DÉFORMATION
190. Formules i;énérales. — Nous admettrons que la section de base BAB' de la pile, située à la distance verticale H au-dessous de Torigine 0, que nous plaçons toujours au
centre de la section horizontale supérieure, soit fixe, la pile étant encastrée sur un soubassement indéformable.
Conservons les notations de Tarlicle précédent, et désignons par Oy et Oy' deux axes rectangulaires horizontaux placés respeclivement dans les plans de symétrie longitudinal et transversal (fig. 214).
Nous connaissons, bien entendu, pour une section horizontale quelconque, définie par sa distance x à l'origine, les quantités Û, I, F, F, X etX'. Il s^agit d'établir les équations de la courbe décrite par la fibre moyenne déformée^ dirigée primitivement suivant la verticale OA.
Soit M un point de cette fibre, défini avant la déformation par son abscisse x.
Nous désignerons par S^ le tassement vertical subi par le point M, c'est-à-dire la diminution de sa distance H — ît au point fixe A,
Fig. 214.
Nous appelleroQS y et y' les coordonnées de ce point, par rapport aux axes Ox cl Of/\ après la déformation. Les conniposanted dans lesplansa;Oj/ et xOy du déplacement angulaire subi en
}i parla fibre moyenne seront représentées par. j- et j- •
Appelons m, /et /"', 0 et 6' les valeurs particulières que prennent les variables ix, y, y', -r et — quand on considère l'origine 0.
En appliquant l'équation de la résistance des matériaux
EIt^ = X, et suivant la marche habituelle, que nous avons
déjà eu l'occasion d'exposer plusieurs fois, on arrivera aux formules suivantes :
Equations de la fibre moyenne déformée : Sa: = — / =r dx ;
— r^ f^xxdx
y-^j, El X Ei ' ~X El' '
du dx
Déformation au sommet 0 :
f X(H — x)Ag ' J El :
Z'" X'dx
' " ./, Kl'
Le calcul par quadrature des iatégralcs définies contenues dans ces équations ne présentera aucune difficulté. On pourra donc toujours tracer les projections sur les plans xOy et xOy' de la courbe décrite par la fibre déformée.
Les sections horizontales de la pile reslant normales à la
fibre moyenne, les expressions r et j^ représentent les com-
posantes dans les plans xOy et xOt/ de leurs déplacements angulaires.
Rien n^empècherait d'étudier la déformation de la pile pour différents cas de surcharge et de direction du vent. Mais il suffira en général de calculer les déplacements w, f ci f du. sommet qui sont les seuls renseignements offrant de Tintérèt.
Nous n'avons pas cru nécessaire d'insister sur les signes à attribuer aux inconnues ii, 0,/, O'et f. On se rendra toujours aisément compte de la direction dans laquelle la fibre se déplace, sans qu'il soit utile de recourir à des règles théoriques qui ne feraient qu'obscurcir la question.
tiri. Mctbode al>réi;ée. — Supposons que Ton connaisse les valeurs successives du travail R développé à différentes hauteurs dans chacun des montants de la pile, sous Tactioii du vent, et dans des conditions de surcharge déterminée. Oa pourra évaluer assez exactement le tassement vertical ti subi par le sommet de ce montant à l'aide de la formule :
Jo E
u, tassement du montant, est positif si, cette pièce étant comprimée^ le travail R est négatif.
Cette relation n'est rigoureuse que si le montant est vertical, mais, appliquée à un montant oblique ou courbe, elle donne un résultat assez approché de la vérité.
Il sera très facile de calculer tt pour chaque montant. Après avoir ainsi déterminé les positions occupées par les sommets de tous les montants après la déformation, on en conclura sans difficulté le tassement u et les déplacements angulaires 6 et 6' de la section horizontale du sommet en me-
nant le plan moyen le plus rapproché dos oxlrémilés des montants, c'est-à-dire le plan défini par la condition que la somme de ses distances aux extrémités en qnestion soit un minimum. Cette méthode abrégée peut fournir des indications utiles sur la déformation do la pile, dont la recherche^ faite suivant la marche exacte indiquée à Tarticle précédent, cxig-erait des calculs assez compliqués et laborieux. Elle ne donne d'ailleurs aucun renseignement sur les déplacements horizontaux/ et /^.
199. Caleal des eoemeiento y et r. — Nous avons vu à Tarticle 141 que, pour établir les épures de stabilité d'un pont-grue ou d'une poutre continue, il est indispensable do connaître les relations qui existent : d'une part entre le tassement ti du sommet d'une pile et la charge Q qui l'occasionne ; de l'autre, si la pile est encastrée, entre le déplacement angulaire longitudinal 0 de son sommet et le moment de renversement longitudinal *a qui le produit.
11 n'y a plus à s'occuper ici du poids propre do la pile, ni de rinfluence du vent, puisqu'on veut simplement se rendre compte de la déformation subie par la pile lorsqu'on monte le pont.
Les formules de l'article 150 deviennent par conséquent :
Dans les relations u = yQ et 6 == V]l de l'article 141, les coefficients numériques y et F seront donc représentés par les intégrales définies :
/•H djp r^ dx
Leur évaluation ne présentera aucune difficulté. Dans le cas particulier où û et I sont des constantes sur toute la hauteur de la pile, ces formules se simplifient :
563 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.
Oq pourra en général, pour abréger le calcul, se servir de ces relations, on altribuant à û et I les valeurs moyennes qui se rapportent à la section horizontale prise au milieu de la hauteur du support.
