DÉSIGNATION

des résultats

des calculs

NUMÉROS D*ORDRB DBS TRAVÉES NORMALES H

P x\ \ - a:" J?i, 1 — ari

280 POUTRES A THAVKKS SOLIDAIHIvS.

Poutre à section constante. — La colonne 1 du lableau et les courbes \ des figures se rapportent à la poutre à section constante (page 183, fig. 65), dont nous avons reproduit Tépure pour fournir un terme de comparaison.

Poutres de hauteur constante. — Nous admettons, suivant rhabilude, que le travail maximum à la flexion doit atteindre en toutes les sections de l'ouvrage une valeur constante convenue, limite pratique R relative au métal à employer. Soit M la valeur absolue du moment de flexion limite pour une section déterminée (M = — (X+X') ou M = X+X"). La poutre satisfait

ù la condition représentée par la relation : -- = const.Le mo-

ment d'inertie varie proportionnellement à M, limite supérieure du moment fléchissant. Pour la travée 2 (colonne 2 du tableau, courbes 2 de la figure 98), nous avons admis que la surcharge p par mètre courant était négligeable devant la charge permanente p. La valeur de I, et par suite l'épaisseur des platebandes, est donc proportionnelle en tous les points aux ordonnées verticales de la ligne pointillée marquée du signe (2.4). Pour la travée 3 (courbes 3 de la figure, colonne 3 du tableau), nous avons supposé au contraire que p était négligeable devant /?' ; Tépaisseur des platebandes est proportionnelle aux ordonnées de la ligne pointillée marquée du signe (3.5). Les courbes 2 s'écartent sensiblement des courbes \ , avec augmentation des moments sur l'appui et diminution des moments centraux. Les courbes 3 sont très voisines des courbes 1 et la coïncidence serait môme absolue si l'on n'avait pas force un peu les épaisseurs de platebandes de la travée 3 dans le voisinage des appuis (les escaliers de la ligne (3.3) ont une hauteur trop considérable qui conduit à l'emploi d'un excédent de métal) ; d'autre part pour augmenter la clarté de la figure, aux dépens de son exactitude, on a exagéré l'écart existant entre ces courbes. En somme, en passant de la poutre 1 à la poutre 3, on ne modifie que d'une façon insensible les courbes des moments dus soit à la charge, soit à la surcharge variable.

Poutres de hauteur variable, — Dans une poutre de hauteur variable, à section tramversale symétriquey le calcul du travail

en. ÎIÏ. — POUTRES CONTLXrES A SECTION VARIARLE. 28i

à In flexion développé dans les plaiebandes s^oiïecluc à l'aide de la même formule R= — que pour les poutres de hauteur

Flff. 98.

constante, h élan! la hauteur de la section considérée et I son moment d'inertie, calculé à Taide d'une formule particulière, tenant compte du non-parallélisme des platebandes, que nous donnons au chapitre suivant (art. 430). L'emploi de cette formule étant admis^ si nous convenons, comme précédemment, d'attribuer àR une valeur constante et de relever la valeur absolue du moment fléchissant limite sur Tépure relative à la section constante, nous aurons entre A et I une relation permettant de calculer Tune de ces quantités, lorsqu'on supposera l'autre connue. .

Poutres à platebandes constantes. — Nous avons d'abord étudié deux poutres (4 et 5), définies par la condition que h varie proportionnellement à M :

h = KM .

Nous verrons au chapitre IV que cette condition a pour corollaire la propriété suivante : Taire de la projection sur un plan vertical de la section droite de Tune quelconque des platebandes est une constante, quelles que soient laplatebande et la section verticale de la poutre que Ton considère. Pour abréger le langage, en renonçant à une précision absolue, nous dirons qu'une pareille poutre est à platebandes constantes^ étant bien entendu que cette constance existe, non pour Taire de la section droite, mais pour la projection verticale de cette aire.

