A=KM
(2) A=KV'M,
(3) /i = ^A + BM — v^A (une semelle horizontale) ,
(4) A = VA, + B,M + v/A, + B,M — v/Â7— >/Â] (deux
semelles courbes).
Il reste à calculer les épaisseurs des platebandes et les sections des pièces de triangulation.
Platebandes. Conservant les notations de l'article 66, nous désignerons par e l'épaisseur d'une platebande mesurée normalement à sa direction et par c sa largeur horizontale. On I fera usage de la formule connue :
(0 cos a = ec cos a = — ,
D'où :
e cos a = -r * et c =
Rftc * Rhc cos «
On peut se dispenser de relever l'angle a sur le profil du
POITHES A TRAN ÉKS SOLIDAIRES.
pont el de chercher cos a, en remarquant que ^cosa, qui peut
être calculé sans connaître cos a, est la projection verticale de
répaisseur e.
Après avoir déterminé e cos a, on en portera la longueur
représentative sur la verticale EF passant au point Ë considéré sur la platebande \ on mènera Thorizonlale FE' coupant en E' la normale EE' à cette platebande : EE' représentera à réchelle convenue Tépaisseur cherchée.
Si la section de la platebande est symétrique suivant l'habitude, o> cos a a la même valeur pour les deux platebandes :
Si celles-ci sont de même largeur c, la longueur EF sera aussi la même pour toutes deux. Lorsqu'une semelle est horizontale (cosa= 1), son épaisseur est précisément égale à M
flg. 419
Me
ouEF.
e cos a = -— : c cos % est constant d'une KRc
Si le profil du pont est représenté par une des formules (1) ou (2) du présent article, on obtient pour e cos a des expressions simples, ce qui en facilite notablement la recherche.
Formule (1).
extrémité à l'autre de la poutre. La longueur EF se calculera donc une fois pour toutes, et en menant par E des parallèles
aux normales successives du profil en long, passant par les sommets correspondant à un certain nombre de sections e; Ei ¥1 ~ verticales, on obtiendra immédiatement, Fig. 120. par leur intersection avec Thorizontale
passant par F, les épaisseurs EE', EE'„ e!c., de la platebande qui se rapportent à ces sections.
Formule (2). ^ cos a =^ rr~ : e cos a varie proportionnellement à la racine carrée de M. On peut donc calculer cette longueur sans avoir besoin de relever h sur le profil en long.
Avec les formules (3) ou (i), il est toujours indispensable de
iLTUES DE IIALTECR VAlUAni.E. 337
il ea long: pour calculer lo rapport '-, ytique ne se préseolo pas sous une for-
Pour déterminer les scclions à attribuer e la triangulation, il est nécessaire cl il aleui' ma:{imum de l'effort tranchant ré- .ion quelconque (page 329).
>rrespond au maximum de l'effort tranjs avons désigné par T (page 3oO), est déjà énoncée :
par l'épure des efforts tranchants limi-
lî! en long de l'ouvrage. Mais Xr, va-
ssant qui correspond à l'effort tranchant connu, du moins la plupart du temps 1 le verrons ci-après, pour les travées nrcharge variable est uniformtîment ré-
iir exacte de W n'est donc pas possible, éalablcment l'épure des moments X, :
ertains cas beaucoup de peine pour un iportance. Nous verrons cependant que, s continues, ce calcul peut être effectué mples.
lent maximum M se compose de deux X dû ^ la charge permanente ; 2° le mo- Aù à la surcharge variable. Xr est néenlre X et M. On obtiendra donc une ? en remplaçant dans l'équation qui préle limite inférieure en remplaçant Xr
■ont g(5néralemenl peu écartées, de tulle ■mettra pas d'erreur sensible en attri-
)yenne — — = X -|-- ou — X + - •
la fait, le calcul de ^uation qui précè( lus avons déjà vu ose la surcharge ir ofil en long est dé
T est éga! à - lorsqu
l'on fait usage, poi
m i de l'article préi
coup de celte valci:
innaissant W, on ( guiation par la r de hauteur consla rt tranchant réduit
•. Épure» de» ni'
a première chose à ont d'une seule tra oids que représet mple des ouvrages iB forme, ou à t'aidi mstruction. Nous r aies à cet égard dai gc 215 du présent : programme des é; qu'ils devra rempli ts précis sur la sun 60).
