MA M

21 ech

D'où Ton tire :

On calculera e pour un certain nombre de sections convenablement choisies sur chaque travée.

Lorsqu'on dispose d'une épure sur laquelle les courbes des moments ont été figurées séparément pour la charge et pour la surcharge, en supposant/? =1 etjo'=l, on peut se dispenser d'effectuer le calcul de la valeur numérique du moment maximum M. On évaluera séparément les épaisseurs à attribuer àlaplatebande pour résister d'une part aux effets de la charge, et de l'autre à ceux de la surcharge variable, et on en fera la somme.

Soient Y et Y' les ordonnées des deux courbes relatives au même point delà fibre moyenne (fiof. 63 et fig. 64).

dis

CalculoQs tout d'abord les coefficients numériques :

K= — et K'= —7, qui sont fonctions de quantités connues

et constantes sur tout le développement de la poutre. L'épaisseur de la platebande sera :

iL — X

Rc;i~K

Connaissant Y et Y', par des mesurages effectués sur l'épure, on obtiendra e sans difficulté.

On peut d'ailleurs recourir à une méthode graphique des plus simples, qui permet de déduire très rapidement Tépure de répartition des tôles de Tépure des moments (fig. 75). Supposons par exemple qu'on se propose de calculer e eu demi-

ïï

Fig. 75.

centimètres : il suffira de tracer sur l'épure, à' partir de l'axe des x^ des horizontales équidistantes pour la partie supérieure

(effets de la surcharge) de — X 0,005, et pour la partie infé-

rieure (charge permanente) de - X 0,005. L'épaisseur de la

platebande, en un point quelconque, sera fournie en demicentimètres par le nombre des zones horizontales comprises entre les deux courbes des moments.

La figure 75 s'applique au cas de la travée normale : les coefficients K et K' étant supposés différents, Téquidistance des horizontales n'est pas la même au-dessous et au dessus do Taxe des a:, bien que chaque zone représente une tôle de l'épaisseur convenue, soit par exemple 0,005.

A l'aide de ce procédé, l'épure des moments se transforme sans peine en épure de répartition des tôles. Il n'y a plus qu'à placer les joints des tôles, à figurer les couvre-joints et à disposer le rivetage, opérations sur lesquelles nous jugeons inutile de donner ici des détails.

•7. Triaairiilation. — Les deux platebarides d'une poutre sont reliées par une triangulation dont les éléments doivent être calculés en vue de résister à l'effort tranchant. Supposons que Ton ait dressé, pour les travées successives de l'ouvrage, l'épure des efforts tranchants dus à la charge et à la surcharge, telle qu'elle est représentée par la fig. 54 (page 122).

Si l'on a adopté la même échelle pour la représentation des efforts dus à la charge (V) et de ceux dus à la surcharge (V et Y"), la distance verticale entre les lignes représentatives de ces efforts fournit immédiatement, pour un point quelconque, la valeur maximum de l'effort tranchant à prévoir. Si, suivant Tusage, on a établi les courbes des V et des V" en posant p' = 1, et la ligne brisée des V en posant />= 1, il convient d'abord de remanier l'épure de façon à rétablir l'unité d'échelle. L'opération sera des plus simples : il suffira de multiplier les ordonnées Vf»..! et Vm de l'effort tranchant sur les appuis par

le rapport— et de joindre par des droites les points obtenus au

point 0. On prolongera les droites Vm— i 0 et VmO jusqu'à leur rencontre avec les courbes V'w— i V"m et Vm V'm — i, qui n'auront subi aucune modification.

