EFFORTS TRANCHANTS

ST. iBqiia<l»iM des «onrbei elVai-ts (ramebants. — Nous avi page 119), pour le cas général d'un que, les expressions des efforts ti charge complète, ainsi que les éqi efforts maxima positifs et négatifs d Ces formules sont les suivantes :

Charge permanente (!) V =

Surcharge variable { „, „,

Prenons pour unité des efforts t permanente la quantité pL^^plH, tranchants dus à la surcharge la qi cerne les unités de longueur des ah rive et L pour les travées intcrmédi ou p'L*), nous maintiendrons les c de précédent.

Nous obtiendrons ainsi les form aux poutres symétriques.

■ Première tra'

Travée intermédiaire :

Ces formules se simplifient singulièrement si Ton a recours aux notations déjà employées pour le calcul des moments fléchissants (page 168). *I1 est aisé en effet de reconnaître qu'elles prennent les formes suivantes :

Travée de rive :

(2) V = (*. - c J S - ^ + (c, S + 2^) {i-xy,

Travée intermédiaire :

(2) V = A. + (c, - c. + ^) ( i-xf ,

Connaissant les équations des moments fléchissants, il est donc aisé d'établir immédiatement celles des efforts tranchants.

Dans le cas où S aurait Tune des valeurs inscrites dans la table numérique m, les coefficients des équations qui précè* dent se tireraient sans difficulté de cette table.

Nous ne reviendrons pas sur le détail du tracé de Tépure des efforts tranchants. Nous n'avons rien à changer aux indications de l'article 28 (page 120), auquel il n'y a qu'à se reporter.

Ce que nous avons dit de la travée normale, à propos des

Charge permanente :

Surcharge variable :

Relèvement maximum p ^^^* /w , xw (Hèche négative). / ~ 384 El ^ "^ ^ '

Abaissement maximum f = -^ {^pP + 24 (D + E') ) ,

^"ffidnaÙr" f" = i4l (5P'^+24(D-D'-E + E') ) .

En recourant aux notations admises dans la recherche des moments, de façon h utiliser les résultats des calculs faits pour répure de stabilité, nous obtiendrons les formules pratiques suivantes qui ne contiennent que des coefficients déjà connus :

Première travée (Ouverture Z).

Charge permanente / = ^^ (24*4 S'— 7) ,

Surcharge variable { /« = -gj (2 W, 8* - 7) ,

Travée intermédiaire (Ouverture L = Z8). Charge permanente /= ~- (48 aj + 24 ô, — 7),

Surcharge variable / r= ^^, (48a, + 24 6, — 7),

^ = 384Ei (96«a-l-48*,-48a.-24*,-7).

POUTRKS A THAVKES SOLIDAIRES.

. litre d'exemple numérique, noua traiterons le cas d'une Ire composée d'un nombre infini de travées toutes égales = !, L = /). Nous calculerons pour les travées successives valeurs numériques des rapports des flèches /',/',/' et F à

Vamént

l'amplitude de l'oscillation due à la variation d e la surcharge

à un centième près, égale pour toutes les travées & — 7^ •

ils que soient l, m et n, elle ne s'écarte jamais sensibleit de cette valeur.

. litre de comparaison, nous rappellerons que la flèche d'asement au milieu d'une poutre à une seule travée est re-

que ses 2 extrémités sonl simplement appuyées, parS

Pîî.

» » parfailement encastrées, par „,,.

[u'une exlrémilé est simplement appuyée et l'autre parfai-

entcncaslrée,par2 „t7^-

ar conséquent, dans la travée normale, tout se passe, au it de vue de la déformation, comme si les appuis étaient aitement encastrés pour la charge permanente et à demiisfrés pour la surcharge.

CH. II.— OALCCL DES POUTRES SVMÉTttIQUES. m

Celle remarque est encore vraie si Ton considère la répartition des momenls fléchissants (page 182). La parabole des moments X, dus à la charge permanente, est identique à celle que Ton obtiendrait dans Thypothèse où les deux extrémités seraient parfaitement encastrées ; la parabole des moments posilifs maximaX"^ s'obtiendrait également en admetlant que les deux extrémités soient demi-encaslrées, la charge p' étant

divisée en deux parties égales, Tune -^ correspondant à deux

extrémités simplement appuyées, et l'autre — con^espondant à

deux extrémités parfaitement encastrées (page 22).

Nous renverrons d'ailleurs, en ce qui concerne la question de la déformation des poutres symétriques et ses applications au point de vue des épreuves des ponts, aux observations déjà présentées sur ce sujet à propos des poutres continues quelconques (page 127). Nous avons déjà fait remarquer que^ pour les poutres à treillis rigide, la valeur de Ë à introduire dans les

formules précédentes doit être réduite aux - environ du coefficient d'élasticité réel du métal employé.

EFFETS DE LA DÉNIVELLATIOiN DES APPUIS

SU. Moments fléeliisMints produits par le déplacement vertical d'un appui. — Nous appliquerons immédia- , tement à la première moitié de la poutre les formules générales établies pour le cas des poutres quelconques.

Supposons que le premier appui o ait subi un déplacement vertical y (affecté du signe — s'il s'agit d'un tassement de l'appui).

Les moments développés sur les appuis seront :

••. TraTail maximaiii à la flexion du à la déniveliaUan des appuis. — Les formules qui précèdent donnent les valeurs absolues des moments produits par le déplacement d'un appui. Il est généralement plus commode de calculer immédiatement le travail maximum à la flexion développé en chaque point de la poutre, ce qui permet de faire disparaître des formules le moment d'inertie I, en y faisant entrer la hauteur A de la poutre.

