ÉQUATIONS
Numéros d'ordre des travées consécutives constituant chaque groupe
X»/^,+2X^(/^.+/„)+X„4,— — Pr(/^)(2/«) X^ /«+2X»(/,+4h-,) +X„+. /^. — — Pr (/'m— r*) X, /»+, + 2X»^., (i,^., + /„+,) + X,^t /«H-j -^ 0
Eq remplaçant dans les m — 2 premières relations de ce groupe Xi par tij, X, par w„ Xm-, par i/^-j et X^-i par w«-„ nous retomberons identiquement sur les m — 2 premières équations du groupe (1) de l'article 14 (page 53).
Si donc nous supposons que les nombres Ui, Ut, Uz, ....t/,^i ont été calculés à l'avancé, nous pourrons substituer aux m — 2 premières équations de la série les relations suivantes :
Xi = Wj Xi ,
Aj = î/j Xf 9
Nous pourrons de- même, après avoir substitué, dans les n — m — 1 dernières équations de la série, t?i à X»— i, Vj àX»— î,
Vm—m—\ àXm+i, Vu— « à X», et avoir renversé leur ordre,
constater leur identité avec les n — m — 1 premières relations du groupe (2) de Tarticle <4, ce qui nous permettra d'écrire,
en supposant que les nombres î?j, v^ v^-^m aient étd calcu-
lés à l'avance :
Remplaçons maintenant dans les équations m — i elm de la série, dont les seconds nombres sont fonction de la charge P, X,„„ X«t i, X„i et Xw+i par leurs valeurs respectives en fonction de Xi et Xn—i-
Elles prendront la forme suivante :
Xi [Mfl,.,/^i+2î/,,^i{/«__i+/^)]+XH-it;«m/m=— PK/iii--T(24ii r^ ;
On peut encore les simplifier, en tenant compte des relations suivantes, qui figurent dans le groupe l de l'article 14 avec le numéro d'ordre m — 1, et dans le groupe 2 avec le numéro n — m:
Um-t /m-i + 2Um-i (/nt-l + U) + «m An = 0 ,
Nous obtiendrons finalement les deux équations du premier degré à deux inconnues, X^ et Xn— i, qui suivent :
Pr
— Xi Wm + X„-.i rn-m==— r{^ — ^) (2^m — r) ,
Pr
D'où:
Aj — — rr* (ifii — 7*) — ^— — — — ^— -^— 1 V ^ ^ Um Vn-M — Mm Vn-nH-i
An— 1 — " 77*" \^»t W — ^— "— "^— "■^— ■~'""^"""
-'ipi
On a d'autre part, en remarquant (art. 14) que
Mm— t ^ . Vn—m ^^
«m Vn—m-hi
— ^ fJ -H^ N^ û 2/^ — r -^ (U + r) yn-m .
= — .7- \^m — ^} X Yn-m "
Pour simplifier les formules en supprimant les indices des lettres qui y figurent, nous conviendrons de représenter simplement par ly ^ et Y les données numériques relatives à la travée de rang m que nous considérons, savoir : /m, ^m-u
Avec cette convention, les expressions des moments sur les appuis de la travée chargée deviennent :
x„.=-P.(.-:.),.!iizM'.
X„ = -Prf
Or-
On sait que Ton a toujours :0<p<-etO<Y<-«
n en résulte que Xm— 1 et Xm sont nécessairement négatifs, quels que soient P, /, r, p et y.
Connaissant les moments sur les appuis de la travée chargée, il est facile de calculer les moments développés sur tous les autres appuis.
On a en effet, pour les appuis situés à gauche de la travée chargée :
Xm— 1 = ;; Xm— i == — P>w— 1 Xm— 1 >
Um—i
Xm— 8 = Xm— 1 = pm— 3 ^m— j = + 6m— s pm-fî Xm— 1 >
ttm— 1
Xm^A Pm— *Xm— *-|-i==^Pm— *'Pm— *-f-i • Pw— *+«• . . • pm— «Pm— iXm— j ,
Le signe H- convient aux appuis dont le numéro d'ordre diffère de m d'un nombre impair (ft= 2A + 1), et le signe — à ceux pour lesquels cette différence est un nombre pair {k = 2h).