On aura ainsi une épure analogue à celles représentées par les figures 76 à 79, relatives à la Iravc^e normale, où nous avons distingué par des hachures (dirigées dans le sens des pièces de la triangulation qui, dans la disposition de surcharge considérée, travaillent à l'extension) l'intérieur du contour relatif aux efforts positifs (partie gauche de chaque figure) de l'intérieur

l'OUTHES A TRAVKKS SOUDAI H l'.S,

relatif aux offorls iM^galifs (partie droite). La dlsint entre la droite inférieure et la courbe supérieure contour fournira, k IVchelle du dessin, la valeur de

chant maximum, positif ou nt^galif, relatif au point La portion de la ligure où les deux systèmes de haroisent, et qui est commune aux deux contours, inné oïl l'effort tranchant peirt être soil positif, soit vant la disposition de la surcharge.

Fig. T7.

inguerons donc dans la longueur d'une travée trois nctes : la zone latérale positive , adjacente à l'appui où l'effort tranchant est toujours positif ; la zone

il varie entre des limites de signes contraires ; et la e ncf/ative, adjacente à l'appui de droite, où il est ïalif.

cil. U. — CAI.CIL nKS l'ULTUii-S SY.MKTIUOLKS. 241

Désignons par Z ' el Z' les ordonnées veilicales, comprises respeclivoment entre les limites supérieure et inférieure des contours de l'épure rclalifsaiix efforts positifs et négatifs.

Les valeurs des efforts tranchants, servaot do base au calcul des pièces de la triangulation, seront :

Zdncpositivc(adjacenteàrap{)ui de gauche)

poiiur.

Zftneuégative (adjacente ùrappuidedroitej

Les figures 76, 77, 78 et 79, relatives à la travée normale, ont été dressées dans les différentes hypothèses suivantes, qui correspondent naturellement à des longueurs différentes pour la zone centrale.

Fig. 70 ,

Fig. 77 ,

Fig. 79 ,

Le tableau suivant indique assez exactement, pour la trav<5e

normale, les valeurs du rapport -- de la zone centrale A à Tou-

verture L, dans les ponts-rails en fer établis avec les conditions de surcharge réglementaires en France.

Ouvertures

Rapport — de la charge

k la surcharge

A Rapport —

La considération du rapport - peut avoir son importance.

Le calcul des barres comprimées ne s'effectuant pas suivant les mêmes règles que celui des pièces tendues, il y a lieu de tenir compte, dans le choix des dispositions à admettre pour la triangulation, de l'importance de la zone où les efforts tranchants sont susceptibles de changer de signe. Lorsque l'ouverture est inférieure à 18"^, la zone centrale comprend toute la travée ;au fur et à mesure qu'augmente la portée, cette zone diminue.

Admettons à présent que nous disposions d'une épure fournissant en chaque point de la poutre les limites supérieures, positives et négatives, de Teffort tranchant, et proposons-nous de calculer les sections à attribuer aux différentes barres de triangulation.

La triangulation peut être simple, c'est-à-dire se composer

CH. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRlUUKS. 223

d*une série de barres disposées suivant une ligne brisée reliant les deux extrémités de la travée et ayant ses sommets sur les platebandes. Soit 0 Tangle formé par la direction d'une barre

avec la verticale, dirigée de bas en haut, qui passe par son extrémité antérieure, c'est-à-dire par Textrémité que Ton rencontre tout d'abord en parcourant la ligné brisée à partir de l'appui de gauche de la travée (fig. 80). Soit V l'effort tranchant maximum relatif à cette partie de la triangulation : c'est la moyenne des efforts tranchants fournis par l'épure pour les deux sections qui contiennent les extrémités de la barre.

L'effort normal F, qui sollicite cette pièce, sera fourni par la relation :

Fig. 80.

cos ô

Ainsi que V,co8 8 peut être positif (6 <90o) ou négatif (0> 90*). Si Ton obtient pour F une valeur positive, la pièce considérée sera soumise à un effort d'extension ; si F est négatif, la pièce sera comprimée;

Fig. 81.

Fig. 83.