Le travail maximum développé dans une section d'appui quelconque est fourni par les relations qui suivent. Lorsque T est positif, cela signifie que la platebande supérieure travaille à la compression et la platebande inférieure à l'extension ; c'est l'inverse lorsque T est négatif.

Cas où le déplacement vertical y est subi par le premier appui 0 :

T— ft ^^^ 1, — p»— j-jj-,

13= — pn— 3I2? etc.

Cas où le déplacement vertical y est subi par le second appui 1 :

To=0,

T.=+p.-.(?ïi»-T,).

T,= — Pn— 3T, , etc.

Cas où le déplacement vertical y est subi par un appui intermédiaire m :

X ^ 3E/iy 2 4- Pn^-i + ;Bn-^~i 1?/»— 3= — pi»-a Itrt—j , j l»t+3="*** Ph— wi— g lm-|-f >

etc» I etc*

lebri xed< e de:

ombi afln vanti Icsft culte Icau e ai

QUSÛ

rtT, ortei

eu. If. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. 193

Lorsque la travée m est assez éloignée des extrémilés de la poutre pour èlre assimilable à la travée normale^ la valeur du travail développé sur l'appui m se rapproche sensiblement, quel que soit S, de la limite supérieure :

Pour les appuis précédent m — 1 et suivant wi+1, on a la valeur commune :

Pour les appuism— 2 et w+2, on obtiendra une valeur suffisamment exacte de T en multipliant Tm-i par — 0,2679492, etc., etc.

Lorsque plusieurs appuis subissent simultanément des déplacements verticaux, il convient de calculer séparément les efforts dus au déplacement de chacun d'eux, et d'en faire la somme algébrique, suivant la règle indiquée à la page 138.

•I. Appllealioas des forninles précédeute0. — Pou-

très établies sur piles en maçonnerie. — Lorsque Ton construit les poutres continues dans leur emplacement définitif, en les montant sur des échafaudages en charpente ou des ponts de service, Touvrage métallique épouse naturellement le profil en long des appuis, qui n'est pas nécessairement rectiligne, et Ton n*a pas à redouter de dénivellation, sauf le cas où les piles en maçonnerie viendraient à tasser après le décin^ irement.

Quand on met les poutres en place par voie de lancement, ce qui oblige à établir le profil en long des appuis suivant une ligne droite sur toute la longueur que la poutre doit parcourir, on peut craindre une discordance entre le profil des plaques d'appui fixées sur les piles, lequel est réglé à Taide du niveau, et le profil de la semelle inférieure de la poutre. Mais il est généralement possible de se rendre compte approximativement de l'erreur maximum qui aura pu être commise pendant la construction, et d'en déduire la valeur limite du Irais

vail anormal à la flexion, qu*il y aurait lieu de prévoir ; en général, il n'y a pas à se préoccuper de cette circonstance, qui ne saurait guère avoir de conséquences sérieuses.

Lorsque les fondations du pont sont médiocres, il peut arriver qu'une pile tasse après la construction ; cet accident ne serait grave que si le mouvement se produisait brusquement et avec une amplitude suffisante pour amener la rupture du pont ou la désorganisation du métal dans le voisinage de la pile déplacée. Si le mouvement est lent et que la surveillance exercée sur Touvrage permette de le constater en temps opportun, on pourra toujours y remédier en relevant la poutre au-dessus de l'appui qui s'affaisse, à l'aide de presses hydrauliques, de verrins ou de coins, et réglant à Taide du niveau la position nouvelle des plaques d'appui. Cette nécessité de surveiller d'une manière continue les ponts à travées solidaires, lorsque leurs fondations n'inspirent pas de confiance, en vue de corriger sans retard les tassements qui pourraient se maninifester, est un défaut propre à ce type de construction, dont on s'est peut-être quelquefois exagéré Timporlance. C'est sans doute parce motif que les Américains l'ont systématiquement exclu de leurs travaux, malgré l'argument pratique que fournit le succès constant obtenu par les constructeurs européens, lesquels ont fait dans leurs grands ponts un usage presque exclusif des poutres continues.

Il peut être utile, lorsque Ton est chargé de surveiller un pont^à travées solidaires, dont les piles ne sont pas fondées sur le rocher, de se rendre compte a priori de l'importance des mouvements qui seront une cause d'inquiétude, en calculant la grandeur du tassement qui pourrait donner lieu à un travail supplémentaire du métal jugé excessif et fixé par exemple au maximum de 2 kilogrammes par millimètre carré

On se servira à cet effet des formules de l'article précédent, que l'on résoudra par rapport à y, la valeur de T étant donnée.

Il convient de remarquer que les effets de la dénivellation d'un appui ne sont à craindre que dans les sections où le travail à la flexion dû h cette cause vient s'ajouter à celui dû à la

CH. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. iÔ5

charge et à la surcharge. Il est bien évident en effet que dans les sections où le mouvement fléchissant dû au déplacement de Fappui est de signe contraire à celui dû aux charges, il y a réduction et non augmentation de travail, puisque les efforts de sens opposés se compensent partiellement.

Il ne faut donc considérer, dans Tétude des effets dus à- la dénivellation, que les points de la poutre où T a le même signe que X (moment dû à la charge permanente), et en particulier la section, que nous appellerons la section dangereuse, où cette valeur de T est la plus grande.

S'il s'agit réellement d'une poutre à section constante yla. section dangereuse est :

l^ Dans le cas, d'ailleurs peu fréquent, du soulèvement d^un appui, la section située au droit de cet appui lui-même ;

2® Dans le cas habituel du tassement d'un appui, les sections coiTcspondant aux appuis précédent et suivant.

Nous verrons plus tard que les poutres continues, bien que calculées comme si elles étaient à section constante, s'exécutent en réalité dans la pratique avec des sections dont les moments d'inertie varient proportionnellement aux moments de flexion maxima auxquels elles auront à résister.

