IVES A UN OUVRAGE QUELCONQUE ■HAUTEUR VARIABLE
I et déaal«t«Ds. — Soit AA'BB' une tallique de hauteur variable, formée de et A'B' reliées par une harre de Inanition rectilîgne. Soit gg' l'axe longitudinal ou fibre moyenne de l'ouvrage , courbe- située dans le plan vertical de symétrie ABB'A' et que nous définirons comme il suit. Menons une normale ^
quelconque MM' à cette courbe : son ^
pied G est le centre de gravité de la .-^
surface que l'on obtiendrait en proje- 'à
tant sur le plan de la section transver- h
sale MM' (normale à la fibre moyenne *
fjg') les sections droites des deux platebandes en J[ et en M'. -''< droite de la platebande AB en M, et « •\ ingcnte en M à AB avec la tangente en *" tion droite et l'angle relatifs à la plaie- >^ . Désignons encore par a et à les loniIG et M' G. On a, en vertu de la définide formuler :
me générale de l'ouvrage, onjpourra loints l'axe longitudinal gg\ en se baîaractéristique du poïut G ; on relèvera . les longueurs a et a' et les angles «
324 POUTRES A Ti
La Imulcur h, l'aire Cl et transversal 0, à considérer de nis par les relations :
£i = w cos a -h w' ces a I = a*u cos X + a''"' cos x' =
Lorsquea=:«'^o, on n hauteur constante, ut l'on sions algébriques déjà énoi prismatiques.
Pour éviter toute confusii nouvelles signilications attr roiis qu'elles représentent 1' réduit de l'ouvrage du liautt
Nous conviendrons d'attri distance MG augmente lorsi lion transversale MM'; de mêmes conditions, la dista placement infiniment petit marchant de gauche à d point G.
On a, en vertu des convet
dk ^^da-\- de
Toutes les dimensions c nues à l'avance, nous adme gitudinal gg' et que l'on po!
sale quelconque, les donnée
Aous avons laissé do càV gulatiou A'B. Pour ce qu spécialement la section tra point do rencontre G avec 1' nirons la distance AB pa droite MM', cet angle éta
■ POUTRES DE IIAUTECR VAHIAIJI.E. 323
lo de l'axe MM' pris comme origine. li n'y
■ de la section transversale de la barre en
Dsons de calculer les ciTorls supportés par AB, A'B et A'B'.
ons encore d'affecter du signe +Ies valeurs neat lieu à un travail à l'extension cl du si- I des forces qui pioduisonL un Iravail à la is désignerons ces forces par les lettres S i' (platebande A'B ') et T (barre A'B). 13, d'autre part, que l'on ait calculé à l'ailion transversale choisie MM', les valeurs: fléchissant X égal à la somme des moments lint G des forces extérieures appliquées b. son extrémité de droite jusqu'à la seclion cra alTeclé du signe ■+■ s'il détermine dans la eure un travail à la compression, el du signe io contraire ; 2' de l'effort tranchant V (^gal ijeclions des forces extérieures, dont il a été roite MM'. Col effort tranchant, dont le signe
la condition V= -j- , sera positif s'il est dits ; 3° de l'efTort normal F égal à la somme s forces extérieures sur une perpendiculaire ituée dans le plan de la fibre moyenne. Cet i'il détermine dans les plalebandcs un traie calcul des réactions des appuis de l'ouitc de la section MM' ne pourrail s'elîectuer le la slalique, el où il nécessiterait l'emploi a résistance des malériaux relatives à la déps élastiques, X, F el V, au lieu d'être re- : nombres évalués à l'avance, seraient des nos connues de ces réactions inconnues. Cela illeurs, rien au raisonnement qui suit.
» efforts dëveloppé» daim le* éléments
La seclion horizontale MM' est en équilibre
32C POUTlIliS A TRAVl
sous l'action : du moment X et d.
Flg.104. ,
par les trois équations obtenues
des moments des forces par ra]
mes de leurs projections sur It
libre moyenne en G.
X = — Sa cos 0
F = S oos « + 1
V = — Sm« +
Ces trois relations permettent imaginables S, S' et T, counaiss
Elles sont rigoureusement es on a la certitude d'arriver à de que fournirait la méthode des sj duil absolument aux mêmes éqi F et V disparaissent pour faire ments par rapport à G et aux p perpendiculaire à MM' des foi l'ouvrage. Il en résulte un simp!
KM. Formnlo Kpproxli
dans l'équation (2) de l'article pi TsinO comme négligeable devï cas général de lapratique.lcs eC presque toujours très petits cor
es. Supprimons en conséquence le terme par W la composanle verticale, changée t longitudiaal T subi par la barre A'B :
relations nouvelles :
— Sa cos a + S'a' cos a' ; S cos a + S' cos a' ;
— S sin a -+- S' sin a' + W.