conviendra ensuite
W^ fl
fléchissants maxima qui, dans le cas d'une travée indépendante! sont tous positifs et produits par la surcharge complète ; 2* Tépure des efforts tranchants maxima positifs T" et négatifs T', qui correspondent toujours à une surcharge incomptète; 3° si Ton veut une précision absolue dans le calcul de la triangulation, les épures des moments de flexion Xt// et Xt^, correspondant, dans chaque section verticale considérée, aux dispositions de surcharge qui produisent T" et T. Quand la charge [et la surcharge, continues ou discontinues, sont réparties d'une manière irrégulière, le tracé de ces épures peut s'effectuer soit au moyen de formules algébriques d'un usage pénible, soit par des constructions géométriques qui relèvent de la statique graphique, et sortent par conséquent du cadre du présent ouvrage.
Nous renverrons, à cet égard, aux traités spéciaux sur la matière ^
Nous ne nous occuperons que du cas, généralement admis dans la pratique, où Ton suppose la charge et la surcharge uniformément réparties sur toute la longueur de la travée^ la surcharge pouvant d'ailleurs être incomplète et ne couvrir qu'une partie de l'ouverture.
Désignons, comme nousTavons toujours fait, parp et par j»' les poids par mètre courant de la charge et de la surcharge, et par /l'ouverture de la travée. Nous nous bornerons, vu la symétrie de l'ouvrage, à donner les expressions analytiques de T\ T, Xt^' et Xtv pour la première moitié de la travée :
En se reportant aux pages 27, 28 et 33 du chapitre I, on voit immédiatement que les moments et les efforts tranchants maxima s'expriment comme il suit :
1. En ce qui touche la déterminatioa des moments fléchissants maxima produits par une charge irrégulière donnée^ ou par une surcharge mobile (train de chemin de fer), nous avons fait un exposé sommaire de la méthode graphique dans une note du tome I (page 513). On suivrait une marche analogue pour la recherche des elTorts tranchants maxima.
3(in l'OUritKS A TRAVKES
T-=ip(/-2x) + 'fcîï
Le calcul desmomenls fléchissa ne préseulcra aucune diFRcuIlé : a loin qu'il n'est pas toujours nécef et que l'on peut recourir encerlair immédiatement les sections droite torts tranchants réduits en fonctii tion, et ne contenant dautre vari.
1 SO. Tracé du prttSI en Iod|
la hauteur maximum H à altribuei où M est le plus grand, c'est-à-di Il ne nous paraît pas possible d'in
suivre. Dans les ouvrages csislani quemment égal à ; ta liauteui
pas s'écarter beaucoup en gêné pour les poutres de hauteur consl Le rapport -. parail devoir êlr poutre h deux semelles courbes qi semelle rccliligne ; pour une poul que pour une poutre à Iriangulati temps que la charge totale par mÈ
en. IV. — POLTRRS DE IIAUTEtlt VAUIARLK.
d'ouvcrlure, -; sera plus grand pour im pont-rail formé deux poutres deslinéss à porter deux voies que pour un pi rail à voie unique ; pour un pont-route à chaussée empie ou pavée sur voùlcs en briques, que pour un pout-rou chaussée plancliéiée. Il peut être bon aussi de tenir cotnptt l'effel du vent, qui exerce sur les ponts une action tenda amener le renversement ou le voîiement des poutres hautes : on sera parfois conduit par ce motif à réduire la I leur au milieu de la poutre.
Nous donnerons plus loin une liste des principaux ou jçes existants, qui pourront fournir au besoin des exemple des renseignements.
