ;

3<> D'un moment de flexion t7*a?isversil X', représenté par un couple situé dans le plan de symétrie transversal TT' ;

4° D'un effort tranchant longitudinal V dirigé suivant l'intersection (horizontale) du plan IIH' et du plan de symétrie longitudinal ;

5° D'un effort tranchant transversal V dirigé suivant Tin-

lerseclioa (horizontale) du plan HII' et du plan de syraélrio transversal.

Fig. 212.

Nous supposerons que F, X, X', V et V soient connus, ainsi que les aires et les moments d'inertie û, I, T, A et A', qui se rapportent à la section horizontale HH'de la pile.

Stabilité des montants. — La valeur du travail moléculaire R subi par un montant quelconque, défini par les distances d et d du centre do gravité de sa section aux plans do symétrie transversal et longitudinal, sera donnée par la formule :

Les doubles signes ±: fourniront pour R quatre valeurs différentes, qui se rapportent aux quatre montants placés symétriquement, par hypothèse, de part et d'autre des deux plans de symétrie (fig. 2H). On se rendra compte sans difficulté, en examinant les sens dans lesquels agissent les moments de

flexion X et X', des signes à attribuer, pour un montant délcr-

. ^ , Xrf , \'d' mmé,a -- et — •

Un des quatre montai)ts sera nécessairement plus fatigué

F \il X'd'

que les trois autres : ce sera celui pour lequel -, —et — ;-

auront leurs valeurs numériques précédées du même signe, R étant égal à leur somme. Il sera toujours aisé de reconnaître immédiatement la position de ce montant.

Y passe par un maximum quand (f atteint sa valeur limite

~, qui se rapporte aux montants les plus écartés du plan de

X'rf' symétrie transversal. II en est de même de '— , quand rf' at-

teint sa valeur limite- • Dans un ouvrage bien conçu, il con-

vient que d soit minimum pour le montant auquel se rapporte la valeur maximum de d\ et réciproquement. On arrive ainsi h uniformiser autant que possible le travail du métal dans les divers montants de l'ouvrage. Nous reviendrons sur ce sujet en parlant des règles à suivre dans la construction des piles métalliques.

Stabilité des pièces de contreventement, — Connaissant les efforts tranchants absolus V et V, il convient tout d'abord de calculer les efforts tranchants réduits W et W.

Nous substituerons h cet effet à la lettre A, dans la formule relative aux ouvrages de hauteur variable, les lettres / et F qui représentent la longueur et la largeur de la pile, mesurées suivant les intersections du plan horizontal HH' et des plans do symétrie LU et TT.

^ ^ l dx ' l'dx

Soient a et a' les valeurs du fruit de la pile, que Ton peut relever sur l'élévation et sur la projection transversale de Touvrage.

On a :

Il n'est pas possible de se rendre un compte exact du travail subi par une pièce de contreventement déterminée, sous l'influence des efforts tranchants réduits W et W, sans faire

iDtervcnir les formules de la déformation, ce qui compliquerait singulièrement les recherches, sans présenter en général d'utilité pratique. On se bornera à évaluer le travail moyen des barres de triangulation par la formule :

II suffira que R soit sensiblement inférieur à la valeur moyenne des limites pratiques de résistance admii^sibles pour les différentes barres considérées chacune en particulier,pour que la stabilité soit assurée. Pour peu que le nombre des barres de contrevenlement soit considérable, comme il n'est pas possible de descendre pour aucune au-dessous des dimensions minima indispensables pour pouvoir les assembler solidement aux montants, et éviter leur flambement sous les efforts de compression, on se trouvera toujours conduit à attribuer à cette partie de la construction une résistance bien supérieure à colle indiquée par la formule précédente. On se contentera d'en faire la vérification a poUeriori^ pour s'assurer qu'à ce point de vue la pile offre toute sécurité.

t«V. EffeU de la charge. — L'action exercée par le poids du pont sur la pile peut être représentée par :

Une force verticale Q, habituellement dirigée de haut en bas, et passant par le centre de gravité de la section horizontale du sommet.

