MAXIMA
Se^ents
de droite
ou de courbe
oorrespondantfl
sur la flgure
1* Moments négatifs.
XMB J)(. î)+C^Jï(|)
Courbe aV
(2) FF' x<x<x''
-e(. Î)+Df
Droite c'if
x(i-î)+(B--H')l^H>(;;) 2o Moments positifs.
Courbe àf
X"=(C+ J) ^l-î j+B'y +^*(«-a^)-Jf (J)
Courb.a"ô*
1(5) FF" . ofKxKx"
=D(l-p)+Ef-^':r(/-^)
Parab. C'rf*
=B f^l-fj+{C'+wf--[^'x[l-x)-Wf(j-^^
Courb. d'f'
Pour tracer Tépure complète des X' et des X" (fig. 44), nous n'avons plus qu'à établir six équations, au lieu des dix qu'exige la méthode usuelle^ exposée dans l'article précédent. Rien ne nous empêche d'ailleurs d'adopter encore la simplification consistant à ne tracer que les courbes enveloppes relatives aux moments maxima en valeurs absolues, abstraction faite des signes. On a représenté^ au bas de la figure, la parabole des moments dus à la charge complète, appliquée sur la poutre continue tout entière, qui coupe la fibre moyenne aux points Oi et 0,, dont les abscisses sont respectivement a^i et x,. Les verticales passant par les points Oi et 0^ limitent les segments de lignes dri^c! d et df (relatifs aux X'), w" c" etc" h (relatifs aux X") qui devront être conservés sur l'épure définitive de la figure 45, dont la partie inférieure reproduit la
POUTRES A TKAVÉES SOLIDAIRES.
ri;?. U.
rFIÈOKIE DKS POl'TBKS \ SECTION CONSTANTE. 1(»
K, tandis qu'on a tracé à la partie supérieure la loppe des momenls maxima, abstraction faite des
lis démontrer que, pour tracer l'épure de la figure de connaître quatre formules, savoir l'équation Je correspondant à la surcharge complële et les rtant les numéros (1), (3) et (5) du tableau précéirirons à nouveau ces quatre formules connueSj en Rt un nouveau numérotage :
M— i P. 0<I<x' r F. x'<x<x" F-'m. x"<ar</
foruulRs a employer
X=A(l-î)+A'ÎH-f(/-.). {() X-=(B-J)(l-Î)+Cf+J,(î;)- (2) X..=D(f-î)+Ef+5p-x(/-x). (3)
Parabole de la surcharge complète.
Courb. des X' Parab.desX" Courb. des .V'i
Supposons en elTet que nous ayions tracé ces courbes entre les limites indiquées. Sur la figure 46, l'équation (1) correspond k la parabole MOiOiN, l'équation (2) à la courbe PQ, l'équation (3) à la parabole RS , et l'équation (4) à la courbe TU ; CCS trois dernières courbes ne se couperaient sur les ordonnées limites de leurs zones respectives RQF et TSF* que si X| était égal à if el x, k x", ce qui ne se vérifie pas en général.
Mais il arrive d'iiabitude, nous pouvons dire presque toujours, que X, ditTère frfes-peu do x' et a;, de x", de telle sorte qu'aprfes avoir tracé la parabole de la surcharge complète MO, OiN, et avoir mené les ordonnées verticales passant en Oi et 0„ on conitalc que les arcs curvilignes ou les segments rectilignes k tracer, pour relier les points de rencontre V et W de de ces nrdonnées avec les extrcmilés R et T des courbes
jtruites dans le haut i erlicales dea foyers), imilés à des droites
préoccuper dea équa!
e la figure 46, l'ordoi ordonnée de Oj renc( is tout simplement VI
complète. Dans le cas où la dislance Oi F paraîtrait trop grande pour que l'on pût assimiler sans erreur appréciable Tare VR à une droite, on pourrait aisément en déterminer un point en remarquant que la distance verticale de deux points quelconques des arcs YR et YQ (ce dernier a été déjà tracé par points avec exactitude) est précisément é^ale à Tordonnée
Flg. 46.
du point de Tare de parabole OiR' placé sur la même verticale; par exemple RQ = R'F. On pourra donc, en mesurant les ordonnées d'un certain nombre de points de Tare parabolique OiR', et portant les longueurs obtenues au-dessus de Tare YQ, obtenir autant de points que l'on voudra de la ligne VR.
