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idés ne s'écarlanl e montrent les fîgi a, dans deux cas

lication de notre r Ile. Nous en concli

l'OUTHES A TRAVKES SOLIDAIRKS.

î saurait so justifier que par des considérations n devra préférer celle qui offrira le plus de faciiréparalion des épures, et réduira au miDimum le 'ingénieur. Or la nôtre présente l'inconvénient alcul d'expressions algébriques un peu compli-

.cr cette première objection, nous avons donné, à volume, dans la table I, les valeurs numériques

ées de ces deux fonctions pour des valeurs de roissant par vingtièmes de 0 à 1 . En choisissant

lent les abscisses des points de la courbe des X' ipose de déterminer, on pourra, à l'aide de cette r immédiatement la valeur exacte du coefficient deX„.

t ion de calcul ainsi résolue, nous verrons ci-après êthode présente sur la méthode usuelle, au point la pratique, un avantage très considérable: elle iduire à trois le nombre des équations à considéaque travée, lorsque l'on se propose de tracer abilité relative à la surcharge, alors que la mée en exige parfois sept. Elle réalise donc une simotable, entraînant une économie très sérieuse de travail, ainsi que nous le verrons ci-après (art. incipalcment à ce point de vue pratique que nous s une supériorité réelle cl capitale, qui, d'après ie sa substitution aux procédés indiqués par

CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION GOxNSTANTE. 83

PARABOLES REPRÉSENTATIVES DES MOMENTS FLÉCHISSANTS DUS A LA CHARGE PERMANENTE. — COURBES ENVELOPPES DES MOMENTS FLÉCHISSANTS DUS A LA SURCHARGE A RÉ- PARTITION VARIABLE. — TRACÉ DES ÉPURES DE STABILITÉ.

•t. M^meiits fléeliissaiit» dans les seetlons d'appui.

— Nous admettrons, suivant Tusage, que Ton peut assimiler, sans erreur appréciable, les effets du poids propre F de chaque travée à ceux de la charge uniforme complète équivalente />/= P, p représentant le poids moyen par unité d'ouverture de la travée. En général, le poids /> varie très peu d'une tra* vée à l'autre , et on peut le regarder comme sensiblement constant d'une extrémité à l'autre de la poutre. Cela simplifie les opérations, parce qu'on calcule, non les moments Xp, mais

les rapports — , ce qui revient à poser p = l dans les formules.

La surcharge d'épreuve est toujours supposée constante sur toute la longueur de la poutre ; on la représentera par p' et on calculera non les moments maxima eux mômes X/, mais

les rapports -7 , en faisant /?' = 1 dans les formules.

Connaissant - et -, le maximum du travail à la flexion dé-

veloppé dans une section quelconque de la poutre sera fourni par la relation :

dont le second membre ne contient que des quantités connues. Dans le cas où p présenterait des variations considérables

POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

d'une travée à l'autre, on ne pourrait admettre celte simplification, et il conviendrait de laisser figurer la lettre p dans les formules, en lui attribuant pour chaque travée la valeur convenable. Cela compliquerait un peu les recherches et allongerait les calculs, parce que Ton ne pourrait plus utiliser pour la détermination des effets de la surcharge les résultats déjà obtenus pour la charge permanente, mais sans créer de difficulté théorique, la lettre/? figurant comme facteur du premier degré dans toutes les formules qui donnent les moments fléchissants.

j ,--'*'•'* Tv f'"

Appui

Fig. 32.

Connaissant la charge uniforme complète de la travée m — 1 m (fig. 32) nous savons calculer (formules de la page 69) les moments fléchissants Xm— i et Xm produits par cette charge dans les sections d'appui m — 1 et m, et déterminer soit par le calcul (formules de la page 59), soit par des constructions graphiques (fig. 32), les moments développés sur tous les autres appuis de la poutre.

Supposons que nous ayions effectué celte opération pour

toutes les travées : nous connaîtrons^ pour une section d'appui quelconque K, les moments fléchissants partiels produits par les charges complètes de toutes les travées, considérées chacune isolément. Représentons ces moments, en grandeurs et en signes, par des longueurs portées (fig. 33) sur l'ordonnée qui passe au point K^ et distinguées par les numéros des travées chargées auxquelles elles correspondent. Pour plus de clarté, nous avons séparé sur la figure les moments dus aux charges des travées placées à droite ou au-delà du point K, des moments dus aux charges des travées placées à gauche ou en-deçà.