Considérons ensuite une triangulation multiple, composée de plusieurs lignes brisées distinctes : soit n le nombre de ces lignes, égal à celui des barres rencontrées par une section

transversale de la poutre. L'effort tranchant, auquel chacune

d'elles aura à résister, sera-. Si ces barres sont parallë-

les,elles subiront toutes le même effort normal, représenté par

224 POUTRES A ÏHAVKKS SOLIOAIIIKS.

^; c'est le cas habituel (fio*. 81, w = 4), sauf aux deux

extrémités de la poutre, sur les culées, où elles cessent parfois d'être parallèles et devîenuent convergentes (fig. 82).

Connaissant reiïort normal F subi par une barre, on sait calculer les sections à lui attribuer, à Taide de règles pratiques que nous jugeons inopportun de reproduire ici. Ces règles tiennent compte de la nature du métal, et, pour les pièces comprimées, de leur longueur et de la forme de leur section transversale.

Les constructeurs paraissent aussi d'accord aujourd'hui pour tenir compte dans ce calcul de l'écart des efforts limites, positifs et négatifs, entre lesquels V peut varier (Lois de Wœhler, Règles de Séjourné, etc.).

Poutres à treillis. — Dans les poutres à treillis, les barres

sont toutes inclinées sur là verticale.

En général, l'angle formé par les pièces comprimées et les pièces tendues a pour bissectrice la verticale. L'usage des constructeurs, justifié par l'éconotig. «3- jjjjg J^ métal et la facilité des assem-

blages, est d'attribuer à 0 les valeurs 45« et 135" (fig. 83)- *

— - est donc alternativement égal à ±:\/2, et la formule à

employer pour le calcul des efforts normaux subis par les pièces de la triangulation est :

Il est facile de se rendre compte que les valeurs de 0 sont, pour une travée quelconque :

Pièces comprimées

Zone positive (appui de gauche) 45*

Zone négative (appui de droite) i 35*

Pièces tendues

1. Le calcul indique en efîet que Tangle de i5o correspond au poids minimum du métal employé.

TTT

XH. H. — CALCUL DES POUTIŒS SVMÉTRiyUES.

2iS

Dans la zono centrale, où V est tantôt positif cl tantôt négatif, chaque barre travaille alternativement à la compression et à roxlension : on calcule donc sa section en lui appliquant successivement les formules relatives à Textension et à la compression, et adoptant la plus grande des aires indiquées. Comme la limite pratique de résistance à la compression diminue rapidement, au fur et à mesure que la longueur de la pièce augmente, il arrive fréquemment que l'effort de compression, quoique bien inférieur à Tefforl d'extension, est celui qui donne le plus fort résultat.

Poutres à bras verticaux. — Dans ce type d'ouvrage, on attribue à toutes les pièces comprimées, dites mo7itanis, la direction verticale. L'angle 0 présente donc, pour les bras, les valeurs suivantes :

Zone positive (appui de gauche) : 6 = 0 ;

Zone négative (aj)pui de droite) : 0 = 180**.

Dans la zone centrale, il convient,en raison du renversement éventuel des efforts tranchants, que 0 soit égal tantôt à 0 tantôt à 180*, suivant la disposition de la surcharge. On obtient ce résultat en doublant le système des tirants, dirigés suivant les deux diagonales de chaque rectangle formé par les platebandes et deux montants successifs ; dans la zone centrale, la triangulation se compose donc de croix de St-André séparées par les montants. A un moment donné, pour une disposition déterminée de la surcharge, une seule branche de chaque croix travaille à l'exclusion de l'autre.

Fig. 84.

Lorsque V est positif, le tirant utile est celui pour lequel 6 >> 90' ; lorsque V est négatif, c'est celui pour lequel 6 < OO».

