CALCUL DES MOMENTS SUR LES APPUIS
4». Généralités. — Nous désignerons sous le nom de poutres symétriques celles dont les travées de rive, numérotées 1 et n, ont même ouverture /, et dont toutes les travées intermédiaires ont aussi une ouverture commune L = /$. Ce sont les seuls ouvrages que Ton ait à considérer dans la pratique, et il importe de tenir compte dans leur calcul des simplifications que Ton peut apporter à la théorie générale des poutres à section constante, en raison des particularités que présente ce genre de construction.
Nous remarquerons tout d abord qu'un ouvrage de cette catégorie est symétrique par rapport à la verticale qui passe au
milieu de sa longueur, c'est-à-dire au point d'appui -, si n
est un nombre pair, et au centre de la travée — — ^ , si n est impair. Il suffit donc de tracer l'épure de stabilité entre le premier point d'appui o et 1q milieu de la poutre, c'est-à-dire
l'appui central - ou le centre de la travée de numéro — - — • Nous admettrons en conséquence, dans ce qui va suivre, que
les recherches relatives au tracé de Tépure sont limitées à la première moitié de Touvrage : il n*y aura qu'à retourner bout pour bout la demi-épure ainsi établie pour avoir son complément.
D'autre part, la série des nombres u est identique à celle des nombres r, par raison do symétrie : Um = »^. H en est de même des séries p et y : ^w == ym. On n'a plus à considérer que deux séries numériques au lieu de quatre.
Nous avons désigne plus haut par S le rapport de Foaverture L d'une travée intermédiaire à Touvcrture / d'une travée
de rive :-y = S.
Le groupe d'équations, qui fournit la série des nombres u, prend, par la suppression du facteur commun /, la forme suivante :
Ml = 1 2i/i(H-8) + t/,5 = 0, Ui ■+■ 4ws + 1/3 = 0,
Um + 4wm+i + t^fi+i = 0,
W»-5 + 4Wn-, + Wn-1 == 0,
Wn-, s + 2t/n-i (1 + S) +Wn=0.
On a d'autre part, pour calculer p, les relations connues :
p,= Oetpm = — — •
M. Bresse a remarqué, en étudiant les poutres symétriques, qu'il n'était pas nécessaire, pour obtenir les moments sur les appuis A, B, C, D et E, de calculer successivement chacun des moments partiels produits sur un appui quelconque par la charge complète d'une travée considérée à part, puis de tota^ liser les valeurs obtenues, en observant les règles indiquées à l'article 21. On peut déterminer immédiatement, par un calcul direct, chacun de ces moments, ce qui abrège singulièrement les opérations.
Nous ne reproduirons pas les recherches analytiques qui
ont permis à M. Bresse d'établir ses formules ; cet exposé allongerait beaucoup trop notre élude, et nous croyons préférable de nous borner à énoncer simplement les résultats publiés par cet ingénieur, en y apportant les modifications nécessaires pour Tapplication de notre méthode de tracé de Tépure de stabilité. Nous renverrons à Touvrage de M. Bresse, sur les poutres à travées solidaires^ le lecteur désireux de vérifier les formules et de se rendre compte de la marche suivie pour les trouver. Le présent chapitre n'est donc pas consacré à la théorie des poutres symétriques, mais simplement à leur calcul, toutes les considérations étrangères à la question des procédés à employer étant systématiquement écartées, pour s'en tenir au côté essentiellement pratique de la question.
Enfin, nous remarquerons en dernier lieu que les momenls Jm^i et Hm, produits sur les appuis d'une travée intermédiaire m par la charge complète de cette travée considérée à part, ne différent jamais beaucoup l'un de l'autre dans le cas des poutres symétriques. Il en résulte que Ton peut toujours admettre
leur égalité lorsqu'il s'agit de choisir les fonctions de -, et
— — qui figurent en facteurs de J«-i et H„, dans les formules
(2) et (4) de l'article 25 (page 105).