On trouverait de même pour les appuis situés à droite de la travée chargée m :
•A-m-t-î = "T" yn— m— 2 yn— m— i ^m >
Awj^A- — ^ yn— m— A-[-i yn— m— A+s yn— m— î yn— m— i Am.
On doit adopter le signe + lorsque k est pair, et le signe — lorsque k est impair.
Le moment fléchissant X„i sur l'appui m de la travée chargée étant négatif, le moment X^+i sur l'appui suivant est positif et sa valeur absolue est comprise enlre 0 et — ; les moments sur les appuis successifs sont alternativement positifs et négatifs, et chacun d'eux a une valeur absolue supérieure au double du moment sur l'appui suivant. Le moment sur le dernier appui Xn est d'ailleurs nul.
On arriverait aux mêmes conclusions en partant de l'appui m — 1 et marchant vers ^extrémité o.
Fig. 21.
La figure 21, qui fournit la représentation graphique des moments produits par une charge isolée, rendra plus clair l'exposé qui précède : nous avons pris pour exemple une poutre à huit travées où le poids P est appliqué en un point de la cinquième.
tu. Moments llcehiHifiants preduitu par ane ehap|^e éoneentrée aaiquc dans l'une des travées non ehAr»i:éeft. — Soit k — 1, k une des travées non chargées dont le
CH. I. - TflÉORIiî. DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 61
numéro d'ordre est k. L'expression analytique du moment fléchissant en un point quelconque est, en désignant par Xi i et Xjt les moments sur les appuis :
C'est l'équatio^ de la droite qui réunit les extrémités des ordonnées représentatives de Xa i et Xa.
Supposons que la charge unique soit appliquée en un point quelconque de Tune des travées de la poutre situées à droite de la travée k que l'on considère.
On a alors : Xi, = — p Xa , et la droite représentative des moments fléchissants coupe l'axe de la poutre en un point F'
dont l'abscisse est x' = 77-1 / (fig. 22).
Ce résultat est indépendant du signe de Xjt et par conséquent du numéro d'ordre de la travée chargée, ainsi que de l'abscisse r du point d'application sur cette travée et de l'intensité du poids P.
Supposons que le poids P se déplace en partant du point
d'appui k et se dirigeant vers ^ l'extrémité n. La droite représentative des moments fléchissants dans la travée k oscillera autour ^'^ ^ du point fixe F', situé sur l'axe
de la poutre. Chaque fois que le *^-* poids P franchira un point d'ap-
pui, la droite Xa— 1 Xjt coïncidera avec l'axe, et les moments Xa i et Xa- changeront de signes, après avoir passé par zéro : les signes de ces moments resteront d'ailleurs les mêmes pour toutes les positions du poids P sur une même travée.
Le moment Xit est négatif toutes les fois que le numéro m de la travée chargée diffère de k d'un nombre impair: m = ^-t-2A+ 1. Il est positif quand cette différence est paire : m = A: + 2A.
Nous appellerons premier foyer ou foyer de gauche de la travée k le point remarquable F' dont Tabscisse est fournie
POUTItES A TIUVËGS SOUDA [ttlîS.
la relation indépetid aille des charges : z' =
/. ^ étant
jours compris entre 0. et -, ^ est nécessairement plus petit
supposons à présent que la charge P soit appliquée en un tit de la poutre située à gauche de la" travée A (fig. 23). a alors; Xt = — Y^t-t-
!& courbe représentative des X est une droite passant par I un point fixe F" second foyer ou
foyer de droite de la travée, qui jouit exactement des mêmes proprit^lés que le point F" pour les ^^^\~|' charges appliquées entre l'exlré- Xk mité 0 et l'appui k — 1 .
Fig. 33. Ona-k — i.r=x' =
— ~—\ ; Y étant toujours compris entre 0 et i/2,x" est né-
sairement plus grand que 2/3 /.
jB moment Xk—, est négatif toutes les fois que le numéro la travée chargée diffère de k d'un nombre impair
= k — 2A — 1] et positif quand cette différence est paire
j& figure 2i résume les résultats que nous venons d'énoncer, en indiquant les directions suivies par la droite représentative des moments fl<!chissants pour les différentes hypothèses que l'on peut faire sur le rang de la travée chargée.