- K*ia

- K+ll

FiR. ^,

II est aisé maintenant de calculer le moment produit en K par les charges d'une série déterminée de travées agissant simultanément: il suffit de faire la somme (en tenant compte des signes) des moments partiels relatifs à toutes ces travées prises isolément, en laissant de côté les moments relatifs aux autres travées, que Ton suppose ne porter aucune charge.

Nous considérerons spécialement les moments correspondants à six dispositions particulières de la charge, dont nous aurons besoin dans la suite de cette étude. Ces moments, que nous désignerons par les lettres A, B, C, D, E, J et H, se rapportent aux cas indiqués par le tableau suivant, et représentés par la figure 34, où les travées chargées sont marquées par des traits gras.

Le moment A correspond à la charge complète do toutes les travées sans exception ; les moments J et H aux charges des travées K + i et K, qui encadrent le point d appui, considérées chacune h part ; enfin les moments B, C, D et E se rapportent à des dispositions diverses ayant le caractère commun suivant : à gauche et à droite du point K, les travées sont toujours chargées de deux en deux.

Namérot dei travées cbargéee. | Appui | Numéros des travées chargées

— 2fc—l...K— 3. » .K— i. »

» .K+2. )» .K+4...K+2A K+i. » .K+3. » ...K+2fe-hi

«bS Ou 9

Le calcul des moments A, B, C, D, E, J, H, dont les deux derniers, relatifs chacun à la charge d'une travée unique, sont déjà connus, ne présentera aucune difficulté. 11 convient d'ail-

leurs de remarquer que, si l'on coni Uendronl immédiatement à l'aide c

Il n'y aura donc en réalité à cal autres quantités J, H, C et E étant être obtenues par une simple sousli

Flg. 84.

Lorsqu'on admet que la charge travée à l'autre, il est nécessaire ( tenant compte des difTérentes val menls A, B, C, D, E, J et H, qui n les effets de la surcharge d'épreuve luer en supposant^' =^ 1. Dans le et peut être pris égal à l'unité, on ( à l'unilé de charge - , qui sert à la f<

et celle de la surcharge.

Nous admellrons, dans ce qui va né pour chacun des points d'appu:

numériques de A, B, C, D, E, J et 1

». — Parabnie de> marnent par I« eliarffe permanente. —

comprise entre les points d'appui m Soient A,„.i et Am les moment:

les deux appuis par la charge permanente. Nous admettrons, comme dans l'article précédent, que ces moments ont été préalablement calculés.

La parabole des moments a pour équation, si l'on désigne par p la charge par unité de longueur de la travée et par / son ouverture :

X = Am-i (* — [) + Am ^ + - j»:P {l—x).

Pour simplifier, nous désignerons par A le moment Am— i relatif à Tappui de gauche ou premier appui, et par A' le moment Am relatif à Tappui de droite ou second appui, et la formule deviendra:

Lorsque /> a même valeur pour toutes les travées, on calcule

Fig. 35.

Am— 1 et Am dans Thypothèse où p serait égal à 1, et Téquation qui précède devient :

Nous ne reviendrons pas sur la discussion de cette parabole, qui a été faite d'une manière complète à Farticle 1 , paragraphe c (page 10). Nous rappellerons seulement que, les moments fléchissants sur les appuis étant Am— i et Am, le moment fléchissant au sommet est fourni par la relation :

18 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES,

jl correspond au point de l'axe dont l'abscisse est :

„ ' *'-A x,+x, ^~î~^ pi ~ * "

.es abscisses ;r, et x^ des points 0, et Oj, où la parabole coupe 'axe des j;, et pour lesquels le moment X est nul, sont données tar les formules :

Nous avons déjà signalé dans l'article 1" les différentes poitions que peut occuper la parabole : elles sont indiquées sur afigureS (page 12).

En général, A et A' sont négatifs, et, los abscisses x, et j-, ,yant des valeurs réelles, positives el comprises entre 0 cl l, es points 0, et 0, existent entre m — 1 et m. (Parabole C de la igure 5).

Mais il peut arriver, A et A' étant tous deux négatifs, que la larabole soit toute entière au-dessous de l'axe des j : en ço as, les valeurs de x, el j-, sont imaginaires (parabole C).

Enfin, lorsque le moment Â est positif, la valeur de x^ est négative (courbe C). Nous répétons que ce cas se rencontre très exceptionnellement, pour ne pas dire jamais, dans la pratique : la parabole occupe presque toujours la position C".