Dans un ouvrage de cette espèce, on doit considérer, dans le cas du tassement d'un appui seulement, deux nouvelles sections dangereuses, qui correspondent au second foyer de la travée qui précède l'appui déplacé, et au premier foyer de la travée suivante. L'épure représentative de T permettra toujours d'évaluer exactement le travail développé au droit des foyers qui encadrent l'appui déplacé.

Nous allons donner quelques exemples pour le cas du tassement d'un appui : il sera inutile dans nos formules de faire ressortir le signe de T qui est négatif sur les appuis et positif aux foyers.

POUTHES A THAVÉliS SOLIDAIRES.

Poutre à deux travées égales.

i" Tassement d'une culée.

Travail développé sur la pile :

2* Tassement de la pile.

Travail développé au droit du foyer le plus voisin de la

Supposons pour User les idées que l'on ait :

L = 20'° et A = ^^L^2°'.

Prenons d'autre part ; E= 1,60X10'°.

Pour que le travail développé sur la pile par le tassement

uno culéc atteigne la valeur de 2 kilogrammes par millimè-

e carré (T=::2. 000:000), il faudra que ce tassement soit égal

Pour que le Iravail développé sur lo second foyer de la

cmiric Iravée (aux 3/i de l'ouverture) ou lo premier foyer

'. la seconde atteigne la même limite, il suffira que la pile

sse de 0,022.

Poutre à plusieurs travées.

Le travail supplémentaire maximum dû au tassement d'un ipui est d'autant plus considérable que l'appui en queslion t plus éloigna dos extrémités, et que les travées adjacentes rapprochent davantage de la travée normale. On se placera donc nécessairement dans des conditions plus ;favorables que la réalité, et on obtiendra une limite supé- 3uro du travail développé dans la section dangereuse, en tribuant h. la poutre un nombre inlini de travées, et admctnl que le déplacement soit subi par l'appui central.

Supposons donc que Ton ait n = oo el m= - ; soit y le tas-

dm)

sèment subi par l'appui m, T«i le travail développé sur Tappui précédent, et T » le travail développé au droit du second foyer de la m® travée.

On a

et

Twi— 1 =

Eh

La section la plus fatiguée est donc celle qui correspond à Tappui m — 1.

Le tableau numérique suivant indique, pour un certain

nombre de valeurs de L et du rapport - de la hauteur de la

Là

poutre à l'ouverture d'une travée, les déplacements verticaux y de la pile centrale m qui donneront lieu à un travail supplémentaire de 2 kilos par millimètre carré (T = 2.000.000) dans les sections placées sur les piles précédente et suivante.

Nous adopterons encore ici pour E la valeur 1,60X10**.

Le danger augmente proportionnellement à la valeur du rapport - (ce qui justifie l'habitude des constructeurs euro-

péens de ne pas dépasser la limite ■- ) et en raison inverse de l'ouverture L, Pour des travées de 100™, lorsque la hauteur

/Il

m POUTHES A

de la poulre ne dépasse deviendrait inquiétant q mouvement de cette imp et serait facile k corriger relevant la plaque d'appi l'aide du niveau.

Remarquons que nous thèse la plus défavorable pratique, où une seule pil biles. Lorsqu'un des appi qu'il supporte diminue, piles voisines augmenten si les fondations sont de le mouvement s'étend d nuant, jusqu'aux culéc:

moyenne de l'ouvrage, et finit par affecter à peu | circulaire.

En appliquant le calci que l'abaissement de la p considérables avant que dans le mdtal soit imporl

Considérons une pout culées extrêmes serait dt vous pas ici k nous préoi posons que toutes les pil moyenne déformée soit u taie au milieu de la lougi devra être le tassement vail moléculaire T (unifo son du mode de déforma simultanée de tous les a carré.

La formule à employer courbure de la fibre défo

En intégrant deux fois cette relation, nous obtiendrons pour équation de la fibre déformée, rapportée à son sommet, placé au milieu de la longueur de la poutre :

ïf!

^~ Eh'

Posons T = 2.000.000, E=d,60XlO'', A=5™ et ar=100'" (demi'longueur de la poutre); nous trouvons :

La pile centrale pourra ainsi tasser de 0™,25 avant que l'augmentation du travail moléculaire atteigne 2 kilos par millimètre carré.

Nous en conclurons que des fondations même mauvaises ne peuvent jamais mettre en péril l'existence d'une poutre à travées solidaires, si elles présentent suffisamment d'homogénéité pour que la différence entre les tassaments de deux appuis consécutifs ne soit pas très grande.

Il n'en serait pas de môme, par exemple, si les piles d'un pont étaient établies en partie sur le rocher, en partie sur des pieux fichés dans un terrain compressible et n'atteignant pas le solide. Une rupture de la poutre serait toujours à craindre à la limite de séparation des deux systèmes de fondation. Mieux vaut en pareil cas renoncer à descendre les piles jusqu'au rocher, là où il est accessible, et les fonder toutes dans des conditions identiques. Cette solution aura le double avantage d'être plus économique et d'offrir plus de sécurité. Nous poserons donc en principe que, pour les poutres à travées continues, l'invariabilité des appuis n'est pas nécessaire : il suffit de réaliser l'homogénéité des fondations, de façon que les tassements subis par des piles voisines ne soient jamais très différents l'un de l'autre.

Ponts établis sur des piles métalliques.

Pour les ouvrages de ce genre, on a à considérer, outre les erreurs de construction et les tassements des fondations, les changements de hauteur des piles métalliques résultant d'une

) POUTRES A TRAVÉES SOLIDAIHES.

ri do l'augmenlatioa du travail à la compression subi par irs montaats au passage des charges mobiles, et de l'autre s variations de température. On peut toujours évaluer a tari l'amplitude des déplacements verticaux que subiraient 1 appuis sous l'influeDce de cette double cause. Cela fait, on lura qu'à appliquer nos formules pour obtenir la voleur du ivail correspondant.