Nous ferons ici une remarque qui peut avoir une certaine importance :
Dans l'étude faite des ponts -grues encastrés sur leurs supports, il a été admis que la déformation de la fibre moyenne, au droit de Tencastrement, /concordait exactement avec le déplacement de la section horizontale du sommet de la pile : cela revient à supposer que l'encastrement est réalisé au milieu de la hauteur de la poutre, tandis qu'en réalité c^esl toujours la semelle inférieure que Ton relie au support.
Il en résulte que Vu et le 0 du sommet de la pile, fournis par les formules précédentes, peuvent différer de Vu et du 9 de la fibre moyenne, dont on a besoin pour le calcul du pont, de Técart qui existe entre la déformation de celte fibre moyenne et celle de la semelle inférieure encastrée sur la pile. Cet écart peut n'être pas négligeable si la hauteur de la poutre n'est pas très petite comparativement à celle de la pile.
Dans ce cas, pour obtenir dos résultats suffisamment exacts, il est indispensable de considérer le panneau de pile de la poutre comme formant le prolongement de la pile jusqu'à la fibre moyenne, c'est-à-dire jusqu'au milieu de la hauteur de la poutre.
£n d'autres termes, Torigine 0 des hauteurs, qui figurent dans les intégrales définies donnant y et T, devra èlre placée non pas au sommet de la pile, mais au milieu do la hauteur de la console.
Soit h cette hauteur ; les formules à employer seront :
Considérons à tilro d'exemple le support cenlral du pont du Forth ; la pilo proprement dite est constituée par deux massifs en maçonnerie, de faible hauteur, que Ton peut considérer sans erreur appréciable comme indéformables. Les coefficients Y et r seraient donc nuls si Ton ne devait pas, en raison de la remarque précédente, considérer comme formant le prolonge-* ment de la pile le panneau central dont la hauteur h atteint 100 mètres.
La pile métallique ainsi définie a pour hauteur 50 mitres ; elle se compose de quatre colonnes verticales ayant chacune O^^jSSOOO pour aire do section transversale et écartées d'axe en axe, sur l'élévation du pont, de 79", 30.
D'où 1 = 4x0,53600x1(79,30/.
Posons E = 1,60X10".
On a : r = 50.
D'où
Jl
~ j El ~ 10"
Lorsqu'une des grandes travées supporte sa surcharge d'épreuve complète, à raison de 6.700 kil. par mètre courant, l'anlre travée étant réduite à son propre poids, le moment \f, do renversement est égal à 160.000 tonnes-mètres.
D'où: 9 = r|t = 0,00016.
La flèche d'abaissement de l'extrémité de la console appar* tenant h la travée chargée, qui correspond au déplacement angulaire 0 do la fibre moyenne au droit de la pile, e«t égal ii 6 X 207, soit O'^^OSa. Si l'on y ajoute la flèche d'abaissement 0^16, due à la déformation propre de la console assimilée à une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre, on trouve en définitive pour le déplacement vertical de l'articulation, sous l'influence de la surcharge d'épreuve complète couvrant une seule des grandes travées : 0"*,192,
Supposons qu*au lieu do former la pilo de doux massifs isolés distanls de 79 m 30 d'axe en axe, on Tcût réduite à un
seul pilier, en plaçant à 10 m. de dislance seulement les colonnes extrêmes du panneau central de la poutre. L'angle 6 aurait été dans ces conditions multiplié par 6i, et la flèche correspondante serait passée de 0 m. 032 à 2 m. 05. L'abaissement total de l'articulation eût été de 2 m. 20, l'inclinaison correspondante des voies ferrées sur Thorizontale excédant un centimètre par mètre. La grande longueur de base attribuée à l'encastrement de la console était ainsi commandée non-seulement par l'opportunité de ne jamais faire travailler à la traction les boulons d'ancrage de la ferme dans les maçonneries de la pile, mais encore par la nécessité de limiter d'une manière convenable la déformation de la grande travée sous le passage des charges roulantes.
Nous nous sommes basé, dans le calcul qui précède, sur des renseignements fournis par Isl Revue géiiérale des chemins de fer (février 1889). A défaut d'indications précises, nous avons cru pouvoir attribuer aux colonnes verticales du panneau de pile les mêmes dimensions qu'aux membrures inférieures à seclion circulaire évidée des fermes. D'autre part, il nous a semblé résulter du texte de Tarticle que l'aire de la seclion transversale de ces membrures, indiquée comme étant de 53,600 millimètres carrés, devait être en réalité dix fois pins grande, et atteindre un demi-mètre carré. A supposer que nous ne nous soyons pas trompé dans nos conjectures,les renseignements dont nous nous sommes servi étaient trop incomplets pour que l'étude qui précède puisse être regardée comme méritant quelque confiance. Nous no la présentons ici que comme un exercice de calcul, utile à donner à titre d'exemple, sans prétendre formuler des indications exactes en ce qui touche les déformations réelles que Touvrage en question pourra subir sous sa surcharge d'épreuve.
Dans les applications que l'on pourra faire des formules générales de l'arlicle 170, il conviendra, toutes les fois qu'on se proposera d'étudier non pas la déformation de la pile proprement dite, mais celle du pont qu'elle supporte, de considérer comme dans le cas précédent le panneau de pile comme prolongeant le support jusqu'à la moitié de la hauteur de la poutre» On obtiendra ainsi les valeurs Uy ô, /*, 6' eif des déplace-
menls rectiligncs et angulaires subis par la libre moyenne dé la console au droit de la pile.