B plus dans ces équations, qui permettent alculer les inconnues S, S' et W sans se me de triangulation employé pour relier .'ouvrage. Elles sont d'un usage beaucoup îs équations exactes de l'article précédent, iservir dans les applications. Maisellesne ives, et, par suite, ne peuvent conduire nêmes résultats que la méthode des sys- 102). L'écart est d'autant plus faible que ■Tsinô est plus petit comparativement à 1 suffît que la hauteur de la poutre ne dé- ^erture d'une travée de l'ouvrage pour que it sans importance aucune et de l'ordre de mt exercer d'influence appréciable sur les lents de la construction, i'aifieurs, de justifier, dans un cas donné, es simplifiées, en appliquant & un certain les formules exactes et comparant les réles deux procédés (art. 125).
i la quantité W le nom A'effort tranchant
de hauteur variable à âme pleine, l'épais- Ètro calculée en vue de résister, non à soht V (comme pour les ouvrages de haus bien à Teffnrt tranchant réduit W.
laaellei. — Nous allons apporter, en vue
328 l'OUTKKS A Tl
d'en faciliter l'emploi, quel (i),(3)cl(6).
Soient R la valeur du Ira déterminé par la force S dai valeur du travail kVextemk la platebande inférieure, t faites sur les signes des fore
Ru = -S
Substituons dans les fot par rapport à R, R' et W, ei DUCS (art. 104) :
au cos a = flV
Û = «>co
I =; haiù cos a =
Nous obtiendrons les forr
= V-J(lsa + I
Les équations (7) et (8) pi travail moléculaire R ou R' et de modiflcr en conséquei façon à augmenter ou & dim entre R ou R' et la limite pi tension ouii la compressior
Lorsqu'on veut résoudre calculer les aires « et u' ù d'obtenir pour R et R' des i cessaire de résoudre les éq inconnues u cos k et u' cof vantes, dont l'emploi no sat
(iO) <«>COSa = J-^-,^ + V(4-2iy- (H) <«>'cosa' = 2^^ + |;+V(^^ +
R (R + R') h FX
Rappelons qu'il est absolument nécessaire' de tenir comple des signes de X et de F : par exemple, dans le cas où F représenterait un effort normal de compression (ponts en arc), il conviendrait de lui attribuer le signe — .
Après avoir calculé soit R et R' en fonction de c» cos a et Cl)' cos a' à Taide des formules (7) et (8), soit o) cos a et w' cos a" en fonction de R et R', à Taide des formules (10) et (H), on tirera la valeur de l'effort Iranchant réduit W de l'équation (9^. Si l'ouvrage est à âme pleine, on déterminera l'épaisseur e de celte âme de façon qu'elle résiste à l'effort tranchant réduit :
Si l'âme est Iriangulée, on attribuera à la barre A'B (Rg. 104) une section telle qu'elle puisse résister dans des conditions normales à l'effort T, donné en grandeur et signe (+ extension, — compression) par la relation :
cos 9
. 1#9. Oa¥P«ffe« à seetion transvemale symétrlqne.
— Nous dirons qu'un ouvrage métallique est à section transversale symétrique lorsque R = R': c'est une condition que Ton doit toujours s'efforcer de réaliser, en vue d'obtenir la meilleure utilisation du métal, quand on comple employer le fer ou Facier, considérés comme également aptes à travailler à l'extension et à la compression. Pour la fonte, il en serait autrement, et il conviendrait de prendre Régal au moins au double de R',la fonte se comportant mal sous un effort de traction. Dans l'hypothèse de la section symétrique, les formules (iO) et (H) de Tarlicle précédent deviennent : '
j .Ces formules supposent expressément que R et R' sont de même signe, et représentent Tun un travail à l'extension et l'autre un travail à la compression ;
ni que I
;i3) peu iser de
lux ouvi usage ds
un otivi
laJFoati
^ I = j.La
s transv'
à dludû lulcur vt
10 nature ( le travail e
ip|)licable:
arrêté, on commencera par tracer la othèse où les sections transversales cessives couperaient les deux selles sous des angles % et k' égaux :
i revient à admettre que les aires des tioHS droites de ces semelles sont Jes, dans chaque section transver- :. Le tracé de celte fibre moyenne aisément par la méthode simple et s voûtes en maçonnerie par M. l'Ins desPonls et Chaussées, 1888, Tome son application,
■gonale ainsi obtenue, on relèvera la Iles, ainsi que l'angle ^ que font leurs
a poussée horizontale Q exercée sur ion constante qui se rapprocherait le c'est-à-dire qui aurait pour hauteur hauteurs de cet ouvrage, et, en désimaximum (charge et surcharge) supra dans chaque section l'aire Q et le s formules suivantes, où A et fl sont evécs sur le proiil de l'ouvrage :
tnser de calculer la poussée Q pror constante, et, on désignant par / che de l'arc (distance du sommet à calculer Û et I par les relations ap-
et I éta
i du Toi — art.
che de naux. L akulcr elles en les form Ion Iran
jlte mél 'écarte la droîti n'est p il d'arc doutes :
k neuve i libre i
i fibre, ■ l'cllcs :
a partir r refaire X et do!
elles (bi cmarqu •t do co changé irieure i resterai qui, poi liné les
W=V — J(tga + tga') + J^(«lga — alga').
nF
En général le terme (a tg a — a' Ig a) j est négligeable, et
fv
on peut se servir de la formule plus simple :
W = V-:J(lg3c + tg«'),
que Ton mettra sous la forme :
W = V — R(i> sin a — R'o)' sin cl .
Si la semelle inférieure est comprimée^ il est bien entendu que R' devra 6lre pris avec le signe — .
