X-=c(i-î)-HB'-H')î
Droite a'b"
:7) GT y<x<i'
=(C+J)(l-î)+Bf-l4px(/-x)
Parab. iV
8) FF' x'<x<x-
Parab. c"d'
Parab. rf'e"
:iO)G-»i i-<x<;
Droite é'f
cil. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 95
On voit qu'il faut établir dix formules différentes lorsque Ton veut tracer les courbes enveloppes des X' et des X" pour une seule travée ; on doit également calculer les abscisses z' , x\ X et z\ qui correspondent à des points critiques où Ton passe d'une formule à la suivante. Le tracé complet de Tépure nécessiterait donc, en raison de la complication du problème, des calculs longs et laborieux. Mais on peut abréger le travail dans le cas où la section transversale de la poutre est supposée symétrique par rapport à Thorizontale qui passe en son centre de' gravité, et où le métal qui doit la constituer travaille également bien à la compression ou à l'extension : c'est là un caractère commun à toutes les poutres continues existantes, et il n'y a pas d*exemple qu'il y ait été fait exception dans la pratique. Dans ces conditions, il suffit pour calculer le travail maximum à l'extension ou à la compression développé dans les deux platebandes, de connaître pour chaque point de la fibre moyenne, non pas les deux moments maxima X' et X'', mais seulement le plus grand des deux en valeur absolue. Or, en vertu de la relation connue X = X'^ + X", le plus grand de ces moments maxima est celui qui a le signe de X, moment dû à la charge uniforme complète appliquée sur toutes les travées. La parabole des X (fig. 40) coupe la fibre moyenne en deux points Oi et Oj, dont les abscisses x^ et a?, ont déjà été calculées, lorsque l'on s'occupait de déterminer les effets de la charge permanente (art. 22) Il conviendra de porter sur la fibre moyenne m — 1 . m de la travée les longueurs m — 1 . Oi = a?i et m — 1. Oj = 2:,, et d'élever aux points Oi et 0, deux ordonnées verticales rencontrant respectivement les courbes des X' et des X" en ri et rC ^ o'* et 0" , Entre les points m — 1 et 0| (0 < J!^ < ^1), et Of et w (rc, < ^ <C /), le plus grand des deux moments X' etX" sera X', puisque l'on a entre ces limites X < 0. Entre les points Oi et 0, (<^i <; «2: < ^j),le plus grand des moments sera X'^, puisque l'on a X < 0. Pour a? = aji et X = Xj, on a X''=X", puisque X = 0. Etant admis que l'on ne s'occupe plus du signe des moments, mais seulement de leur valeur absolue, il suffira de tracer les portions de la courbe des X% d V ri et 0' d e' f ^ et la portion centrale de la courbe des X"", n^ c" 0", pour obtenir une courbe enveloppe
•Vt'
■sî
fournissant en un point quelconque de la fibre moyenne la limite supérieure des moments fléchissants positifs ou négatifs. D'autre part, il n'y a plus besoin de distinguer les X' des X", et on pourra, en faisant abstraction des signes, reporter du même côté de Taxe des x tous les arcs ou segments rectilignes de cette courbe enveloppe.
ml
Fig. 41.
C'est ainsi que Ton procède toujours, ot Ton obtient une épure analogue à celle de la figure 41, qui ne difiere de celle
ce. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 97
de la figure 40 qu'ea ce qu'on a laissé de côlé les parties des courbes enveloppes, relatives aux X' et aux X'', qui, ne fournissant pas les valeurs absolues masima des moments fléchissants dus à la surcharge variable, ne sont d'aucune utilité.
Dans la partie inférieure de la figure 41, on a placé la parabole de la charge permanente en renversant Tare central, limité enlrc les points Oi et 0|, qui correspond aux X positifs, de façon à ne pas empiéter sur la portion de Tépurc réservée à la représentation des effets dus à la surcharge variable.
Dans la partie supérieure de la figure, on a tracé une courbe enveloppe comportant les portions a b' n\ o' d e f de la courbe des X' dans la figure 40, et la portion centrale nco" de la courbe des X'' .
Pour construire cette courbe enveloppe^ il faut recourir aux sept équations représentant les arcs paraboliques ou les segments de droites respectivement limités par les ordonnées des points m— 1 et m, G' et G% F et F", 0, et 0,.
Ces sept équations devront être prises parmi les dix énoncées à la page 93. On ne peut pas d'ailleurs savoir a priori quelles seront celles que Ton devra utiliser, le choix à faire dépendant du rapport de x^ à z et x\ et de x^ à z" et x" : les points Oi et Oi pouvant se trouver situés aussi bien à droite qu'à gauche des points G' et G", F ou F", suivant les circonstances, on aura à considérer telle ou telle des équations précitées.
Dans le cas de la figure 41, nous avons supposé que Oi était situé entre G' et F [z < a;» < a?"; et 0, entre F et F (^ < x, < x"). Nous serions donc conduit à employer le système d'équations suivant (voir à la page 93 les formules désignées par les numéros d'ordre portés au présent tableau) :
De m— l à G' 0 < ^ < 2' Equation (1) X'
» Oj à F"' ^2 < ^ < ^* >^ (3) X'
» G" km z" <i X <il » (5) X'
I POUTKHS A TKAVÉl
En faifiant but Xi el x^ dos hyp ons amené à remplacer cerl 'autres ; d'une manière généra
), (8) el (8) qui Boienl loujom int réels et compris entre 0 et /.