Supposons qu'on ait à l'avance calculé les abscisses des deux foyers de chaque travée, lesquels sont uniquement fonc-
]s des ouvertures/,, /^ l„, et ne d<Spendent pas de la
irge. Après avoir déterminé prt^alablemeiit les moments
ihissants diiveloppés sur tes appuis de la travde chargée m,
CH. i. — THÊORIB DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 63
on pourra obtenir graphiquement et sans nouveau calcul les moments sur tous les autres appuis, ainsi que les droites représentatives des moments dans les travées non chargées, en traçant à partir de Fextrémité du moment X^t— i une ligne brisée continue, passant par tous les premiers foyers F' des travées de gauche pour aboutira l'exlrémité o, et ayant ses sommets sur les verticales des points d'appui. On fera de même pour les travées situées à droiie de la travée m, en partant du point Xm et traçant une ligne brisée passant par les seconds foyers F"" et aboutissant en n. La iigure 21 indique le résultat de cette construction graphique.
Pour la prenaifere travée on a p = 0 : le premier foyer coïncide avec le point d'appui o; le second foyer n'est jamais utilisé, parce que le poids P ne peut être appliqué à gauche de Tappui o, section extrême de la poutre.
Pour la dernière travée, Ton a de même y = 0 : le second foyer coïncide avec le point d'appui n. Le premier foyer n*est jamais utilisé parce que le poids P ne peut être appliqué à droite de Tappui ?<, section extrême de la poutre.
Nous verrons plus loin qu'à d'autres points de vue la considération du second foyer de la première travée et du premier foyer de la dernière peut être utile : le calcul de leurs abscisses s'effectuera d'ailleurs par les mêmes formules que pour une travée intermédiaire quelconque:
1"» travée, second foyer F" : 0(^\ = l^ (\ 2ïî=î-\ •
fi
2* travée, premier foyer F' : x'n = In ,7* •
t r pn— 1
19. Moments fléobissanta produits par one ehar^re eonoeiitrée «niqae dons lo travée chargée. — Nous avons déjà indiqué les valeurs des moments produits sur les appuis de la travée chargée m. En désignant par l,^ et y les données relatives à cette travée, on a :
l-lSy
^ *jw .'3.
, ■■■■•rt
\ — jSy
POUTHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Les momenls fléchissants à Tintérieur de la travée sont représentés par deux équations différentes, suivant que Ton considère les sections situées à gauche du point d application de la charge (a: < r), ou à droite {x > r).
On a :
Xmj'+'j{l—r)x , poura?<r ;
i-jj + Xmj + jril—x) , poura5>r.
On peut toujours considérer P comme la somme de quatre poids partiels tz, tu', t;'^, t:"' appliqués au même point R de la poutre^ pour chacun desquels la travée considérée réaliserait à ses extrémités une des différentes combinaisons d'appui simple ou d'encastrement parfait indiqué dans les paragraphes a, by cet d de l'article 5 (page 27).
On aurait ainsi :
pour le poids 7; , p = 0
TZ
avec la condition :
" TT — T" î» "T~ ît "T" ÎC .
Pour que les deux charges soient équivalentes, il suffit que les moments sur les appuis soient égaux, ce qui donne la double condition :
1 — jSy
en. I. THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 65
Il est facile de se rendre comple que, quelles que soient les valeurs, comprises entre 0 et 1/2, attribuées àp et y, il est
/ j» ifr
toujours possible de donner à ^ , ô 6*» ^ ^^^ valeurs positives dont la somme soit inférieure à Tunité, et qui satisfassent aux deux équations de condition qui précèdent.
Nous en conclurons que les appuis de la travée chargée se comportent comme si, la travée étant isolée, ils étaient partiellement encastrés, dans les conditions de l'article 5.
n it^ n' «*'
Il faut d'ailleurs remarquer que les valeurs ô > p > "^ ^^ ^
dépendent à la fois de p, dey et de r, et que le coefficient (T encastrement de chaque appui varie par conséquent lorsque le poids P se déplace sur la travée.