Considérons un panneau d'une zone latérale, où il n'existe qu'un seul tirant; soit V l'effort tranchant. Il est facile de re-

Poutres a thavkes solidaihks.

connallre, en admeltant 1^ même limite de travail pour les pièces tendues et les pièces comprimées, que le poids du panneau (formé d'un montant et d'un tirant) est proportionnel à

k y (h A — 1, 6 étant l'inclinaison du tirant sur la verti-

cale. La distance de deux montants consécutifs étant représentée par A Ig ô , le poids par unité de longueur do la trian-

• gulation sera proportionnel à V cotg 6 1 1 H -V

Ce poids est indépendant de h et atteint sa valeur minimum pour tg 6=v 2, ce qui conduirait à admettre pour 6 les valeurs suivantes :

2ône positive, 125"* ;

Zone négative, 55'.

Nous avons déjà vu que pour les poutres à treillis les angles les plus favorables sont respectivement 435" et 45"*. Par conséquent, dans une poutre à montants verticaux, il est rationnel de réduire à 35*, et même plutôt à 30% Tinclinaison des tirants sur Thorizontale. Toutefois, on adopte d'habitude Tanglc de 46**, qui rend plus facile Texécution des assemblages, mais augmente la dépense du métal dans un rapport qui

dépasse nécessairement —• ou 1, 06, et peut être beaucoup

plus grand lorsque le travail des pièces comprimées est notablement inférieur à celui des pif»ces tondues.

0 est alors égal à 135** pour la zone positive et à 45" pour la zone négative. Dans la zone centrale, le double système d'écharpes correspond à la fois à ces deux angles.

Avec une poutre ainsi disposée, il n'y a à prévoir le renversement des efforts pour aucune barre. On n*a donc jamais à effectuer qu*un seul calcul pour chaque élément, soit qu'il s'agisse d'un montant, lequel sera toujours comprimé, soit qu'il s'agisse d'une écharpe, laquelle ne pourra être que tendue. 11 faut se garder de deux fautes commises parfois par les constructeurs, fautes qui entraînent une dépense supplémentaire de métal absolument inutile au point de vue de la stabilité, et même nuisible puisqu'elle accroît sans profit le poids de la poutre, et par suite l'intensité des moments fléchissants et des efforts tranchants dus à la charge permanente :

V On ne doit pas établir de croix de St-Ândré en dehors de la zùne centrale. Comme, dans les zônos positive et négative, refTort tranchant ne saurait changer de signe, les contre-tirants, n'ayant jamais aucun rôle à jouer, quelle que soit la disposition de la surcharge, sont inutiles et doivent disparaître. Pour les ponts-rails de faible ouverture (inférieure à 20"), nous avons vu que la zone centrale comprend toute la travée : il convient donc d'établir des croix de St-André sur toute sa longueur. Pour des portées supérieures à 20"*, il serait absurde de suivre les mêmes errements. On a vu, à la page 222, que, pour L=40'", la zone centrale comprend la moitié de la travée; pour L = 100'n, le quart seulement. Les croix de St-André doivent être arrêtées aux extrémités de cette zone.

2^ On ne doit pas attribuer aux doux branches de chaque croix de St-André la même section transversale, puisque ces deux pièces sont destinées à résister à des efforts d'intensités différentes, proportionnels aux valeurs absolues respectives des efforts tranchants limites positifs et négatifs. Pour le panneau placé au milieu de la zone centrale, les efforts tranchants sont égaux et de signes contraires : il est donc légitime de donner la même section à chacune des barres. Partout ailleurs cette pratique est en opposition avec le principe fondamental de la résistance des matériaux, qui consiste à proportionner les dimensions des pièces aux efforts qu'elles doivent supporter. Il existe pourtant des ouvrages, remontant à la vérité à une date assez ancienne, où cette règle, d'une justesse évidente, n'a pas été suivie.