Remarquons d*ailleurs que toutes les fois que l'ordonnée de l'un des points Oi ou Oj coupe la parabole centrale (c'est le cas de la figure 46 pour le point 0,), le segment de ligne h
POUTHES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
tracer est véritablement une droite (équation (5) du premier tableau), et Ton n'a donc qu'à réunir par un trait rectil igné les deux points extrêmes déjà connus (W et T de la fig. 46).
Ce n'est que dans le cas où la verticale passant par Oi ou O2 coupe Tune des courbes latérales des X' (cas de la figure pour le point Oi), que Ton pourrait Juger nécessaire de tracer par points, à l'aide du procédé graphique précité, Tare VR, si la distance OiF était grande, circonstance exceptionnellement rare dans la pratique.
ml
Fig. 47.
Considérons encore le cas où x^ et x^ seraient imaginaires, la parabole de la charge permanente étant toute entière audessous de la fibre moyenne (courbe C" de la fig. S page 12). On a en tous les points de la travée : — X' > X". Il faut alors tracer les courbes PQ et TU, dont on connaît les équations, et relier leurs extrémités par la droite QT (fig. 47).
Dans le cas ou .r, serait négatif et x^ plus grand que /, on
CH. I. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION COxNSTANTE. 109
aurait au contraire, quel que soit .t, — X' < X", et pour obtenir la courbe enveloppe, il faudrait se servir de Téqualion (3) de la pag^e 105 entre les limites x et x ; et, pour les zones o. a?' et X . /, recourir aux relations obtenues en retranchant respectivement les formules (2) et (4) de Téquation (1). Cette circonstance ne se présente .jamais dans les applications, et la règle indiquée n'a qu'un intérêt théorique (fig. 48).
Fig. 48.
Il nous reste encore k examiner le cas d'une travée de rive, par exemple la première travée ol de la poutre (fig. 49).
On a: A=B = C=D=E = J=H = 0. — Les moments sur le premier appui sont tous nuls. De plus : B' = D' et E'=rC'.
a?' = ^Ti = 0.
Les formules à employer seront au nombre de trois :
A' T +r/>'ar(Z— x). Parabole de la sur-
charge complète.
(3) 0 < a: <j;':X'==E'7H-Jp'a:(/—x). Parabole des X".
r mt
(B'^H') ^ +H'? (^J) . Courbe des X'.
POUTRES A TRAV
me dans le cas précéd' le du point 0, celle des <
Fie.
trée par elle, el onjoindi !conde courbe soit par u l la parabole (3), ou si )a r une courbe si la ligne , et que la distance Oj F' e jamais dans les applic ésumé, le (racé des coui iants suivant noire méth ea sept moments suivai '., D, E, J el II, comme d e l'équalion do la pan
complète, de trois cq s travées intermédiaires,
de rives ; tandis qu'avec îs en général, et cinq au ans un tableau de dix re
CH. 1. — THÉORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE, lil
3** Des quatre abscisses x\ ar", Xt et a>j pour les travées intermédiaires, et de deux seulement x" et x^ pour les travées de rive, tandis que la méthode habituelle nécessite en outre le calcul des abscisses z* et s*.
Fig. 50.
Noua croyons donc avoir suffisamment démontré que notre règle, qui donne des résultats plus exacts et plus satisfaisants, est de plus, au point dé vue pratique, d'une application infiniment plus commode et plus rapide que celle de M. Bresse.
M. Résamé «les rë^le» à suivre pour dresser l'épure de stabilité d'une poutre eontiuue à neetion constante.
— Nous croyons utile de terminer cette étude par un résumé sommaire des résultats obtenus précédemment, indiquant dans leur ordre la suite des opérations à faire pour tracer les para* boles des moments fléchissants dus à la charge permanente, et les courbes enveloppes des moments dus à la surcharge uniforme de répartition variable, pour toutes les travées d'une poutre continue quelconque à section constante.