Pour p=0,on a nécessairement, quel que soit r: 7:' = x'^=0. Pour y = 0, on a de même : %' = iz'" = 0. La ligne représentative des moments fléchissants se compose de deux droites coupant les ordonnées des appuis en X^w-j et Xm, et se rencontrant sur la verticale du point d'application R de la charge P.
Le moment fléchissant en ce point R est toujours positif. Il a pour valeur :
Bk-t
NI
Fig. 25.
Xr = Xm-i M- jj+Xynj +
Pr (l'^r)
Les abscisses z' et z^ des points G' et G'' de rencontre de ces droites avec l'axe des x indiquent les sections oîi X s'annule, pour la valeur particulière attribuée à r. On peut calculer ces abscisses à l'aide des formules qui suivent :
Xm — 1
Point G' : y=/
Xm-,-Xm-P(i-r)
Pour G": z^^lll- -—^ -\ .
\ Xm—Xm— i — Pr I
■^ky
z et z" sont toujours réels et compris entre o et /. On a nécessairement, quel que soit r (compris d'ailleurs entre les limites o et /) :
Pour p = 0 , z' =^\
PourO<p<^ , 0<^'<j-;^/ = x'; Pour y = 0 , z" z=l\
Pour 0<y<^ , 0</— y'</— j-^/=/— J:^
Les points 6' et G'' sont donc toujours situés respectivement dans les zones de la poutre comprises entre chaque extrémité et le foyer le plus voisin. II en résulte que, quel que soit r, les moments fléchissants développés dans la partie F' F'' de la travée comprise entre les foyers sont toujours positifs. Ce n'est que dans les zones extrêmes m — 1 F el F"m que X peut avoir une valeur négative.
Cherchons les positions limites des points G' et C quand r tend vers zéro :
Tout d'abord, pour r= 0, z = 0. Le point G' se confond avec l'appui m — 1.
D'autre part, quel que soit r, on a toujours, en vertu de la figure 25, la relation suivante entre les distances de l'appui m aux points G" et R :
wiG' 1-%' — X
wR /— r -^Xm + Xr
Substituons à Xw— i, Xm et Xr leurs valeurs connues en fonction de Pr, p et y :
xm-.(i-9-x.(i-;:)+Pr(,-;)
-^H)H)-K-^r)0-0+K'-DO-:-)-^<-/)0-9^*-^-
Pour r = 0, cette relation devient :
Le point G" coïncide avec le second foyer F''.
On prouverait de même que, pour r = /, G' coïncide avec le premier foyer F' et G'' avec le second point d'appui m.
Donc lorsque le poids P se déplace de m -^ 1 à m, le point G' va de m — 1 en F' et le point G'' de F" en m.
Ces formules et les propositions qui précèdent sont applicables à la première travée à la condition de poser Xq = 0 et par suite ^ = 0, et à la dernière à la condition de poser Xn = 0 et par suite y© = 0.
Pour des valeurs données de P et de r, Xm— i est d'autant plus grand que ^ est plus grand, et y plus pelil. Il augmente donc lorsqu'on diminue l'ouverture de la m — 1® travée, ou lorsque Ton augmente celle de la >w + 1* travée. Sa limite supé-
rieure correspond à p = - , y :^ 0, ce qui suppose Zm-i = 0
et /m+i = 00 .
La même proposition peut s'énoncer pour le montent Xm du
second appui, à condition de permuter ^ et y ainsi que les numéros de travées m — 1 et m + 1 .
Pour des valeurs données de P et de r, X est d'autant plus grand que ^ ety sont plus petits. Son maximum correspond à p = 0 et y = 0, ce qui suppose /to-1 = 00 et /m-f 1 = 00 (la
travée m est simplement appuyée à ses deux extrémités) et son
minimum correspond à ^ =- ety=-, ce qui suppose /m— i = 0
et /jn+i = 0 (la travée m est parfaitement encastrée à ses deux extrémités).
Pour des valeurs données de ^ et de y, la valeur maximum de Xm— 1 correspond à une abscisse r comprise entre les limites
Xai.l
Fig. 26.