L'erreur que l'on commet, en acceptant cette simplification, est toujours négligeable devant celle, inhérente à la méthode de calcul elle-même, qui consiste à assimiler les poutres à section variable de la pratique à des poutres à section constante. 11 n*y a pas d'intérêt à compliquer les recherches dans le but de rectifier une décimale qui est, par d'autres motifs, forcément incertaine.
En conséquence, pour la première travée, la notation ç ( — ; j représentera toujours l'expression analytique :
POUTHES A TH *our une Iravéo inlernitii
as analytiques :
4oa8 supposerons comme irge permanente parmëtn Iravées, et que la valeur istante sur toute la longue Vous choisirons pour uniti i concerne la charge perm I concerne la surcharge, la j de chercher les valeurs
erons les rapports — pou
pour la surcharge.
Sn conséquence, les lettn ont, non pas les moments rs rapports à l'unité chois a de la charge ou de la sui 3'autrc part, nous prendre ique travée, la longueur f :\x",x,,Xf, elc, représent 1 pas les valeurs absolues 1 longueur / pour la travéi ir les Iravtîes intermédiair [lité de longueur horizonta ; de rive et pour le autres Dans l'exposé que nous ail calcul des poutres syméti isi qu'il a été dit plushaut,< renvoyant pour les démon ' les poutres k travées soli<
sent sans difficulté de celles, données par cet auteur, et il sera toujours facile, en tenant compte des changements de notations et d'unités, de passer des unes aux autres.
48. Séries numériques. — Considérons les deux séries de nombres M et N, indépendants de S, et convenant par conséquent à toutes les poutres symétriques, que nous aurons à utiliser plus loin dans les calculs.
Indices II des nombres ||
Série des nombres M
Série des nombres N
Indices des nombres
Série des nombres M
Série des nombres N
iO
etc.
etc.
etc.
Connaissant les quatre premiers nombres de chaque série, les autres s^en déduisent sans difficulté, à Taide des relations:
qui ont servi à calculer séparément, pour chacune des séries, les nombres à indices pairs et les nombres à indices impairs, et permettraient de prolonger indéfiniment les deux colonnes de
162 POUTKES A ÏBAVÉKS SOI
ctiilTros, arrêtées par nous à la lioiitc ; besoins de la pratique.
Lis séries h cl p peuvent s'obtenir, s des groupes d'équations rappelés au d^ avec les relations suivantes, où figurer ainsi que le rapport ^ dct la longueur L diaire à la longueur / de la travée de ri
Um = Mîm—, +- Ne„,,
pli— t ^^
il convient de remarquer que toutes ( une forme générale constante, à l'excc| chaque groupe {ji étant le nombre des qui sort de la règle commune. Il en rés nombres it et ^ sont l'une et l'autre, j nombre inclusivement, fonctions de S, iiombic H des travées. Le dernier nomb
Il conviendra tout d'abord de calculei pour la poutre continue que l'on se pro
Pi nous nous reporlons aux conve nous remarquons, en tenant compte poutre :
i" Que le M et le v d'un point d'app respectivement, dans la série des h, les
Um et ttn-m ',
Lrr^
2** Que le p et le y d'une travée do rang m sont respectivement dans la série des p, les nombres désignés par ^m—i et
49. CoenicicntA uumériqueii. — Connaissant les séries M, N, u, on calculera les coufKcients numériques suivants, dont on a besoin dans la recherche des moments sur les appuis :
v^-'-fl
'-éii
3 — îeî»
2Mn-j + 3<yN«, ' 2M»-, + 3<rNtt-8 '
2M»-, 4- 3(rN,^,
6 — 2(y« 2Mn-8 + Sc^Na-,
2Mrt-i + 3 JN»-,
(ÎM«, + 2N»-î
(ÎMw-a + 2N»-,
= 2rf — ^; • Mn-, ;
On n'évaluera les coefficients g et j que si ;< est un nombre pair.