Supposons que l'on ait fixé la hauteur au milieu II, ci nant compte des conditions particulières où l'on se trouve
Il n'y aura plus qu'à établir le prolil en long, en appliqi une des formules de l'article H7,
Nous avons dans le cas présent: Mu= -{p+p'}P (
ment maximum au milieu de la poutre), et T, = -(p-\-j (réaction maximum d'un appui).
Les formules en question deviennent donc :
(1) A = KM=tHÎ(l -^ ;
(2) A = Ky'M = 2Il^î^1-î) ;
' (-411, Après avoir choisi la règle à appliquer, on pourra tracer
médiatemcnt le protil d'une ture l el la hauteur au milici pas dans les relations, celle!
que l'abscisse x, ou si l'on v
Les formules (1) et (2) soi poutres k semelles courbes < horizontale.
La formule (3) est applic:
remarquons qu'elle tombe qu'elle représente devient ir poutre dépasse le quart de inadmissible en pratique.
La formule (4) se rappo courbes : on établira sépan semelle, défini par sa haut( sous de l'horizontale passan
Nous avons tracé sur la pondant à la même valeur suivantes :
Les deux dernières courl
du présent article, où l'on
(courbe 3), soit la valeur 0,*
La figure 121 montre que
mule (3) est intermédiaire
formules (1) et (2), et se rap]
en. IV. — POUTRES DE HAUTEUR VAUrARLE. »
défaut, ce qui s'explique facilement, puisque la parabole ( même Ûëche -, qui est sa limite inférieure, coupe en ce ci
l'horizontale des appuis aous l'angle de 45° (;r=l pourx=:0 La courbe répondant i la formule 3 se trouverait ainsi tai gente à la parabole sur l'appui et au milieu, ce qui est impo sible. Cette remarque ne présente d'ailleurs qu'un intér théorique.
191. Calcul des platebaDdes. — Le profil en lor étant arrêté, l'épaisseur des platebandes se calculera par formule déjà énoncée à l'article 118 :
<iC03a:=eCC0Sa = — •
Nous allons voir ce que devient cette équation quand ( l'applique aux diiïdrcnts types de poutres, en commençan pour fourDir un terme de comparaison, par la poutre de ha teur constante. Nous supposons toujours que l'ouvrage est section transversale symétrique [R=R', ou u cos ac=<ù' cos a'
i POLTHIÎS A TRAVKIÎS SOUnAlIlES.
On a d'aiilcurs :
1" Poutine de /lautcur constante (à platebandes recliliics) : A = H.
2° Poutre à semelles paraboliques (indépendantes ou non) : = 41IÎ(,-Î).
(,) cos % est une constante : on sait que c'est la projection ir un plan vertical de l'aire d'une section droite quelconque une des platebandes. Lorsqu'une des platebandes est recligne, elle a une section constante dont l'aire est préciiment tïgale à - '-- - /". On réalise ainsi le véritable bote-
ring, formé d'un arc parabolique dont les exlrémilés sont iliées par une corde recLilignc à section constante. L'aire de la platebandc parabolique a pour expression :
Elle va on décroissant ii partir de l'appui ,
sqn'au milieu de la portée ,
Le volume par mùirc courant de cette platcbande dêcroil us rftpidoment encore, puisqu'il est reprc^senlé par l'expreson :
"* ' (p + V') f' + t(>ii'()-aji'
- POUTUES l>E II.VUÏEUH VAlIlAltLK. '.m
limites - — -:;— — : sur I appui.