0,3333 /{dans l'hypolhèse p = y = 1 ) et 0,4226 l (dans l'hypothèse p = -, Y = 0].
La valeur de l'abscisse r correspondant au maximum de Xr est toujours comprise, lorsque Ton a p > y, entre - l (lorsque
P et y sont égaux) et 0,634 / (lorsque p = - et y = 0).
En général la valeur absolue maximum de Xr est toujours supérieure à la valeur maximum du plus grand des moments des appuis. Le contraire ne peut se présenter que lorsque Tune des quantités p et y <3st plus grande que 0,45, cas en dehors de la pratique.
19. Moments fléeliissaiits prodaitu par la ehar^^e nniforme complète d'une seule travée. — Nous désignerons encore par m le numéro de la travée chargée. Soitp la charge par unité d*ouverture. Appliquons à tous les groupes des deux travées consécutives le théorème des trois moments en nous servant de Téquation (6) de Tarticle 11 (page 48). Pour les groupes ne comprenant pas la travée chargée, nous retomberons identiquement sur les relations qui figurent à l'article 15 (page 57). Il n'y aura de changé que les équations m — 1 et m relatives aux groupes comprenant la travée chargée. Ces équations, dont le second membre est fonction de la charge, deviendront :
Xm— 1 Im-^i + 2Xm— 1 (/m~i + /m) + Xm /«i == — , pUn^ Xw— 1 Im + 2Xm (/m + /«H-i) + Xm+i /m-|-i = — - pAn*.
Nous disposons encore ici de n — 1 relations entre n — 4 inconnues, Xi, X| Xn— i* En suivant exactement la méthode déjà employée à l'article \ 5 pour le cas d'une charge isolée unique, nous obtiendrons pour expressions analytiques des moments développés dans les sections d'appui de la travée chargée :
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 69 >^i
Les quantités /, ^ et y se rapportent à la travée considérée :
Xm-i et Xm sont négatifs, ce qui était évident a priori^ puisque la charge uniforme complète peut être considérée comme la somme d'une infinité de poids isolés égaux pdr appliqués en tous les points de la travée, et dont chacun, considéré à part, donne lieu sur les appuis à deux moments négatifs, quelle que soit Tabscisse r de son poids d'application.
Les valeurs des moments sur les appuis des travées non chargées s'obtiendraient exactement par les mêmes formules ou les mêmes constructions graphiques que dans le cas de l'art. 15, puisque ces formules ou ces constructions sont indépendantes de P et de r, et n'exigent que la connaissance des moments négatifs Xm—i et Xm. La courbe représentative des moments fléchissants dans les travées non chargées sera donc encore constituée par les lignes brisées de la figure 21, qui, partant respectivement des extrémités o et n de la poutre, ont leurs sommets sur les verticales des appuis, passent par les premiers foyers (entre o et m — 1) ou les seconds (entre n et m) et se terminent aux appuis m — 1 et m, où leurs ordonnées sont négatives et égales à Xm— i et Xm-
La figure 24 indique pour la travée Aies directions de la droite représentative des moments fléchissants, suivant que le numéro m de la travée chargée diffère de k, en plus ou en moins^ d'un nombre pair ou impair.
Pourla travée chargée, la courbe représentative des moments fléchissants est une parabole (page 11), dont Téquation, où l'on désigne par / l'ouverture de la travée, est :
X = Xm-i + (Xm — Xm-i) j+ ^px{l — x).
Cette parabole coupe l'axe des x en deux points G' et G"
(fig. 27), dont les abscisses ^ et z" sont fournies par les relations :
jt
pi
Afyt ""~ Atn —
Xm — Xm—
pT
Xm — Xm — 1\* 2X|
z' et z" sont toujours réels, positifs et compris entre 0 el /. X est négatif entre les points m — 1 et G' [0 < x < a'] et les points G" et m [2"<a:</], et positif entre les points G' et G"
Xm-l
Fig. 27.