Le tracé de cette épure, qui, 3US venons d'y apporter, est en it beaucoup plus aisé lorsque le ispectivement presqu'égales soi iB assez fréquent dans la pratiq .ins arcs de la courbe enveloppe ts le plus favorable, on ne peu nq formules, tes abscisses z et 3 a:' et x".
Il peut arriver exception nellem naires (fig. S, courbe C"): X £ - X' > X". On n'a à considért ), (3), (4) et (5) relatives, aux X
H serait possible encore que x >urbe G). On n'aurait à cons {nations relatives aux X", Une i ïtenuc pour j?, > / : de a;, à /, < sX".
Ënlinpour a!t < 0 et j:, > /(Bj
> 0 et par suite X" > — X'.
inditions que des cinq rclationi ves aux X' .
Pour une travée de rive, le n oyer est notablement réduit, illé.
Considérons par exemple la pr lelle nous avons dressi! l'épure U3 les moments relatifs au prc m a de plus x ^ x^ = z t= o :
dent avec l'appui o. La connais!
utile, et le tableau des équatioi I simplifie ainsi qu'il suit;
^ B = C — D = E = G = Il
CH. I. — ïriÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. 99
Z^nea considérées
Expressions analytiques des moments maxima
correspondantes sur la âgure 42
1<> Moments négatifs :
oG' 0<a;<V
Droite
-B'j + \px{l-x)
2o Moments positifs :
Parabole
oG' 0<x<2"
^'-G-l + lpa:{l-x)
Parabole
Droite
Flg. 42.
Il n'y a plus que quatre équations, et si Ton se propose de calculer pour chaque point le plus grand des deux moments X' et X" , le nombre des relations à employer se réduit à trois :
iOO
POUTRES A TllAVÉKS SOLIDAIHES.
(2), (3) et (1) OU (4) suivant que x, est plus petit ou plus grand que z^ . Dans le cas de la figure 42, nous avons admis que or, < 2" . Les équations à considérer sont donc celles qui portent les numéros (3), (1) et (2).
En résumé, le tracé des courbes enveloppes des moments fléchissants, effectué d'après la méthode usuelle basée sur la considération de la surcharge uniforme complète de la travéo considérée, exige la connaissance :
1** De sept moments partiels relatifs à chaque appui. A, B, C, D, E,Jet H;
2*» pour les travées intermédiaires, de six abscisses différentes : 2', z' , x\ X , Xi et x^, et de sept équations dont le nombre peut être réduit, dans les circonstances les plus favorables, à cinq;
3^ Pour les travées de rive, des abscisses z" et a:,, et de trois équations, dont le nombre peut être réduit à deux quand x' est imaginaire, ou plus grand que /, ou égal à :;".
Nous allons montrer que notre méthode, basée sur la considération des surcharges uniformes partielles les plus défavorables pour la travée considérée, permet de simplifier notablement les recherches, et d'abréger les calculs, tout en fournissant des résultats plus exacts et plus utiles, puisqu'elle seule donne en réalité les courbes enveloppes effectives, dans tous les cas imaginables de surcharges uniformes, partielles et complètes, les plus défavorables.
9&. linveloppes des inoments liéebissantfs das à la sarelifir^ey en tennnt compte de la «nrehar^e uniforme partielle la plus défavorable pour eha^ue point de la fibre moyenne eonsidéré à part. — L'équation de la parabole représentative des moments produits dans la travée m par sa propre surcharge complète, agissant isolément, est, ainsi que nous Tavons vu (page 92 fig. 39) :
Cette parabole coupe la fibre moyenne aux points G' et G", dont les abscisses sont respectivement désignées par les lettres ï eiz\
cil. I. — THÉORIK DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. lOl
Substituons à celte courbe les enveloppes des moments fléchissants maxima, positifs et négatifs, dus aux charges uniformes partielles les plus défavorables. Nous savons (art. 19) que la courbe enveloppe des moments négatifs est tangente à la parabole de la surcharge complète au droit des deux points d'appui m — 1 et m, et à la fibre moyenne aux deux foyers F' et F*. Entre ces deux points elle se confond avec Taxe des a*. La courbe enveloppe des moments positifs est tangente à la
Fig. 48.
fibre moyenne aux deux sections d'appui m^i et m (X"=0), et à la parabole des X sur les verticales des foyers F' et F" ; elle se confond avec cette parabole entre F et F' (X''=X). Les équations de ces courbes enveloppes sont les suivantes : (page 78).
m — \ F o<x<ix F F" x'<x<x' Vm .r <.r</
LIMITBS
SUPkRIi:URR9
DBi MOMENTS
MBGATIFS
LIMITRS SUPKRIKURBS DBS MOMRNTS POSITIFS
j(i-)Hn'f+ip'x(/-.)-j,(|,)
s expressions çl^let ?(r33;)dé -me dépend de la valeur du rapf
nnaissant J et H', l'on sait imi jnctions à employer, et on pe ulté les limites supérieures des i
sn attribuant à -, ou à ■ — -, les
I, qui fournil directement les fonction considérée.
I tracé des courbes (J) F et F° l e i3 ne présenterait donc aucui que si l'on jugeait utile de les co la posé, il ne nous reste plus, loppes définitives des moments ic m, en tenant comple des sure 'orables de cette Iravée, qu'à aj légatifs [courbes (J) F' et F" (H'
calculées à l'art. 23 en faisat 5e propre de celle travée ; el les 1
(courbes m — 1 /' et f m) aux expressions de X" énoncées dans ce même article.
En appliquant celte règle, nous arrivons aux formules sui^ vantes :