Par la même raison que précédemment, nous devons adîttre que ce travail sera toujours négligeable lorsque les les de l'ouvrage se succéderont avec des hauteurs variant aduellement sans écart brusque ; la fibre moyenne, dans ces nditions, se déformera suivant des courbes à très grands yons et les moments fléchissants supplémentaires seront in- !;uifîant3. Il n'en serait pas de même si l'on passait imméitemcnt d'une pile très haute à. une pile peu élevée ; il con- ;nl, par exempte, en admettant que les culées soient en mannerie, que le premier support métallique n'ait pas une élétion démesurée, sans quoi les changements de hauteur proits par les variations de température pourraient avoir des nséquences fâcheuses. En pareil cas, le travail supplémen- Ire maximum s'observe sur les piles les plus élevées, lors- ,e la température atteint son maximum (cas du soulèveent de l'appui). L'affaissement de cet appui, dû à un abaisment de température, ne produit sur les piles voisines que s elTets moins importants.

Considérons le cas limite d'une poutre à deux travées égales, nt les ouvertures seraient de 50" et la hauteur de 5"", l'élétion de la pile métallique étant de 50*". Supposons que la température s'élève à 35' au-dessus de la Dyennc pour laquelle la poutre a été réglée. La pile illongera de O,000iX5O" = O'°,02.

L'augmentation du travail du fer au droit de cet appui sera urnie par la relation numérique :

it 0',96 par millimètre carré, ce qui n'a rien d'inquiétant, imme nous nous sommes placé dans une hypothèse excep-

lionnellement défavorable, nous en concluroDS que l'influence des cbang;ement3 de lempératupe sur la ' stabililé des viaducs mélaliiques n'est pas à craindre ; les nombreux ouvrages do ce genre consiruits avec le plus grand succès par H. de Nordling, dans les lignes du réseau central de la Compagnie d'Orléans, conlîrment au point de vue pratique cette induction ; théorique.

É Les ingénieurs a- ' méricains ne sont pas partisans de l'emploi des poutres conti nues. Ils paraissent épro u ver une défiance extrême pour ce genre d'ouvrage, et, dans une des rares circonstances où ils ont cru devoir y recourir, ils ont adopté des mesures de précaution que l'on peut trouver excessives, pour se mettre à l'abri des effets des changements de température, et assurer à la poutre une flexibilité lui permet-

tant de se plier sans effort aux c supports métalliques.

Nous voulons parler du pont voinne et Ponlzen, Chemins de page 2]0), que représente la figun

Cet ouvrage comporte trois trav les culées sont constituées par le formées de supports métalliques e teur constante de la poutre est égï verture de chaque travée.

Pour éliminer d'une manière ab pératurc, le constructeur a coupé I du foyer de chacune des travées ej abouts par une articulation permet s'abaisser ou de se relever tibremi métalliques, sans modification au moments fléchissanls dus à la char sultat cberché a été obtenu éviden complète ; mais valait-il la peine q est facile de s'en rendre compte.

Admettons que !a température ; la moyenne. Le relèvement de ch sera égal à 51'X 0,0001 = 0'",021

Le travail à la compression dé* par les déplacements simultanés sera fourni lfi=l, n^3) par la rcl de la page 191 :

3Ehy i+l, n

-Pi

3Efts fi + p, L' U-pr

La table numérique II placée à dans le cas présent :

éî

On a :

D'où

Le travail supplémentaire est de 0'',18 par millimètre carré, moins de un cinquième de kilogramme.

MM. Lavoinne et Pontzmi terminent leur élude de cet ouvrage ainsi qu'il suit :

« En ce qui concerne le tablier, l'articulation établie dans « la semelle supérieure des fermes des travées extrêmes cons- € tilue un moyen ingénieux de leur donner la flexibilité né- « cessaire pour obvier aux variations de température ; elle a « toutefois le triple inconvénient de nuire à la rigidité du ta- € blier, de déterminer sur certaines articulations Taccumulac( tion d'efforts considérables et d'entraîner, dans une partie « des semelles de la travée centrale, des efforts de sens varia- « blés, suivant la répartition de la charge roulante sur les « travées, contrairement à la règle admise par les ingénieurs (( américains. L'adoption d'une semblable disposition ne peut <( être justifiée que par la hauteur inusitée des piles, d'où ré- « suite un relèvement sensible des points d'appui tout à fait « exceptionnel par suite des grandes variations de tempe- « rature. »

Nous compléterons ces conclusions très judicieuses et très motivées, en ajoutant que, vérification faite, cette disposition pourrait être justifiée, mais qu'en réalité elle ne V est pas : ses inconvénients sont sérieux et incontestables, et son avantage unique est insignifiant, pour ne pas dire nul.

•9. Déniirellatioii «ytitématique de» appuis. — Considérons la parabole des moments fléchissants AOiSO|A' dus à la charge complète, pour le cas de 1» travée normale (fig. 68). Le moment moyen s'obtiendra dans cette travée en divisant par l'ouverture L l'aire de la surface (marquée sur la figure par des hachures) comprise entre les différents arcs de la parabole, AOi, Oi SO, et 0|A', et l'axe des x.