8 RH l' "^ '
nilicu de la longueur.
le pro/il en /ont/ correspond à la relation : --] (avec ou sans semelle rccliligno).
melle esl horizontale, l'aire de sa section e par la relation précédente, où l'on pose a en croissant de l'appui, où elle est nulle,
où elle est égi
! courbe, on a :
^-±f>^Px{l-x)-^\V[l-2x)\
it depuis l'appui [= ■- j jusqu'au milieu
mèlre courant horizontal est :
^ l(p + p") l'x (i - X) 4- 11' [l - ixY
ir l'appui, la semelle étant verticale pour croissantjusqu'au milieu, où il esl représenté
le pi'ofil correspond à une des relations (3) et D, ou a été arrêté iVaprès une loi choisie arbt-
inde ulilitc à suhstiturr on pareil cas à /r,
|ui donne u cos a, son expression analytique
On obtiendrait des formules compliquées,
dont l'emploi ne serail pas C{ hauteur A, pour chaque secl poutre dressé à l'avance, et €
Connaissant u cos a, aiuE hanile.on obtiendra sans diffîi de son épaisseur, puis cett construction graphique de la
Lorsqu'on fait usage de pour le calcul de A, l'aire de de la platebande courbe, et deux platebandes réunies va portée, entre des limites fat suivantes ;
Aire de la semelle horizonls Aire de la semelle courbe Volume par mfetre des deux i
En prenant H = -, ce qui
pratique, on voit que le voli sur l'appui et au milieu, ce proposée pour le tracé du pn Nous verrons ci-aprcs (art une poutre de hauteur coni paraboliques de même hau
l'élévation au milieu atteint ; des platebandes dans le raf U= T^l, l'augmentation se
POUTHES de hauteur variable. 367
:rmédiaire de la formule (3), on réduira, au le poids des plalebandes, et on réalisera nomic sérieuse sur le poids de la triaagu-
iidi«MMite d'an ouvrace h ■emclles
- Si l'ouvrage étudié est à semelles indéêcessaire de le renforcer par une poutre à résister aux moments de flexion et aux condaires N et Z, produits par les surcharn'est pas nécessaire, d'ailleurs, que cette an peut, en modifiaDt convenablement les melle ou du longeron du tablier, attribuer diti^ nécessaire pour qu'il remplisse, outre elui de poutre raidissante quand la surle.
loulre raidissante devra s'effectuer de la I s'agissait d'un pont suspendu. Nous ne i les mémoires publiés sur cette question 3 ponts et chaussées (Carfar/, 1883, tome I; , tome II). Nous nous bornerons à énoncer .ytiques des moments et des efforts tranproduits par la surcharge incomplète la le nous emprunterons à l'étude de M. Ca-
ùihve moitié de la travée
ximum absolu; 0,045 p'I' pour :c=0,382 /.
Maximum absolu: Tzfl pour x^~-
nettent de déterminer sans difficulté les diebandes et des pièces de triangulation mte dont on se donnera le profil en long ir h' constante), eut attribuer à l'une des semellea du pont
3li8 l'OlïiŒS A TItAVLKS SC
la rigidité nécessaire pour qu'elle joue seule, on procédera comme il suil : s droite de celte semelle, calculée antéri
- Pont dellamboui
résister à la surcharge complète ; K '. raidissante cl a l'aire <Ic la section d bandes :
n conviendra de constituer la sem< tobandes situées à la distance h' l'ut
cune une section d'aire - + a, et n
triangulalion calculée pour la poutrt résister a l'elTort tranchant Z.
Si les deux semelles du pont doivei géra entre elles l'augmenlation de sec
ISS. Calcul de lo trian^ulatiOE
rons, vu la symétrie de l'ouvrage, à «
se rapportent à la première moitié de 1'
Pour calculer les éléments de la tri; sairc et il suffit de connaître, pour i quelconque, les limites extrêmes poi W que peut atteindre l'effort tranchât] des surcharges incumplèles les plus en général que la <lemi-ouvcrture se d t^rale positive, adjacente à l'appui (0
iV<;W'), comme dans le cas trailé dans l'ar-
pour le calcul des éléments de l'Ame en subsincbant réduit W ou W à l'effort tranchant 3rmute relative au.i poutres de hauteur cons- , sans autre changement dans la marche des
ns encore ici, comme terme de comparaison, tivcs à la poutre de hauteur conslantc. Nous valeur de W est fournie par la relation :
-, Xt dit Xj , , 'ï
ns analytiques de T etXr ont déjà été données
lauletir comlante. — L'effort tranchant réduit , tranchant absolu.