Les rapports -rr et tt étant Tun et Tautre invariables, on voit

immédiatement qu'il en est de même du rapport — . Le moment d'inertie varie proportionnellement au carré M* du moment de flexion limite, la hauteur h variant proportionnellement à la première puissance M de ce même moment.

Travée 4, — Nous avons supposé que /)' était négligeable devant p, La hauteur de la poutre est proportionnelle aux ordonnées verticales de la ligne pointillée (2-4). L'épure de stabilité ne diffère pas sensiblement de celle qui concerne la travée 2, ainsi qu'on le voit en comparant les colonnes 2 et 4 du tableau. Elle serait donc représentée par les courbes 2 de la fig-ure 98.

Travée 5. — Nous avoDs supposé que p était nég:1i^eable devant p'. La hauteur de la poulre est proportionnelle aux ordonnées verticales de la ligne pointillée <3, 5.). LVptire de sta-

284 POUTUES A THAVÉES SOLIDAIRES.

bililé de cette travée ne diffère presque pas de celle relative à la travée 3 (col. 3 et 5) ; elle serait donc représentée par les courbes 3 de la figure 98.

Les quatre hypothèses limites correspondant aux travées 2, 3, 4 et 5 embrassent tous les cas de la pratique où I varie proportionnellement a une puissance n déterminée de M; en

effet le rapport - est toujours compris entre 0 etao , et Ton ne

peut admettre raisonnablement que soit la hauteur, soit Tépaisseur des platebandes, aille en diminuant quand M augmente, ce qui aurait forc(^ment lieu si n était plus petit que i ou plus grand que 2. On a ainsi nécessairement 1 < w < 2. Lorsque I varie proportionnellement à M*, il en résulte, si R est constant, que A varie proportionnellement à M,i— i : n — 1 est toujours compris entre 0 et 1.

Travées 6 etl. — Nous avons supposé pour ces deux travées que p était négligeable devant p\ Dans la travée 6, h est constant dans la partie centrale, entre les deux foyers, et proportionnel il M entre chaque appui et le foyer le plus voisin. Dans la travée 7, // est constant entre chaqueappui et le foyer le plus voisin, et proportionnel à M dans la partie centrale. Pour la poutre 6, les hauteurs sont représentées par les ordonnées de la courbepointillée(6)etles épaisseurs des platebandes par les ordonnées de la courbe (7).

Pour la poutre 7, les hauteurs sont représentées par les ordonnées de la courbe (7), et les épaisseurs des platebandes par les ordonnées de la courbe (6).

Les courbes des moments relatives à ces deux poutres s'écartent notablement Tune et Tautre de celles correspondant à la section constante, qu elles encadrent (fig. 99).

SS.Belationii entre répare de stabilité et la loi de variation de la seetion d'une poutre continue. — L'examen des résultats exposés à l'article précédent suggère différentes remarques, rigoureusement exactes pour la Iravt^e normale, qui peuvent être considérées comme également applicables aux autres travées, puisque la travée normale constitue une sorte de moyenne autour de laquelle elles oscillent sans jamais s'en écarter hoauconp.

WT"

cil. m. — POl TKlvS CUM'INIIKS A SECTION VAIUABLK. 285

a. — Lorsque le moment d'incrlie varie, d'une oxlrémitc à lautre de Touvrage, proportionnellement à une puissance déterminée du moment limite M (c'est-à-dire — X — X', ou X + X"), qui est nécessairement comprise entre 1 (hauteur constante) et 2 (platebaudes constantes), les courbes des moments se rapprochent d'autant plus de celles établies dans Thypothèse de la section constante que p/p' est plus petit, et se rapprochent d'autant plus des courbes 3 de la figure 98, que p/p' est plus grand.