On n'évaluera les coefficients h et k que si n est un nombre impair.
On n'aura donc en définitive qu'à établir sept coefficients numériques.
ftO. Abseisfien des foyers. — On calculera les abscisses X et x" des foyers à 1 aide des relations connues :
164 rOUTRES A TRAVÉES SOLIDAIRES.
Première travée :
a:'i = 0 , x\ = — —T — ; anilé de longueur /•
i + pu— 1
Travée intermédiaîre m :
x'm = , .7* 1 •^''»» = 7-7-^ — ; unité de longueurL=fô,
1 + Pm— 1 \ + pn—m
ftf • Calenl des moments sur les appuis. — H convient à présent de calculer les valeurs numériques, ou plutôt les rapports à la quantité joL* on pl^ S* prise pour unité, des moments fléchissants sur les appuis dont on a besoin pour le tracé de Tépure de stabilité (page 85). Dans les formules que nous allons énoncer. A, B, C, D, E, J et H représentent les momenls fléchissants correspondant aux dispositions de charge indiquées à Tarticle 21 ; rf, e, /*, ^, A, î, y, ft et y les coefficients numériques dont il a été question à Tarticle 49 ; les lettres M, N, Il et p sont des termes des séries numériques établies à l'avance (art. 48).
On a d'abord pour un appui quelconque de numéro m, quel que soit le nombre des travées n :
Am = — ^ — 2rf M«-^9iii
J 1 i3m(l— Pm— m— l) 1 Pm^PmPn—vi'i ^
"* ~ 4 l~i3«]3n-«-i ~ ~ 4 1— |3mi3, '
T» 1 Pn— m(l — pm—\) 1 P»— m — jSn— mjSm— 1
4 1— Pn— m^m— 1 4 1— jSn-mjSm— 1
Dans ces deux dernières formules, ^^ et p„».„i.i sont le p et le y relatifs à la travée m+1 qui suit immédiatement Tappui m ; fJm— l ^^ Pn— m sont le p et le y relatifs à la travée m qui précède Tappui m.
Les deux premières relations sont absolument générales et s'appliquent à tous les appuis. La troisième doit être modifiée lorsque Ton considère l'appui 1, second appui de la poutre, pour tenir compte de la différence d'ouverture (/au lieu de L) de la travée de rive, supposée chargée, et des travées inlerniédiairos.
CH. 11. - CALCUL DES POITHES SY.MftrRIOl l':s. d<î5
On a pour ce cas spécial {^ni—i = ^o = 0) :
Dans le calcul des autres momenls^ relatifs à des surcharges partielles, il y a Heu de distinguer le cas où le nombre n des travées est pair de celui où il est impair, les formules n'étant pas les mêmes dans Tune et dans 1 autre hypothèse. U faut aussi tenir compte^ dans certaines circonstances, de la valeur de rindice tn du point d'appui considéré.
Les relations h employer sont fournies par les tableaux suivants : il est bien entendu que nous ne nous occupons ici que de la première moitié de la poutre, et que Ton a toujours 2/n ^ «. Pour 2m > w on se procurerait, le cas échéant, les valeurs des moments développés sur Tappui considéré en se basant sur la symétrie de l'ouvrage.
/* Pouh'CB symétriques ayant un nombre pair de travées,
n est pair.
Formules
Bm = — rr — ^Mu-2m + qnm Un— m
— /Mn-2m + y^m Un— m
rfMw-2»ï — û\tt— 2
= — r: — ciMn-Sw + iNtt-2m
Numéros des appuis auxquels les formules sont applicables
Appui 1 seul.
Appuis de numéros impairs, & l'exclusion de l'appui 1 :
appi : 3.5.7.9 2A; + 1
Appuis de numéros pairs :
Appuis do numéros impairs:
Appuis de numéros pairs :
m= 2. 4. 6. 8 2Ar
POU' ttr^s sijmétr
^^JSTF'^^