,lo positive s'étend de
i demi-ouverture fait partie de la zone cen- ;lle l'effort tranchant varie entre un maxict un masimuo) positif W.
melles paraboliques : h = iH- (i — r) •
ant réduit varie, pour une section quelconque, ima égaux et de signes contraires. La zûne nd donc toute l'ouverlurc. Il y a lieu de rc-
marquer ici que l'effort t ordonnées de la parabo
l'appui (j7 ^ o) cl maxim
Fig. 123. - Po 3» Poutre dont le profi
W" = -p(/ar)+-p
Les lignes rcprésentati calcul (le la triangulation potlièsu de la hauteur ci sont des paraboles.
Flg. 124. - Pon
L'origine tic la zûnc coi
Celte zûne est plus été teur constante.
lit dû à la charge permanente est la int absolu.
fil correspond à une des relations (3) 'après une loi choisie arbitrairement.
. eii pareil cas k substituer à. A et à
i donoent W"et W, leurs expressions
de l'abscisse x. Ces équations se comest plus simple de relever sur le profil essé au préalable, la hauteur h ainsi irmés avec rhorizontale par tes deux
ulcr Tj a H- Ty x égal à £.
des relations suivantes :
.+t«.-)]+lp'^'[i+î(ig«+%.')],
sur la rivière Kolomack (Russie).
centrale s'obtiendra en calculant un iirs de l'effort tranchant réduit W, à verlure, et dtHerminant par interpolainnule.
est nulle sur l'appui, W et W sont ité de la poutre, sauf bien entendu le
une des platebandes devenant vcrti- (A = Kv'M).
37i l'OUTHKS A Tlli
Au iitilieu de l'ouvcrlure, "^
vemeiit égaux à T' el T, ion
que les plates-bandes dcvicnm
aurons occasion de signaler p où cette condition, toujours r ne se réalise pas.
Connaissant les offods tra W' relatifs â une section Ir cillera sans difficulté l'effo
barre àe triangulation, lequi
désignant le nombre des triai semelles (page 223).
Nous ne reviendrons pas si systèmes de triangulation fai
Nous remarquerons toutefi verticaux avec tirants obliqui avantages nouveaux, qui pa rite incontestable.
F4g I«. -Pont de
i* La bauteui' considérabi milieu nécessite l'emploi (]o 1 et par conséquent trtjs lourde de réduire leur poids au ntii à la bauleur h (montants), tai
gueur atteint — -, généralen lembiirg sur le Leck, dont la a pnni nécessaire, pour cmp lauts, de les relier par deux se
- POLTIIES m HAUTEUR VAHIAULE. 373
nt au 1 /3 et aux 2/3 de la hauteur. Ces deux l'une et l'autre à une distance de la fibre
h, ne soulagent que dans une mesure insîlles principales. Elles servent uniquement à liants de fléchir. On conçoit que dans ces 'i du treillis ne puisse paraître recomman-
: leur courbure, lus semelles seraient rcn- -as obliques du treillis, dans le voisinage de angle très aigu : les assemblages seraient s et défectueux au point de vue do la stabiintanls verticaux et des tirants obliques,
les places de triangulation coupent les seuëre au-dessous de 45° (fîg. 126).
la zone centrale, où les efforts tranchants de changer de signe , est toujours plus outre de hauteur variable que pour la poutre itc. Pour les ouvrages à semelles parabooccupe toute l'ouverture (iig. 123). Or on utalion à montants, avec croix de Saintpérieurc, dans la ïOne centrale, au treillis,
sont soumis à des efforts alternatifs de
, nous croyons devoir rccommandor le sys- } verticaux avec tirants obliques pour les r variable; lorsqu'une semelle est parabolivantes), les croix de Saint-André doivent a longueur. Ce cas excepté, elles doivent tance de l'appui correspondant à la limite
r OUTRES A TRAVKKS SOLIDAIHES.