La figure 36, qui montre la forme de la courbe décrite par la fibre moyenne déformée de la poutre, dans les différents cas où la parabole occupe les positions C, C', C" et C"', fait suffisamment comprendre dans quelles circonstances très rares on peut avoir affaire à des paraboles telles que C, C et C" : la lettre i désigne les points d'inflexion de la fibre moyenne déformée. On voit immédiatement que le cas C ne peut se présenter que si les travées m — 1 et m+1 ont une très-faible ouverture par rapport à la travée m; le cas C suppose que la travée précédente m — 1 est très courte, et la travée m — 2 très longue ; enfin le cas (7 ne peut se présenter que si Tune au moins des travées adjacentes est très grande comparativement à la travée m*

Nous verrons plus tard que dans les poutres symétriques, exclusivement employées par les constructeurs, ces circonstances exceptionnelles ne peuvent se rencontrer que pour les travées de rives (travées extrêmes de la poutre) et les travées adjacentes. Mais le cas C est le plus fréquent, et c'est à vrai dire le seul qui se rencontre dans les ponts existants.

Remarquons en terminant que la courbe des moments fléchissants étant un arc de la parabole à axe vertical qui, rapportée à son sommet, aurait pour équation y = — r a:', il est tou-

jours facile de la tracer avec un patron découpé ad hoc^ connaissant les ordonnées A et A' de ses points extrêmes. On peut donc se dispenser de la tracer point par point, et on devra se borner en général à calculer les abscisses Xi et x^, et au besoin l'abscisse s et l'ordonnée X^ du sommet, pour être sûr de ne pas commettre d'erreur de dessin, et de bien placer le patron dans la position qu^il doit occuper. Ce sont les seuls points de l'épure qu'il soit intéressant de marquer avec certitude, parce que l'ordonnée X5 est un maximum, et que la connaissance exacte des points Ot et 0, est indispensable pour le tracé de Tépure relative à la surcharge.

Enveloppes des mom large variable, abstPi •e de la travée consld

esposer est due k M> A tuer les courbes envelop < à un certain nombre d it autrefois, et a indiqué r pour obtenir ce résult& on fait abstraction de la i ments partiels dus aux i res travées, consid<^réeE tés par doux faisceaux c i"" de la travée m.

Flg igure 37, où l'on ainscri :ravée chargée qui lui co liatement que l'envelop] B ligne brisée dont les di des des foyers F el F".

on considère une sectic de X ' s'obtiendra "en ft s négatifs, et celle des i partiels positifs. Dans 1 m—lF, FF", T"m, auci l'axe des x : une seule e3 suffira donc pour représi ces intervalles. Maisl'e} éo lorsque l'on franchi les droites coupent l'axe Jes Iravtîcs chargées qui

itaLions de l'article 21, et adoptant 22, qui consiste k supprimer les iguent les moments sur les deux ,ccent tes moments relatifs au s^tli'ons finalement les équations suiirs des X' et des X" dans les zûnc&

:cc-)

Fig. 38.

m — 1 P, FF* et F'm. La figure 38 représente l'épure de stabilité de la travée, dans les conditions où nous nous sommes placés.

ZAnM «Dsid«r<«

1* Moments nAgatUs

-H'-ih^'f

Remarquons que les droites M'N* sont placées respcclivement dans le j l'autre, de sorte qu'il n'y a en réaliti tracer,

94. — Enveloppe* de* Nioments la fturcharce variable, en tenant charge complète de la travée coi

lion de la parabole (li^. 39] représentât

duilsparla surcharge complète de la faite de la surcharge des autres travées lions adoptées :

Elle coupe l'axe des x en deux points dont on sait calculer les abscisses z' et l'on a toujours :

ar'

Pour avoir les courbes enveloppes d( d'ajouter cette expression analytique i

l'arlicle précédent pour X', lorsque le moment dû à la surcharge propre de la travée m est négatif, c'est-à-dire entre les points m — i et G' (o < a; <; z'} d'une part, et G' et m de l'autre {3'<;j</). Dans la zone centrale G'G" {z <ix <iz"), comme le moment dâ à la surcharge propre de la travée est positif, il faudra l'ajouter aux X".

Entre G' et G", l'expression de X', devant être établie dans l'hypothèse où la Iraviîe m ne serait pas surchargée, sera celle déjà obtenue à l'article 23, oti l'on faisait abstraction de la surcharge en question ; il en sera de même pour X" dans les zones m — 1. G' et G'm.

Le tableau suivant indique les formules à employer dans les différentes divisions de la travée pour calculer soit X', soit X".

ZONES CONSIDÉBâBS