En d'autres termes, Tépure de stabilité dressée dans Thypothèse de la section constante est exacte en ce qui concerne Teffet de la surcharge variable. Cette remarque curieuse, qui, • croyons-nous, n'a jamais été faite jusqu'à présent, nous conduit à formuler comme il suit la règle à suivre pour obtenir une épure offrant toute garantie d'exactitude : V Etablir la courbe enveloppe des moments fléchissants dus à la surcharge comme s'il s'agissait d'une poutre à section constante, sans poids propre ; 2° Etablir la courbe des moments dus à la charge permanente, comme s'il s'agissait d'une poutre à section variable, soustraite à V action de la surcharge. La réunion de ces deux courbes constituera l'épure cherchée, le moment Ms'obtenant par l'addition des moments partiels, X' ou X'' fournis par la première épure et X fournis par la seconde.

Cette règle est rigoureusement exacte pour les poutres de hauteur constante : on a en effet le droit de considérer un ouvrage de ce genre comme formé par la juxtaposition de deux poutres de même hauteur dont on a calculé séparément les platebandes de façon que l'une supporte dans des conditions convenables la charge permanente et que l'autre résiste aux: effets de la surcharge variable. Les courbes des moments, exactes pour chaque poutre partielle considérée à part, le seront aussi pour l'ouvrage de même hauteur obtenu en les réunissant et soudant leurs platebandes.

Soient Mi et Ij, M, et I^ les moments de flexion et les moments d'inertie partiels, relatifs à chacune de ces poutres élémentaires pour une môme valeur de x.

J-OUTIIES A TRAVEES SOLiDAIHES.

M|A Mift A(M,+M,) SIt "Sli^Sd, +1.)

• M, est précisément te moment de flexion, et Ii + It : d'inertie relatifs à l'ouvrage complet. 13 poutres de hauteur variable, cette ri;g;Ie n'est malive, parce que les poutres partielles étudiées plus la mi>me hauteur dans les sections correspon- [ue par conséquent on ne peut considérer l'ouvrage mmc obtenu par leur juxtaposition : comme il faut ^cessitô los ramener à la même hauteur avant de les voit qu'aucune d'elles ne satisfait à la condition et que par suite, les courbes tracées n'étant exactes ne ni pour raulre,il n'y a pas lieu de compter qu'il en nent pour l'ouvrage complet . Toutefois larègle énonméme en ce cas des résultats suffisamment voisins 9 pour qu'il soit permis d'en faire usage dans la prali-

ppelons que les poutres étudiées doivent satisfaire à.

qui a pour corollaire la relation suivante appli-

•i-i j 1 1. . ,2111 ïR,,^, . 2R

moitié de la hauteur : h = — = — M"~ , on ^

nstante.

est proportionnel k M*~'.

irsque la loi de variation du moment d'inertie n'est

entée par une relation de la forme : — = const, i!

iblc de rien affirmer en ce qui touche les courbes Ils, qui peuvent s'écarter notablement des lignes resection constante.

peut faire à cet égard différentes remarques : uc le moment X dû à la charge permanente est plus valeur absolue, pour la poutre à section variable que L X calculé pour la section constante, il en est de

même du moment limite de même signe (X' ou X'') dû a la surcharge variable : SX est toujours de même signe que SX' et SX".

2° Ou peut diviser une poutre quelconque eu un certain uombre de zones, dont les limites sont toujours voisines des foyers, dans Tétendue de chacune desquelles le moment maximum M est : soit positif (zones positives, comprenant le centre de chaque travée) ; soit négatif (zones négatives, comprenant un appui et limitées entre les foyers voisins de deux travées consécutives).

Lorsqu'on fait croître le moment d'inertie d'une section déterminée en augmentant sa hauteur, ou l'épaisseur des platebandes, on fait croître en même temps la valeur absolue M du moment limite dans cette zone, et on la fait décroître dans les zones adjacentes. L'effet produit est d'autant plus grand que la section considérée se rapproche plus du centre de la zone (appui pour les zones négatives, milieu de l'intervalle des foyers pour la zone positive) ; en même temps on écarte de la section renforcée les foyers qui l'encadrent. Par exemple si I augmente sur un appui, les X négatifs et les X' augmentent, tandis que les X positifs et les X''' diminuent.