Nous no considérerons que le cas où la charge permanente pai* unité do longueur peut être regardée comme constante d'une extrémité de la poutre à Tautre. Nous admettrons, sui-*
Ht
vant Thabitude, que Tépure doit être dressée dans Thypothèse où chacune de ces charges par unité de longueur serait prise pour unité :p =p^ = 1.11 conviendra donc de faire disparaître ces lettres de toutes les formules employées.
a. — Connaissant les ouvertures /i, /„ /j , /«-i, /«, de
toutes les travées successives de la poutre continue donnée, on commencera par calculer les deux séries des nombres ^ety, à Taide des formules constituant les groupes (3) et (4) de Tart. 14 (page 54). Nous reproduisons ici ces deux groupes :
Pi
Ps =
Po=0
2+ 7 (i-Pi) h
Pm-i
2+ ^' (2-iS-.)
lY» =
2+ S=-l (2-7.) tu— s
iyw-i=
^»i~wi+i
Il est inutile de calculer les séries des nombres tii et t^,,doQt il n*a été parlé dans l'article 14 et les suivants que dans un simple but de démonstration, et qui ne figurent pas dans les formules pratiques à employer.
Dans un tableau I, dont la première colonne contiendra les
numéros des travées successives (1,2 /i), on inscrira en
regard de chacun de ces numéros le p et le y correspondant à la travée qu'il désigne : on sait d'une manière générale qu'à la travée m (comprise entre les points d'appui m — 1 et m) correspondent pi»—! et yn-m-
CH. I. — THEORIE DES POUTRES A SECTION CONSTANTE. dl3
b. — On calculera ensuite les abscisses x et x" des deux foyers de chaque travée à ]*aidc des formules connues (Iravée m) :
\ 1 + yn-mj \ 1 + 7/
el on les inscrira dans le même tableau en regard du numéro de la travée.
c. — On calculera pour chaque travée les moments fléchissants produits sur les deux appuis par la charge uniforme complète de cette travée considérée isolément. D'après les notations adoptées dans Tarticle 21^ ce calcul fournira le moment J relatif au premier appui m — 1 de la travée n?, et le moment H relatif au second appui m (art. 18^ page 69).
f ^ n Pm-i (\ — yn-7n) l .^ |5(i- v)
Jm— 1 — — 7*1» ~: â — — 7 ^ i cT'
fj t 7n-m(l — i^/»-i) i ,, 7(i -,6)
4 1— JSm-< yn-m 4 t— pV
On fera la même opération pour toutes les travées, ce qui donnera le J et le H de chacun des points d'appui. On les inscrira dans un nouveau tableau II : la colonne d'entrée verticale contiendra les numéros de tous les appuis de 1 à 71 — 1, à rexclusion des appuis 0 et 71 pour lesquels les moments sont toujours nuls ; les autres colonnes verticales porteront les nu-> méros des travées de 1 à n, que Von considère successivement. On placera chaque nombre J et H à l'intersection des lignes horizontale et verticale correspondant à la travée et au point d^appui considérés.
d. — Connaissant Jm-i et Hm, on calculera les moments produits par la charge complète de la travée m sur tous les autres appuis de la poutre, 1 à m — 2, et m+l à w — 1.
On emploiera à cet effet les formules de Tari. 13 (page 59).
Appui K
..K+2Ah-1:B ..K1+2A+1:D
Le calcul des totaux B et D est facilité par la remarque suivante : de part et d'autre de Tappui K, on considère toujours soit les travées de numéro pair, soit les travées de numéro impair à l'exclusion des autres. On inscrira ces résultats dans un nouveau tableau III dont la première colonne verticale contiendra les numéros des appuis successifs de 1 à n — 1. En regard du numéro K on inscrira les nombres correspondant à cet appui : A, B, C, D, E, J et H.
Les nombres C et E se déduisent des nombres calculés A, B et D par les formules simples :
C = A — B, et E = A — D ;
les nombres J et H sont fournis immédiatement par le tableau II.
/. — On établira pour chaque travée les équations fonda* mentales de la pagelOS, en fonction des moments fléchissants sur ses points d'appui, fournis par le tableau III.
Travée m
X = A„, (l- î^ + Am * + ^ {l-a>).
= (Bm-i - Jm-,) (l- f) + Cm / + Jm-, ? K\
g, — On tracera les courbes représentatives de ces quatre relations, entre les limites :
0 et / (de m — 1 à m), pour l'équation (1), surcharge complète ;
mpL
:*vs
^y^ij