Remplaçons dans Téquation de la parabole Xm -i et Xm par leurs expressions en fonction de P, y, /> et / ; elle devient :
2L l''^\ 2{i^^)ll 2(I~157)J'
Attribuons à a: la valeur particulière 3/4 --^ / . II vient :
at^P!^ /4.e + 2l3y - 7|3' ^ SjS'y ~ 2j3«y - 25^ ~ 2 ^ ^6(l 4- |3)" (I — jBy) /
^ pi' /(4P - 7p« — 2j3») 4- (2i3y -h SjS^y - 2|3'y) . 2 V t6(4 +p)Mt-l3y) / '
Comme Ton a toujours 0 <P<~et0<Y<;-,le numé rateur de cette expression est nécessairement positif.
pwr^
On a en effet, d'une part: 4p>7p'+2p' ou 4>7p+2p*,
Fégalité n'ayant lieu que pour p = - ;
et d'autre part : 2py + Sp'y > 2p*y ou 2 -i- Sp* > 2p,quel que soit p.
Donc la valeur de X est positive pour x = 3/4 ^ /, ce qui signifie que ^ < 3/4 p-^ /= 3/4 a:'.
On verrait de même que z" '>l — 3/4 — ^ /.
D'où: l — z" <\{Ji— x'\
Par conséquent Tabscisse t! du point G' est toujours plus petite que les 3/4 de Tabscisse a?' du premier foyer F'. De même la dislance du point G'' au second appui m est plus petite que les 3/4 de la distance à cet appui du second foyer F^ :
G'F>?m— IF , F"G">7F"m.
L^effet produit par une charge uniforme complète sur une travée de poutre continue est identique à celui qui résulterait de l'application de la même charge sur une poutre isolée de même ouverture, dont les appuis seraient partiellement encastrés dans les conditions de l'article 4. Cela est évident a priori^ car le déplacement angulaire de Tappui m — 1, par exemple, est nécessairement compris entre le minimum 0, correspondant à l'encastrement complot (p = 1/2 et y = 1/2) et le maximum correspondant à l'appui simple pour les deux extrémités (^ = 0, y = 0). Il n'est pas possible, sans supposer P <! 0 ou p > 1/2, de se placer dans des conditions telles que l'angle on question sorte des limites indiquées. Or, on peut toujours attribuer à tu, tt', Tc^etw" des valeurs positives, ayant pour somme ;>, qui réalisent pour chacun des appuis des déplacements angulaires donnés 9m— i et 8m, compris entre les valeurs extrêmes correspondant à l'appui simple ou à l'encastrement. Il suffit, d'ailleurs, que deux travées de même ouverture et de même section, supportant la même charge pi, subissent les mêmes déplacements angulaires de la fibre
moyenne au droit des appuis, pour qu'il y ait identité entre les courbes représentatives des moments fléchissants : les équations 1, 2 et 3 de l'article 2 montrent que cette condition entraine Tégalité des moments sur les appuis et par suite ridentité des paraboles des moments.
Nous ne reproduirons pas ici la discussion de la parabole des moments, déjà faite à Tarticle 4, dont toutes les conclusions s'appliqueraient au cas actuel.
!•« Moments lléchissauti» produits par la charge uniforme ineomplète d'une travée. — Cnleul des mamima né^^atifs et positifs Un poids quelconque appliqué sur une travée développe sur ses deux appuis des moments fléchissants négatifs, quelle que soit l'abscisse r de son point d'application. lien résulte que les maxima des nr^mcnts Xm— 1 et Xm correspondent à la charge uniforme complète. Il en est r.écessairement de même du moment fléchissant, positif ou négatif, développé en un point quelconque d'une travée non chargée, puisque la valeur de ce moment est proportionnelle à Xm— 1, ou à Xm, suivant que ce point est à gauche ou à droite de la travée chargée.
Ce n'est donc que pour les points situés dans la travée chargée que l'on peut, au moyen d'une charge incomplète convenablement distribuée, obtenir un moment fléchissant positif ou négatif plus grand en valeur absolue que celui dû à la charge complète.