)n8 mainteaant que, la poutre ayant été construite ibre raoycone recliligne d'une extrémité h l'autre, i des appuis étant également profilée suivant une lis fassions subir h tous les appuis des dëplacemenis

Fig. 68.

els que leur profil en long passe de la droite primiercle tournant sa convexité vers le haut et ayant son u milieu de la longueur de la poutre ; la fibre lie celle-ci suivra le mouvement des supports et 1 se déformant la forme circulaire (lig. 69). Nous ! cette déformation aura eu pour résultat de déves toutes les sections de la poutre à section cousloment de fiexion M négatif, également constant, eur sera fournie, si l'on désigne par p le rayon de le la fibre déformée, par la relation :

iendra, dans ces conditions nouvelles, l'épure des lus à la charge complète, pour la travée normale? t négatif M, venant s'ajouter k tous ces moments, imédiatemenl que l'on obtiendra la nouvelle épure t dans la figure 68 l'ase des x de la quantité m~- i

P lents de flexion seront encore représentés par la pa- 1 SO', A' rapportée à l'axe {m — 1) '{m)'.

CH. 11. — CALCUL DES POUTRES SYMÊTUIQUES. 20o

On peut donc, en faisant varier convenablement le rayon de courbure p de la ligne des appuis, relever autant qu'on le voudra l'axe des x de l'épure. Proposons-nous de faire subir à cet axe le déplacement nécessaire pour réduire au minimum le moment de flexion moyen dans la travée, ou, ce qui revient au même, Taire de la surface comprise entre la parabole et Taxe des x.

n est évident a priori qu'il faudra pour cela placer le nouvel axe dans une position telle que l'on ait :

En effet, la différentielle de l'aire en question, représentée, pour un déplacement di/ de Taxe des x^ par l'expression dy [{m — if O'i — 0\ 0\ -h 0', (m)'], sera égale à o, si

(m — l/0'i=7, ^^ î^^ indique que cetle aire passe alors par

un minimum.

La double condition j:j= - et .r, = — étant admise, les

valeurs des moments sur les appuis sont déterminées :

Or, les moments développés aux extrémités de la travée normale, avant la déformation du profil en long de la ligne des appuis, sont :

Am-i = Am = — 0,08333 pV= — ^ pU.

Fig. 69.

Pour réaliser le minimum du moment moyen de la travée normale, il faudra donc faire décrire par la ligne des appuis un cercle tournant sa convexité vers le haut (fig. 69) et ayant pour rayon de courbure :

{ l , , ,,, pLV3 8\ 1 pL»

cercle à très grand rayon ipporlée à son sommet, i

lieu d'attribuer à la iîb )n de la poulrc, une dire les appuis suivant le cerc ;cracnt : la ligne des appu il la poutre de façon fi lu l'application de toute cli; a concavité vers le haut.

te théorie, que nous do; iQvoir être utilement app fahrication d'une poutre assez compliquée, se pr^ s ; le montage un serait i atteindre ne justilierait a travde normale d'une ■ rallèie dans le principe à omenls est assez voisine minimum pour qu'il n'y r le travail du conslruc m insignifiante la valeui n'a donc qu'un intérêt p es pratiques, contre, nous aignaleroi latique des appuis pour :elui où la poutre consi' n constante, comme le Dans ces conditions, le 1 9 possible, non pas le m e moment de flexion m de la section, c'est à ce L plus élevée du travail ài sidérons encore l'épure '. la charge permanente, moments sur les appuis

Le moment au milieu de Touverlure est égal à 0,0417 /?L'.

Pour réduire au minimum le moment fléchissant le plus grand, il suffit évidemment de faire décrire à la fibre moyenne un arc de cercle tournant sa concavité vers le haut et dont le rayon satisfasse à la condition :

- =i (0,0833 — 0,0417) jt?L*

Celte opération aura en effet pour résultai de développer dans toutes les sections de la poutre un moment additionnel

constant égal à + — /?L*. Par suite, la valeur du moment sur

l'appui sera diminuée et la valeur du moment au milieu de la travée accrue : ces deux moments deviendront égaux en valeur absolue (fig. 68).

Comme on ne peut réduire le moment sur Tappui sans faire croître le mioment au milieu et réciproquement, on a bien atteint le but que Ton se proposait. Ainsi le moment fléchissant

présente trois maxima, tous égaux en valeur absolue à --/?L',

qui correspondent aux deux appuis et au milieu de Touverture, lorsque l'on oblige la fibre moyenne à se déformer suivant un arc de cercle tournant sa concavité vers le haut et ayant pour rayon :

48 El

La courbe décrite par la fibre moyenne déformée ne s'écarte pas sensiblement de la parabole qui, rapportée à son sommet, aurait pour équation :

'^ 96 El ^

Si, au lieu de se borner à considérer la charge permanente, on se préoccupait aussi de la surcharge variable, on reconnaîtrait facilement que la fibre déformée devrait avoir pour rayon

de courbure, s'il s'agissait de rendre égaux les moments maxima sur les appuis et au milieu de Touverlure, dus à la charge et à la surcharge la plus défavorable :

; = Il (0,0208 p + 0,0152 ;>'), et Téquation de la parabole décrite par cette fibre serait :

y = -^ (0,0104/? + 0,071 pO-

Cette théorie, inapplicable aux ponts métalliques, dont la section est toujours variable, présente un certain intérêt pour les rails de chemins de fer, qui remplissent bien les conditions du problème, puisque ce sont réellement des poutres continues à section constante.

•8* Etude des rails de eheinins de fer. — Considérons un rail continu de longueur indéfinie, sur lequel circule une charge roulante.

S'il repose, par l'intermédiaire de traverses équidislantes, sur un sol incompressible (rocher, maçonnerie, semelle de poutre métallique), il fonctionnera comme une poutre continue à appuis invariables, et le travail maximum à la flexion se manifestera au droit des traverses. En pareilles circonstances il vaut mieux, au point de vue de la conservation de la voie, renoncer à l'emploi des traverses, et établir les rails sur des longrines, qui, appuyées en tous leurs points sur une plate-forme bien réglée et incompressible, rendront insignifiant le travail du métal à la flexion.