En définitive, si Ton se reporte k la page 221, on reconnaît : 1* que la section d'un montant quelconque doit être calculée dans l'hypothèse d'une force de compression égale à la plus grande des quantités p' V du/?' Tl ; 2^ que la section d'tin ti*' rant, dont la direction est définie par l'angle 9, doit être calculée en vue de résister à un effort d'extension représenté par

— ^si e>90% et par+^si e<90^

Cette règle ne souffre aucune exception ; elle conduit à faire décroître les sections de chacun des systèmes de barres, à par-

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POUTUES A THAVÉKS SOLIDAIRES.

tir d'un appui jusqu'à l'extrémité opposée de la zone centrale, et par suite à établir des croix de St -André, à branches de dimensions inégales, dans cette zone, à l'exclusion des zones latérales (fig. 83).

Fig. 96.

Recherche du système de triangulatio7i le plus avantageux. — A priori^ la poutre à treillis paraît devoir être sensiblement plus économique que la poutre à montants verticaux et tirants obliques. Si l'on adopte pour les tirants la même inclinaison sur l'horizontale, 15"* par exemple, la figure 86 montre

que, pour aller de A en E, lo premier système de triangulation ne comportera que deux pièces (AB et BE), tandis que l'autre en exigera quatre (AB, BC, CD et DE). Les longueurs respectives des éléments comprimés seront représentées : pour

le treillis par BE=Av^2;pour la poutre à montants, par BC+DE=2A.

Les longueurs respectives des éléments tendus seront de même :

Dans le premier cas : AB = h \/2 ;

Dans le deuxième cas : AB -f- CD = 2A n/2.

en. II. ^ CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES.

£n somme, la longueur totale des bras est augmentée dans

le rapport— = 1.414, et la longueur cumulée des tirants est

augmentée dans le rapport — =; 2.

Si l'on considère Tensemble des pièces de chaque triangulation, Taugmentation est représentée par le rapport

TZ — = l,i •

Toutefois, lorsque Ton examine la question de près, on est surpris de constater, non seulement que l'économie présentée par le treillis est en toute hypothèse bien inférieure à ce que Ton pourrait espérer, mais qu'elle peut disparaître complète • ment pour les ouvertures exceptionnelles, ce système se trouvant alors plus pesant et plus coûteux que la triangulation à montants.

Fig. 87.

Remarquons tout d'abord que lorsqu'une poutre à assemblages rigides se déforme sous l'action de la charge, les montants verticaux restent, après comme avant la déformation, normaux aux libres moyennes des deux platebandcs, et suivent les directions des rayons de courbure communs de ce^ fibres déformées : ils peuvent par conséquent être considéré3 comme encastrés à leurs deux extrémités, condition éminemment favorable au point de vue de la stabilité des pièces comprimées.

Considérons au contraire une pièce oblique telle que AC, rivée sur les deux platebandes sous l'angle de 45* (fig. 87).

Après la déformation, le « pfeze A'B'C'D' : la pièce Al suivant la diagonale A'C, p des deux platebandes sou:

semblages l'obligera donc circulaire, coupant chaque conséquent, celle pièce, t sera soumise sur toute sa fléchissant. Il est manifestf défavorable au point de \ comprimée se trouve dans si ses extrémités étaient a:

platebandes, ce qui lui p' gles de rencontre de ces c riablea.

En conséquence, si les assimilés à des pièces comj lés, les bras obliques doive des pièces comprimées ar cette hypothèse peut être j favorable.

II est arrivé que des pc ment cl esécutées avec le p comportées sous la surcha des tendances inquiétantes mainte occasion de reufor tants supplémentaires. Il îa cation de ce fait dans la fli qui favorise le llambemeti soumises à un elTort de cor

Revenons maintenant i gueur représentés par la culer les quantités de méti en supposant que les raye inées (montants ou bras o ment.

Soit R la limite pratiqu pour les tirants AB et CD.

wfvr

CH. II. — CALCUL DES POUTRES SYMÉTRIQUES. 23i

compression, relatives aux bras articulés à leurs deux éxtréimités ou considérés comme tels (BE), et aux bras encastrés à eurs extrémités (montants BC el DE), seront fournies, en fonction de la longueur X, du rayon de gyratioaret de la donnée R dont nous venons de parler, par les relations suivantes * :