Proposons-nous de déterminer l'expression analytique des moments fléchissants négatifs maxima, pour la seconde moitié de la travée : a; > - . Nous savons déjà que, dans une section située entre les deux foyers F ' et F", le moment fléchissant produit par un poids quelconque est toujours positif quel que soit r.Nous en conclurons que la courbe des moments négatifs maxima, que nous désignerons par X', est limitée aux abscisses x" et / (zone F"m). Dans les calculs qui suivent, nous admettrons en conséquence que le point considéré sur la poutre est compris dans cette zone : x" <ix <^ L
Soit pdr un poids élémentaire appliqué au point de la pou-
rfX=
ire dont Tabscisse est r. Le moment fléchissant ^TK, développé dans la section dont Tabscissc est x^ est fourni par deux expressions analytiques différentes suivant que Ton a : r < a; ou r > X.
(i-jj + dXmj-^pdril—x)'^, pourr<a:;
'rfXm-.i (<- 7) + rf'X» j -hpdr (/— r) j y pour r>x.
Nous savons déjà que, pour r > 2:, les moments produits dans la portion de travée F^'m sont toujours positifs. Il convient donc tout d'abord, dans la recherche du moment négatif maximum X' relatif à la section dont l'abscisse est Xj de supprimer la charge sur toute la portion de travée comprise entre les abscisses 2: et / : il n*y a par suite pas lieu de retenir la seconde expression de dKy et la valeur de X s'obtiendra en intégrant entre des limites convenables, 0 et v, le second membre de la première relation :
X'= j^rfX= j;(ea«. [i-fj+dK^fj +pdril-x)'; •
L'abscisse limite de la zone chargée t; est plus petite que Xj puisque, pourr = x, on a rfX > 0.
La valeur de v s'obtiendra en cherchant le point de la pou-
tre pour lequel — serait nul, c'est-à-dire en égalant à zéro la
différentielle placée sous le signe / :
■.. il
Substituons à
dXm—i , d\m 1 , -
leurs valeurs connues en ^onc-
dr dr
tion de /?, u, p et y :
dXm— 1
dr ~ dXm
pv {l—v) /+i;-(2/— v) p
L'équation précédente devient :
Posons pour simplifier :
— Z + a? H- 2[iZ — 2^2: + Y-^ — ^pyx = U ;
— 3p/ + 3pa: + 3pya; =V;
— p/ — yZ — po? + pyZ — 2^y^ = W.
L*équation devient :
U? + VZî? + W»* = 0.
D'où nous tirons :
Connaissant t;, il est facile de calculer X' :
X'= f^ rfXm-i (i- fj -hdXfnj+p{l-x) [ dr
=-Jo rTyVT-^T^irr
La courbe représentative des X' part du foyer F", où elle est tangente à Taxe des x^ et se raccorde tangentiellement, sur la verticale du point d'appui m, avec la parabole relative à la charge complële. A l'aide des deux formules qui précèdent, on peut déterminer point par point celte courbe, en calculant, pour chaque valeur de x, d'abord v, puis X' .
Le même procédé de calcul pourrait aussi s'employer pour tracer la courbe des X' dans la partie de la poutre comprise entre l'appui m — 1 et le premier foyer F\' 0 <^ x <C x\ll suffirait de substituer / — x àx, / — r à r et / — v à v dans les formules qui précèdent.
Quant aux moments positifs maxima X'', ils seront donnés par les relations suivantes :
x'<ix<ix'' , X*' = X (la courbe des X'' coïncide avec la parabole de la charge complète) ;
En définitive, il est toujours possible de tracer la courbe exacte des X' pour une travée de poutre continue donnée, mais les calculs nécessaires sont longs et pénibles, de sorte que la méthode exposée ne peut être regardée comme admissible dans la pratique.
Nous allons montrer qu'on peut substituer à la courbe des X' une ligne facile à tracer, qui s'en écarte toujours très peu, et ne peut donner lieu qu'à des erreurs très faibles^ et d'ailleurs par excès, les valeurs approchées qu'elle fournit pour X' étant nécessairement supérieures, mais de fort peu, aux valeurs exactes.
Xn-l
Fig. 88.
90. Liimites sapérienreii des mamima néffatifs et po- «itifs des momentii fléchissants. — Soit Xm— i SXm
(fig. 28) la parabole des moments fléchissants produits par la
charge complète de la travée m. Soient F' et F" les foyers de
cette travée. Portons sur Taxe des x une longueur m — IB
égale à 3a;'. On a remarqué précédemment (page 62) que l'on
a toujours : a:'<-, sauf le cas exceptionnel correspondant à p = l/2et Y = 0, pour Iequela:'=- •
Donc le poiat B tombera entre m — 1 et m.