Fig. 70.

Supposons maintenant que les traverses soient placées sur une couche de ballast ofi'rant une certaine élasticité. Les appuis s'aff'aissant sous le passage de la charge mobile pour se relever ensuite à leur niveau primitif, la voie présentera au

droit lie celle charge une ondulation ÀBCD se propageant avec elle (fig. 70). Par suite de la dénivellation des appuis, le rail décrira dans sa partie chargée une courbe BC tournant sa concavité vers le haut. D'après ce qui a été dit à Tarticlc précédent, cette déformation aura pour résultat de diminuer les valeurs des moments de flexion maxima, qui se manifestent sur les appuis, et par suite d'améliorer les conditions de stabilité de la voie. Pour un rail de 35 kg. par mètre courant, ayant 12 à 13 cent, de hauteur et supportant une charge de 6,000 kg. par mètre (ce qui correspond à peu près au poids d'une locomotive), on peut vérifier, à Taide de la' formule énoncée plus haut, que le rayon de courbure le plus favorable est d'environ 200". Si l'élasticité du ballast n'est pas telle que cette limite soit dépassée, son influence sur la conservation de la voie sera donc favorable, et celte conclusion théorique justifie un résultat bien connu d'expérience, d'après lequel lacompressibilité du ballast est, dans une certaine mesure, favorable à la durée du rail. Si celte compressibilité était exagérée, elle pourrait offrir des inconvénients, l'effet produit dépassant les besoins et donnant lieu à la production, entre les traverses, de moments de flexion positifs supérieurs aux moments négatifs. En pareil cas, il n'y aurait d'autres remèdes à employer que de réduire la hauteur du rail, ce qui entraînerait une diminution correspondante dans la valeur du rayon de courbure le plus avantageux.

On a recours à cette pratique pour les voies établies sur le terrain naturel ou sur des plateformes imparfaitement ballastées (voies de chantier, voies de l'ouest aux Etats-Unis). En augmentant la flexibilité du rail, on lui permet de se prêter aux mouvements du sol, sans fatigue exagérée du métal.

Supposons maintenant que le rail, au lieu d'être continu,

présente de dislance en distance des solutions de continuité

(joints non éclissés). Pour que la dénivellation des appuis pût

donner des résultats avantageux, il faudrait que les positions

des joints fussent invariables, et que les appuis intermédiaires

subissent des tassements tels que, au passage de la charge,

chaque tronçon de rail affectât la forme d'un arc de cercle

tournant sa concavité vers le haut (fig. 7i). Or il n'est pas pos-

Vf

210 POUTRES A TRAVEES SOLIDAIRES.

sible pratiquement d*élablir le rail de façon que les joints reposent sur des traverses immobiles, tandis que les appuis intermédiaires seraient élastiques.

Fig. 71.

D'autre part, pour atténuer Tinfluence deslructive des chocs des roues sur les abouts de rails au passage des joints, on est conduit à placer ceux-ci en porte-kfaux, entre deux traverses dites de joint. Or la figure 72 montre que, dans la travée, limitée par les deux traverses de joint, qui comprend la solution de continuité, les deux tronçons de rails opposés fonctionnent chacun comme une pièce encastrée à une exlrémité et libre à Tautre, et se déforment suivant une courbe tournant vers le haut sa convexité, et non plus sa concavité; cette déformation vicieuse s'étend, d'ailleurs, au-delà des traverses de joint par suite de l'élasticité du ballast (fig. 73). Le profil de la voie présente un angle au droit du joint. Dans ces conditions, l'élasticité du ballast, au lieu d'être favorable à la conservation des rails, lui est nuisible. Le travail à la flexion sur les appuis est augmenté au lieu d'être diminué.

L'éclissage des joints, en solidarisant les deux rails, permet d'atténuer quelque peu cet inconvénient : mais il ne rétablît pas d'une manière complète la continuité de la voie. La nécessité d'ovaliser les trous des boulons d*attache, pour permettre au rail de se dilater et de se contracter librement sous l'action des changements de température, a pour conséquence immé* diatc de diminuer considérablement l'efficacité de Téclisse au point de vue de la résistance aux charges roulantes.

Il en résulte que, dans les voies ballastées, les joints sont des points critiques : l'élasticité des supports, qui joue un rôle

favorable pour la conservation des parties centrales des rails, est désavantageuse pour les abouts, soumis à des moments de flexion négatifs très supérieurs à ceux qui se manifestent dans on rail indéfini.

M. Couard, ingénieur de la Compagnie P. -L. -M., qui a fait à ce sujet des observations et des expériences très intéressantes {Revue générale des chemins de fer, décembre 1887), a effectivement reconnu que les rails se détériorent dans le voisinage des joints et subissent, par suite des efforts anormaux dont il a été question, des déformations permanentes assez sérieuses pour altérer le profil de la voie. Il a constaté que les rails finissaient par présenter des courbures, analogues à celles de la figure 73, indiquant que la limite d'élasticité du métal avait été dépassée.

Les mesurages faits par cet ingénieur Tout amené à reconnaître que la courbe de déformation permanente, tournant sa convexité vers le haut, pouvait présenter dans le voisinage des joints un rayon de 300"" environ.

Ces observations, faites sur des voies établies depuis peu d'années et entretenues avec soin, offrent un caractère de gravité incontestable, en raison des espérances que les Compagnies de chemins de fer avaient conçues sur la longue durée des voies en acier. Si Ton constate des déformations permanentes de cette importance au bout de 10 à 1 i ans (sur une voie d'ailleurs très fatiguée), qu'arrivera-t-il dans 20 ou 30 ans ? Sera-t-il possible de conserver les mêmes rails pendant une centaine d'années, comme on s'en était flatté?