PONT DE SHARPNESS, SUR lA SEYfiRN.
$.Sâ0
^Mi ri III m 1,1,1,1 iiiiiiBBjâi
lai""""'"^
Fig- IdO. ~ Coupe transversale d'une travée de dS mètres.
PONT DE SHABPNESS, SUR Lk SEVEIIN
Plg. 131. — Coupe traDsrersale d'une travée de 50 mètres.
Fig. 133. — Appareils Je dilatation.
L'expérience jiislilie an naissons que doux ponls ( viaduc do rEffze(Hg. 133),
Fig. 183. - Viad'
travée de 51 m., à semell partie de l'ancien pont sur détruit. L'accident surven un titre eu faveur des dis teurs.
Nous ajouterons que les ont eu recours pour leurs à l'emploi des montants.
1>4. Ponts exi«tonts
cette étude par une liste d à travées indépendantes, i randière, que le lecteur ( détails sur leurs conditioi Nous nous bornerons ici i teurs. Nous avons cherchi de variation de leur haute sentée avec une précision ticle 120, s'en rapproche s puisse être faite. Il ne faul qu'il y a à appliquer stri écart entre la hauteur cale d'importance et influer s< platebandes et des pièces que, par un motif archilec
- l'OITRIÏS l)K ((AITKI'lt VAlUAhLE.
puisse être' conduit à remanier légèrrnienl sur les deasins d'eséculion le profil fourni par l'équaliou Uiéoriquc. Par exemple, pour les ouvrages dont le profil en lon^ est indiqué comme se rattachant à la formule h = >/A -\- BM — v A, les semelles sont souvent, non pas courbes, mais polygonales. Cette disposition, admissible lorsque les éléments rectiligues successifs sont reliés par des articulations, nous parait à rejeter dans le cas d'une semelle continue : il ne semble bon ni de plier les tôles aux sommets angulaires du profil, ni de les interrompre toutes en reliant les tronçons isolés de la semelle par des couvre-joints d'épaisseurs nécessairement excessives.
Nous croyons d'ailleurs que la tendance actuelle des constructeurs est d'éviter les changements brusques de direction,ct de faire décrire par chaque semelle une courbe continue à grands rayons.
La dernière catégorie des ouvrages portés sur notre liste comprend tes poutres dont la hauteur n'est pas nulle au droit de l'appui. Â priori, cette disposition ne semblerait pas économique ; mais elle permet d'établir,lorsque la semelle inférieure rectiligne porte le tablier, un conlrevenlement continu reliant les semelles supérieures, tout en laissant au-dessus de la chaussée ou de la voie ferrée la hauteur exigée par le gabarit pour le passage des véhicules. Ce peut être là un avantage sdrieux. On le réalisera en traçant d'abord le profil en long théorique le plus rationnel, et en le relevant vers les appuis de façon à ne pas descendre au-dessous de la hauteur exigée par le gabarit. L'augmentation qui en résultera dans le poids de métal Remployer ne sera jamais bien considérable.
Nous avons donné quelques dessins de détail du pont de Sbarpness snr.laSevern (fig. 127 â 132), qui présente une particularité intéressante : les semelles, au lieu d'être composées de tôles cylindriques à génératrices horizontales, superposées, sont formées de tôles verticales accolées. L'épaisseur variable, au lieu d'être mesurée, comme d'habitude, sur une verticale, est mesurée sur une horizontale, perpendiculaire au plan de r&me. Cette disposition nouvelle parait faciliter notablement l'assemblage des semelles avec les pièces de triangulation, et celui des grandes poutres avec les pièces de pont ou poutrelles
du tablier. Par contre, cite c des matériaux : les bords lou supérieure doivent èlro cou (tandis qu'avec le système h triées borizoutalus, ces I61es gitudinaus reclilignes], inco tructeurs du pont de Sharpne lateurs.
Fig. 185. - Pont su
FiR. m. - Pont de Moei
l'OUTllES DU UAUTKLlt VAltlAULIi.