Dans le voisinage immédiat des foyers, on peut modifier ar« bilrairement le moment d'inertie de la poutre sans rien changer aux courbes des moments.

3° On conçoit qu'il soit possible de faire varier la section suivant une loi telle que, les effets produits sur les zones successives se compensant, les courbes relatives à la section variable coïncident exactement avec celles relatives à la section constante.

Cette concordance s'obtient précisément, comme on l'a vu, en supposant constante la hauteur de la poutre, en ce qui concerne les moments dus à la surcharge variable, mais non pour les moments dus à la charge. Pour obtenir le même résultat

avec une valeur donnée de -7 , en ce qui touche la travée nor-

maie, il suffirait de faire croître légèrement la hauteur à partir de chaque appui jusqu'au centre de la travée, et l'on obtiendrait ainsi une poutre h section variable ayant même épure

288 POrïHKS X THAVÉKS SOLIDAIHKS.

de siabiiilé que la poutre àseclion conslaulc. Celle disposhioa serait d'ailleurs irralionnelle, et celle remarque n'est faite qua un point de vue purement spéculatif.

c. — Supposons qu'après avoir dressé Tépure d une poutre continue dans l'hypothèse de la section constanle, on s'en soit servi pour établir les dimensions provisoires d'une poutre à section variable. Nous ne ferons d'ailleurs aucune hypothèse sur la règle suivie pour la ti^calion de la hauteur en un point quelconque de l'ouvrage. Après avoir refait, dans l'hypothèse de la section variable, les calculs de stabilité relatifs à la poutre provisoire, ou devra corriger, à l'aide des indications fournies par cette dernière épure, les dimentions admises dans le principe. Pour obtenir un résultat satisfaisant, il sera bon de multiplier par 3/2 les écarts constatés entre les deux épures, afin de tenir compte du nouveau déplacement des courbes des moments, qui résultera des dernières modifications apportées à la poutre.

Supposons par exemple que, les moments limites relevés sur la première épure (section constante) en deux points A et R déterminés de la poutre étant Ma el Mn, les moments correspondants sur la seconde épure (section variable) soient égaux respectivement à 1,15 Ma et 0,92 Mb. Il faudra calculer les dimensions définitives de la poutre^ en admettant pour valeurs respectives des moments aux points A et B :

Ma(H-,^ • 0J5) = 1,225 Ma;

Mb (1 — ; ■ 0,08) = 0,88 M** .

On sera k peu près sûr de cette façon de ne pas commettre d'erreurs imporlantes,et d'obtenir une poutre définitive dont les dimensions concorderont en tous les points avec l'épure de stabilité exacte.

8^. C^ft d*aoe eharye irréffalièreinent répartie. —

Nous avons admis jusqu'à présent que la charge et la surcharge étaient uniformément réparties sur la longueur de cha-

CH. III. - POITHKS CONTINUES A SECTION VAHIABLE. 289

que Iravéc. Celle hypolhëse n'est pas absolument exacte, quoique s'écartant peu en général de la vérité. On pourrait se proposer, en vue d'arriver à des résultais plus conformes à la réalité, de tenir compte de Tirrégularité de la charge permanente^ dont la valeur par mètre courant varierait d'un point à l'autre de chaque travée. Il peut en être de même de la sur* charge, représentée par un train de chemin de fer dont les différents essieux ne porteraient pas le même poids.