Un couple de renversement longitudinal [a, situé dans le plan longitudinal de symétrie. Lorsque chaque poutre repose sur la pile par l'intermédiaire d*un appareil de dilatation à rouleaux, il existe un moment de renversement quand le centre de cet appareil ne correspond pas exactement au milieu de la pile. Soit m le déplacement total subi par l'appareil lorsque la température varie enlre ses limites extrêmes ; le couple [jl

varie entre les maxima : db — • Dans les ponts-grues en-

castrés sur leurs piles, le moment jx est fourni par l'épure de stabilité des poutres.

Un couple de renversement transversal^'^ situé dans le

»58 POUTRES A TKAVÈES SOLIDAIRES. .

plan transversal de symétrie. Ce moment esl toujours nul en dehors de Thypollièse où la surcharge du tablier serait dissymétrique. On peut supposer par exemple qu'un pont-rail à double voie soit parcouru par un seul train : soient P le poids du train et a la distance de Taxe delà voie au milieu du tablier. Le pont exerce sur lapilo un moment de renversement transversal représenté par Pa. En général on ne se préoccupe guère d'étudier les conditions de stabilité d'une pile sous Teffet d'une surcharge dissymétrique. Remarquons pourtant que si cette tendance au déversement, qui est d'habitude peu importante par elle-même, vient s'ajouter au moment de renversement dû à un vent violent, la sécurité peut être compromise. Comme à ce même instant la surface des poutres, sur laquelle s'exerce la pression de Tair, s'augmente de Tétendue en élévation du train, on doit reconnaître que la chute d'un pontrail à double voie, provoquée par une tempête, doit se produire au moment du passage d'un train sur la voie la plus éloignée de la poutre directement frappée par le vent.

Désignons par q le poids par mètre courant vertical de la pile elle même ; ce poids peut varier avec la hauteur, mais il sera toujours possible de l'évaluer numériquement à un niveau quelconque^ connaissant la disposition et les dimensions de l'ouvrage.

Prenons pour axe des x la fibre moyenne verticale de la pile et pour origine 0 le centre de la section horizontale du sommet.

Pour une section horizontale quelconque définie par sa distance X au sommet, on aura :

F = — Q— / qdx ,

.11 n'existe pas d'eiïort tranchant et les moments de renver^ sèment sont constants sur. toute la hauteur. *

4. Coite affirmation n'est pas absolument exacte. Il peut arriver qu'accidentellement les poutres exercent sur la pile une poussée iongitudinfil^ et

En appliquant la formule de la page 335, on pourra évaluer le Iravail R subi par le mêlai d'un montant quelconque, défini par ses dislances ^/ct d aux plans de symélrie, lorsqu'on aura dressé les épures des F et des X.

F En pratique - est toujours négatif, et donne lieu à un travail à la compression, mais il existe toujours un moulant sur quatre pour lequel— et — sont positifs. Si - H est plus

grand en valeur absolue que - , ce montant travaille à Fex-

tension. Cela peut offrir des inconvénients, soit que les montants soient en fonte, matière peu propre à résister à des efforts de traction, soit que Ton ait des doutes sur la parfaite solidité de sa liaison avec le soubassement

en maçonnerie. Il sera toujours possible de corriger ce défaut en augmentant Tempatle-

ment du support. Comme — et — sont [inversement proportionnels aux valeurs moyennes de d et rf, on peut toujours rendre leur

somme plus petite qu'une quantité donnée

- , en élargissant la base de la pile (fig. 213).

Pour le pont du Forlh, comme on tenait à éviter que dans aucun cas les maçonneries de fondation ne fussent soumises à

Fig. ?I3.