On sera probablement conduit à chercher un remède à la situation. Etant donné qu'il s'agit de conserver des rails existants, et non pas d'en établir de neufs, dont on pourrait augmenter la résistance, et que les modes d'éclissage actuels ne semblent pas susceptibles de modifications qui permettent d'en augmenter l'efficacité, on sera évidemment conduit à recourir aux dispositions suivantes : !•* Réduire le nombre des points critiques en allongeant les rails et espaçant de plus en plus les joints. C'est ainsi que la longueur des rails a été portée en ces derniers temps de S^SO à H "00, et que l'on envisage Temploi de rails de 20", malgré les difficulté qu'entraîneront leur trans-

212 POUÏHKS A ÏHAVÉKS SOLIDAIRKS.

porl, leur manulenlion cl leur pose ; 2" Réduire les tassements des rails dans le voisinage des joints en rapprochant les traverses de joint et augmentant leur surface d'appui sur le ballast : remploi des traverses métalliques, dont les dimensions peuvent être fixées arbitrairement, permettra sans doute de faire à cet égard le nécessaire; 3* Diminuer et presque supprimer la déformation de la voie dans le voisinage du joint, en reliant les deux traverses de joint par des tronçons de lon-

Fig. 74.

grines métalliques placés sous les rails et soutenant leurs abouts (fig. 74). On arrivera peut-être ainsi à constituer la base d'appui des joints par un cadre composé de deux traverses et de dcuxlongrines métalliques, ces dernières ayant suffisamment d'élasticité pourlaisseraux rails laflexibilité exigée pour l'atténuation des chocs, au passage des roues sur les joints, et suffisamment de rigidité pour soutenir les abouts et limiter leur abaissement. Les rails pourront, d'ailleurs, toujours se déplacer librement sur le cadre, sous TinQuence des changements de température ; il suffira, pour cela, d'ovaliser les trous des boulons d'attache.

DIMENSIONS PRINCIPALES ET POIDS DES POUTRES CONTINUES. - CALCUL DES ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS

•A. Dii'isiou en travée» et liauteur de la paatre. —

La fixation de Touvcrture h attribuer aux travées d'une poutre métallique est généralement subordonnée à des circonstances locales, sur lesquelles il nous paraît superflu d'engager une

cil. n. -^ CALGl'L DES POLTRES SYMÉTHIQl'ES. 213

discussion générale. Nous rappellerons seulement la règle connue, d'après laquelle, si la question d'économie est seule en jeu, on réalise la disposition la plus judicieuse lorsque le prix d'une pile est égal au prix d'une travée.

D'autre part, pour obtenir la meilleure utilisation du métal, il convient de recourir à l'emploi d'une poutre symétrique et d'adopter pour S la valeur 1,25 : les travées de rive auront pour ouverture les 4/S de celle d'une travée intermédiaire. L'application de cette règle assure la plus grande uniformité entre les travées successives. £n prenant S = 1, on réalise l'équidistance des appuis : mais cet avantage apparent est compensé par la nécessité d'attribuer aux platebandes des travées de rive des épaisseurs notablement plus fortes qu'à celles des travées intermédiaires (fig. 30, page 80). En somme, il faut donner à S une valeur comprise entre 1 et 1,25, et déterminée par la condition de diviser les treillis des travées de rive en mailles ou panneaux de même longueur uniforme que celle des panneaux des travées intermédiaires : si, par exemple, une travée intermédiaire est divisée en 23 panneaux, la longueur de la travée de rive devra correspondre à 23, 22, 21 , 20 ou 19 panneaux de même dimension.

Nous avons produit déjà plusieurs épures des moments, établis avec différentes hypothèses sur la valeur de S, qui justifient ce qui vient d'être dit : S=0,7 (fig. 31, page 81), 1,00 (fig. 30, page 80), 1,25 (fig. 64, page 181), 1,50 (fig. 63, page 176).

Lorsque les travées d'une poutre doivent être, par suite de circonstances particulières, de longueurs notablement différentes, ou que les travées de rive correspondent à une valeur de S supérieure à 1,25 ou inférieure à 1, il n'est pas certain que l'emploi du type à travées solidaires soit justifié. Il peut être alors préférable de se servir de travées indépendantes, qui seront parfois plus économiques, si on proportionne la hauteur de chaque poutre à son ouverture, alors que la continuité obligerait à adopter une hauteur uniforme sur toute la longueur.

Il conviendra également, pour des motifs précédemment indiqués, de prévoir des travées indépendantes lorsque les

fondations des piles n'inspireront pas confiance, et feront craindre des tassements considérables et impossibles à prévenir ou à corriger en temps utile.

La hauteur constante de la poutre doit être comprise entre

les — de la plus petite ouverture et les — de la plus grande : rhabitude des constructeurs européens est de prendre le dixième de la portée d'une travée intermédiaire : h==j-'

e». Poids des poutres. — Le poids p' par mètre courant de la surcharge d'épreuve doit être supposé connu a priori^ étant donné le rôle que doit remplir Fouvrage. On trouvera dans le tome I des ponts métalliques (page 61 et suivantes) les valeurs de;? 'pour les ponts-rails et les ponts-routes en France. Lepoidsp de la charge permanente comprend deux éléments distincts:

1** le poids pi du tablier et des pièces de contreventement, qui est indépendant de l'ouverture des travées (sauf pour les petites portées), et peut être déterminé dès que l'on a arrêté les dispositions de détail du tablier, avant d'entreprendre les calculs de stabilité des poutres.