On pourra aisément, sans compliquer les calculs d'une fa* çon sérieuse, arriver au résultat voulu.

i^ Il conviendra de tracer pour chaque travée, dans Thypothèse où les deux extrémités seraient simplement appuyées, les courbes des moments fléchissants dus soit à la charge, soit à la surcharge irrégulière, supposées connues a priori (la charge permanente sera fournie par Tavant-métré provisoire de la poutre ; la surcharge sera définie par le programme des épreuves auxquelles l'ouvrage devra être soumis). Nous admettons que le tracé de ces courbes ne présentera aucune difficulté, soit que Ton emploie la méthode graphique pour le tracé du polygone ou de la courbe funiculaire, soit que l'on ait recours au calcul algébrique. On sait que l'on a :

f (:c) = S*^^^ — (/ — x) -|- yi^Z -^-T-^ X , dans le cas de poids isolés (page 9), et

f(jc) = J ^^ "" rdr + L^-j i^—r) dr , dans le cas d'une charge définie algébriquement (/; étant fonction de r).

2'' Soit f[x) l'ordonnée de cette courbe correspondant à un point d'abscisse x pris sur une travée délerminee : on Tobliendra par un simple mesurage effectué sur l'épure.

Les intégrales définies W et Z de l'article 79 auront pour expression :

Z = 7 r f{'^){l—x) dx.

290 POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.

On les calculera sans difficulté par la méthode de quadrature de Tarticle 79, en relevant sur Tépure pour chaque point considéré les valeurs correspondantes àef{x) et I.

Dans les formules des moments J et H, on substituera les valeurs de W et Z aux produits /? W et /? Z qui y figurent : on obtiendra ainsi les moments sur les appuis relatifs à la travée considérée, en la supposant seule chargée.

3*^ Les courbes des moments fléchissants seront représentées dans toutes les hypothèses par des relations de la forme :

X = Xm-i + (Xm— î — Xm-i) - + /"(a').

Si la travée est supposée chargé, f[x) sera fourni par Fépure déjà dressée.

Dans le cas où la travée ne serait pas chargée, la formule serait :

X = Xm— 1 "H (Xw— j — Xm— i) r 9

et / (x) n'y figurerait pas.

Dans le cas de la travée partiellement surchargée, que l'on a à considérer pour Tétude des effets de la surcharge variable, il serait trop compliqué de tenir compte de l'irrégularité de la surcharge. On appliquera donc les formules relatives à la surcharge uniforme, Terreur commise n^ pouvant jamais représenter qu'une fraction insignifiante du moment fléchissant.

Cette règle serait également applicable aux poutres à section constante portant des charges irrégulières, en y considérant I comme une quantité invariable. Mais on n'aura jamais occasion d'en faire usage. Gomme en réalité les poutres que l'on construit sont toujours à section variable, l'erreur commise, en leur attribuant dans le calcul une section constante, a des conséquences plus importantes que celle imputable à la substitution d'une charge uniforme fictive à. la charge irrégulière relie. Ce serait donc bien inutilement qu'on se donnerait la peine de corriger les conséquences de Tinexaclitudo la

CH. IIL - POUTRES COiNTÏNUES A SECTION VARIABLE. 29J

moins importante^ alors qu'on ne tiendrait pas compte d^une autre plus sérieuse.

£n fait, Tirrégularité de la charge et de la surcharge n'a jamais une influence assez sensible sur les conditions de stabilité pour qu'il y ait un inconvénient grave à leur substituer des charges et surcharges uniformes, équivalentes comme poids total.

En ce qui touche les efforts tranchants, il n'y a pas à se préoccuper de Tirrégularité des charges. Nous jugeons donc superflu d'énoncer les formules que Ton obtiendrait en différenciant par rapport à x les équations relatives au calcul des moments fléchissants. Il n'y aurait qu'à faire entrer dans ces for-

df{x) mules les expressions --r-, représentant la courbe des ef-

forts tranchants dans Thypothëse oti les deux extrémités sont simplement appuyées. Le tracé de cette courbe n'offre aucune difficulté, du moment que l'on connaît la charge.

DÉFORMATION. — DÉNIVELLATIOxN DES APPUIS.