Viaducdu Bellon

(Commentry

à Gannat).

horizontale, d'ailleurs toujours très faible : frottement de roulement des appareils de dilatation sur les plaques de support ; effort de traction d'une locomotive ; force retardatrice développée par le serrage des freins, etc. SoLj P cette poussée. On à V iz: P. P est toujours assez petit pour qu'on n'ait pas à s'en préoccuper dans Tétude du contrevenlement. Mais on a d'autre part : X = ^ + Px. X, au lieu d'ôtre constant, croît avec x ; il est maximum à la partie inférieure de la pile, pour laquelle x est é^al à la hauteur totale H.. Bien qu'il soit difficile d'évaluer P avec quelqu'exaclitude, il est bon de tenir compte de l'éventualité de celte poussée, en faisant croître la longueur / de la pile avec la distance ^r au soinînet, de façon à élargir sa base d'appui sur le soubassement dans le sens longitudinal.

des efforls de soulèvement, on a adopté des dimensions considérables (fig. 174) :

/= 79"30 et /' = 36-60.

tes. Effets du ¥ent. — Considérons le cas général où le vent attaquerait le pont dans une direction oblique à la fois sur le plan d'élévation du pont et sur le plan horizontal. On pourra toujours évaluer l'action totale exercée sur les poutres et en déduire les valeurs de la poussée II et du couple de renversement p auxquels la pile devra pouvoir résister. On décomposera la poussée II, oblique à la direction du pont, en une force verticale T et deux forces horizontales S et S' situées dans les plans de symétrie de la pile ; le couple p en deux couples V et v' situés respectivement dans ces plans.

Désignons d'autre part par t^ la pression totale exercée par mMre courant de hauteur sur la pile elle-même ; cette pression, qui peut varier avec la hauteur, devra être calculée numériquement pour chaque section horizontale HH' définie par sa distance x au sommet de la pile. On la décomposera également en trois forces, l'une verticale t dirigée suivant Taxe de la pile, et deux horizontales s eis' situées dans le plan de symétrie.

Cela fait, on n'aura plus qu'à tracer les épures des efforls normaux, des efforts tranchants et des moments fléchissants à l'aide des formules :

tdx

sxdx^

r% rx r

V = S + / $dx , X = V + Sx + a: / sdx ~ 1

V'= S'+ / \'dx , X' = v' + S'a: + X f' s'dx— C s'xdx.

On opérera ensuite comme dans le cas de l'article précédent pour étudier les conditions de stabilité des montants et du contreventement. .

Dans les applications, on se borne souvent à étudier le cas 011 le vent agit horizontalement dans une direction perpendiculaire à l'élévation du pont.

Dans cette hypothèse, T, ^ S, 5 et v sont nuls, et les équations qui précèdent deviennent :

F = o , V'=S'+ Cs^dx ,

X = o , X' = v' + S'ar+ x / s'dx — / s'xdx.

tus. Action «imaltanée de la eliarg^o et du veut. —

On est libre d'étudier séparément ou simultanément Teffort de la charge et du vent. Nous nous bornerons à traiter le cas pratique où les poutres transmettent à la pile une charge verticale Q et un moment longitudinal de renversement [x, le vent étant dirigé normalement à Télévalion du pont, et donnant lieu à une poussée transversale S' et à un moment de renversement transversal v'.

On a :

F = -Q-£qdx ,

' s'dx — j s'xdx, V'==S'+/ s'iix.

Dans le cas particulier où l'on peut sans grande erreur attribuer à y et s' des valeurs constantes correspondant aux moyennes calculées sur toute la hauteur de la pile, on trouve:

F = -Q-ya: ,

En désignant par H la hauteur totale du support, on trouve pour sa section d'encastrement sur le soubassement en maçonnerie :

F =— Q — P (P étant le poids total de la pile) ,

X' = v' + S'H + f^ (H - x) s'dx,

POUTKES A TRAVÉES SOLIUAIHËS.

. Après avoir dressé les épures des F, V et X', on arrêtera les dimensions définitives des éléments de Touvragc à Taide des formules de stabilité de l'article 166.