Ce poids/?! correspond aux éléments suivants de Touvrage : pièces de contreventomcnt, pièces de pont ou poutrelles, longerons, platelagcs en bois ou en métal, voûtes en briques, chaussées, trottoirs, longrines, traverses, rails, garde-corps, etc. Il varie en général :

Pour les ponts-rails à 1 voie, entre 400* et 600* par mètre courant;

Pour les ponts-rails à 2 voies, entre 800* et 1500* par mètre courant ; .

Pour les ponts-routes, entre 400* et 800* par mètre superficiel.

On établira la valeur exacte de /?, en se basant soit sur Tavant-mélré du tablier, soit sur les exemples fournis dans des circonstances semblîibles par les ouvrages existants ;

2" Le poids ;?3 des poutres elles-mêmes, qui n'est pas connu apîHoriy et doit résulter des indications fournies par les épures do stabilité.

Il est nécessaire, toutefois, pour arrêter les dimensions des éléments constitutifs d'une poutre, de connaître p^ à Tavance avec une certaine approximation.

On se servira à cet effet d'une formule dont nous avons déterminé la forme par des considérations théoriques basées sur la notion du coefficient économique des poutres (voir tome I, pa^e 58), en y attribuant aux deux coefficients numériques qu'elle contient les valeurs convenables, pour obtenir des résultats concordant suffisamment avec les exemples fournis par Texpérience.

Soit R le travail maximum à la flexion (compression ou extension des platebandes) admis pour le métal à employer. On suppose, d'ailleurs, que ce nombre R diffère peu des limites admises pour le travail des pièces de la triangulation. En général R = 6.000.000 pour le fer employé dans les ponts ; pour les grands ouvrages, on est allé quelquefois jusqu'à 7.000.000 (ponts hollandais et allemands) et 8.000.000 (ponts américains) avec du fer de qualité supérieure.

Pour les ouvrages en acier, R varie entre 8,000,000 et 12.000.000, avec une moyenne de 9.000.000.

Nous supposerons connues les valeurs des poids f»' et/)i par mètre courant, définis plus haut.

Le poids propre p^ de la partie essentielle du pont, qui comprend seulement les grandes poutres (sans le tablier ni le contreventement), sera donné par la formule suivante, où L représente l'ouverture d'une travée intermédiaire :

Cette équation ne donne de résultats exacts pour les travées de rive que si S est voisin de 1,28, c'est-à-dire compris entre 1 et 1,40*.

i. Pour les ponts h travées indépendantes on peut établir des formules

analogues :

a.- Poutres de hauteur variable ou Bo\v-string8:p,= - (l,2p^4-yi);

32.000L h.' Poutres droites de hauteur constante : l^i^s — qo a^ai (^>^PH-J>i)*

Les formules indiquées par différents auteurs, pour l'évaluation du poids

Connaissant/?}, ou en déduira p égfilkpi+pf, et Ton pourra cfTcctucr le calcul des éléments de la poutre. L'avant-métré de l'ouvrage permettra ensuite d'établir le poids exact des poutres et de vérifier si Ton n'a pas commis, dans l'évaluation primitive de ;?„ une erreur trop forte, obligeant à reprendre le calcul des platebandes et de la triangulation. Cette circonstance

des ponts métalliques, ne contiennent ni R ni p\ Elles ne donnent donc que des moyennes déduites des ouvrages existants, moyennes susceptibles d^étre absolument inexactes dans un cas particulier donné. A ce point de vue, nous croyons les nôtres préférables. Il est évident d'abord que le poids d'une poutre croit proportionnellement à celui de la surcharge qu'il doit porter, et qu'on ne peut à cet égard se dispenser de tenir compte des conditions à remplir. D'autre part, pour les grandes ouvertures» un faible changement sur la valeur de R peut exercer une influence considérable sur le poids de l'ouvrage ; quelques auteurs ont accusé injustement de lourdeur des ponts français où la valeur de R est limitée à 6 kg. par millimètre carré, en les comparant à des ponts de même importance construits en Hollande, en Allemagne et en Amérique, dont la légèreté relative n'est due qu'à une augmentation de R, pris égal à 6k,75, 7^ ou 7k,5. A priori cette différence peut paraître de peu d'importance^ tandis qu*au contraire elle a une influence énorme.

Soit par exemple L=: 100", p'zz6.400k et ;)jzz 1.000k, données relatives à un pont de chemin de fer à double voie. Suivant que l'on attribuera à R différentes valeurs, on obtiendra pour p^ les chiffres correspondants qui sui» vent :

Poutres continues

Travées indépendantes

Bow-st rings

Poutres droites

6^ (France)

6'^ 75 (Hollande et Allemagne)

1^ 5 (Amérique)

Nous ajouterons que nous ne donnons nos formules que sous bénéfice d'inventaire, en ce qui touche la détermination des coefficients de L et de ;>', qui auraient besoin d'être revus et rectifiés en se basant sur l'exemple des ouvrages existants. Mais leur forme est rationnelle et il y aurait certainemont intérêt à Tadopter.

ne saurait guère se présenter, l'erreur commise sur p^ ne constituant jamais qu'une fraction négligeable de p+p'*

Plateliandes. — Supposons qu'ayant dressé les épures des moments fléchissants, on se propose de déterminer les épaisseurs variables a attribuer aux platebandes, de façon que le travail maximum du métal, en kgs par mètre carré, atteigne dans toutes les sections, sans la dépasser, la limite convenue R.

Soient : h la hauteur de la poutre ; c la largeur des platebandes, supposée uniforme sur toute la longueur de l'ouvrage ; M la limite supérieure du moment fléchissant fournie, pour une section déterminée, par l'épure de stabilité ; e l'épaisseur inconnue à attribuer en ce point à chacune des platebandes (la section transversale de la poutre sera, suivant l'usage, sup* posée symétrique par rapport à son centre de gravité).

Le moment d'inertie I ayant pour expression —, on a lacon-

dition connue :