Traçons la parabole Xm—i^B, qui se rapporte à la poutre d'ouverture m — IB ou 3a;' supposée parfaitement encastrée à son extrémité antérieure m — 1, simplement appuyée à l'extrémité B^ et soumise à une charge uniforme 3pV définie par la condition :
[p(Zx')*=\p'x'*=-\m-,.
Cette poutre a pour premier foyer F' ; le second foyer coïncide avec l'extrémité B.
La parabole Xm— i^B coupera la droite m — 1 au point g' plus rapproché du foyer F que le point G', relatif à la parabole Xm— iSXm.
On sait en effet (page 22) que m — 1 y' = - m — 1 B = - x',
tandis qu'on a vu (page 71) que l'on a toujours m — 1 G' = s^ < 3/4 X.
D'où:
Désignons par M' le moment fléchissant négatif maximum correspondant, pour la poutre auxiliaire m — 1 B, à une abscisse X comprise entre 0 et x'. Nous savons le calculer à l'aide de la formule établie à l'article 5 (page 32). La courbe des M' relative à la travée m — 1 B est tangente en Xw— i à la parabole Xm— tS Xm et en F ' à l'axe des x.
Il parait évident a priori^ à la seule vue de la figure 28, que la courbe des M' est située tout entière au-dessous de la courbe des X', et que pour une valeur quelconque de x^ com-
prise entre 0 et x\ on doit avoir n- < 1 .
Il serait facile d'ailleurs de le démontrer, en constatant que, pour une valeur donnée de -, , le rapport , calculé à
l'aide des formules de Tarticlc précédent, est d'autant plus
grand que p se rapproche plus de 1/2 et y de 0. Or, lorsque ce
X' rapport atteint sa limite supérieure (pour B = 1/2 et
Y =0), il devient précisément égal à , puisque les deux
paraboles Xm— iSXm et XmsB coïncident dans ce cas spécial.
X' On a donc toujours pour une valeur quelconque dex: r- <1,
et, en substituant la courbe des M' à la courbe des X', on obtiendra une limite supérieure des moments fléchissants négatifs maxima X", quels que soient ^ et y.
Dans le cas particulier où il se trouve que le rapport -r^
Xm
est plus petit que Tunité, on peut obtenir une limite supérieure de X' moindre que M! et par conséquent plus rapprochée de la réalité. Il suffira en ce cas de considérer, pour la travée auxiliaire m — l.B dont l'ouverture est 3x', la parabole (fig. 29)
Xairt
Fig. 29.
qui correspond à Thypothëse du double encastrement sur les deux appuis, la poutre étant soumise à une charge uniforme 3 />"' JC' définie par la condition :
±p'{3afy = lp''af* =
= • — Xm— !•
On reconnaîtra comme dans le cas précédent que les moments maxima négatifs N', relatifs à la poutre auxiliaire ainsi définie, que nous savons calculer (art. 5 page 30) sont toujours supérieurs aux moments X' correspondants à la travée m — 1 »i, pour toute valeur de x comprise entre 0 et x'. Nous jugeons inutile de donner cette démonstration identique à celle du cas précédent.
En résumé les limites supérieures des moments fléchissauts maxima négatifs développés dans la travée donnée m — 1 m, pour les charges uniformes incomplètes distribuées de la manière la plus défavorable pour chaque section considérée isolément, peuvent être établies à Taide des inégalités suivantes, où nous avons substitué à M' et K leurs expressions ^analytiques connues (page 41) :
1« De 0 à x\ On a toujours :-- — < •
Am— 1 X
Dans le cas particulier où -~— * ;é 1 , on peut obtenir une
limite plus rapprochée de la valeur exacte de X', à Taide de Pinégalité :
2° De x* à l. On a toujours : z- <.
Xm i l—O!
Dans le cas particulier où-^'^* ^1, on peut obtenir une
limite plus rapprochée de la valeur exacte de X\ à laide de l'inégalité :
/ i—x \ l ^l—xX
