LISTE DR DIVERS OUVI
Ui>iitjiiatian
SemeUet
Deux sem'
(ng.l22)..
r.ralz (Mur)
Une scme ih'zzi m.(
Josepli II i\ Vienne
Semelle in
(Canal du Danube)
Semelle
S reliées
Deux sem
Sarp8fo3a{Norwègo)i
geron du
Im.aOA.
Windsor (Tamise)'
Semelle re 1 m 80|.
Deux sem<
Saltasli (Tamar) '
périeure liptique (
inférieur.
Sharpness(Severn)
Une serael inférieur
Deux seir
Mayence (Rhin)
geron du
gide (A' =
Florls(Iorf< Danube)!
le tablier
Nussdorff (Danube)'
AilsUden (Ruhr)
1. I-rs poiUs de Sarpsfoss. de classés dans la première eatégoi dans la quatrième.
smm
DéaignaUoQ
Garactèrea principaux
Pittsburg Deux semelles courbes.Tablier
(MoDongahela) inférieur
Rhenen (Leek) jUne semelle rectlIlgne.Tabller
^ j inférieur
Frédrlkstadt (Ly8e)P««'f"« «'cUllgne. Tablier su-
( péneur
(Semelle rectiligne. Tablier su-
Relbhausen (EfTze) | périeur.Triangulation à treil-
( lis simple (flg. 138)
a«*..ia» r^««* o». iSeraelle rectiligne. Tablier in- Anclen pont sur ) -, . m • i *• x 4 ^i . J^ < ferieur. Triangulation à treil-
( lis double
Rotterdam (Meuse) jUne semelle recUligne. Tablier
^ ' ) inférieur (fig. 124)
Dordrecht (Meuse)i id.
Brème (Weser) id.
4» h = y/Â+BM — y/Â
Corwey (Weser) «
Doemltz (Elbe)
Winz (Ruhr)
Erbach (Danube)
Gustrin (Warthe-Vorfluth)
Rivière Matina (Oo8ta-Rica)
Riv. Hawkesbury
(Australie)
Rivière Eolomacic
(Russie)
Semelle supérieure polygonale (Système Sch^vedler). Tablier inférieur
id.
id. (fig. 134)
id.
id.
;Une semelle supérieure polygonale. Tablier inférieur.
(flg.135)
I id.
jUne semelle supérieure cour- } be. Tablier inférieur (fig. 125).
PorMe
Hauteur
sur l'appui
1. Le pont de Dordrecht peut être classé dans la quatrième catégorie.
2. Les ponts cités, sauf peut être celui de la rivière Kolomack, s'écartent notablement du>rofll théorique.
380 l'OUTnK
Nous avons déjà m eu parlant des poutres que le moment de llexi
Considérons une po paisseur de chaque pli jusqu'au milieu de l'o sont calculées en vue c chant absolu positif
(^)— "-Cl
gulalion puisse résislei se manifestent dans la puis l'extrémité antér tainc distance de l'ap
= — — y Dans le cas
forcé de recourir à l'or le but voulu. Dans la lent les éléments comp tendus et les lignes po
Passons h. la poutre < mule : A=VÂ+BM-
L'épaisscur de cliaqi
Flg. 140.
— W'< W", sauf au m
Pour la poutre à se scur de chaque semelle La zùne centrale s'<5lei l'aulre : pour une se "W^ — W". La Iriaiigt vaillcr indifféremment tre-liranls ont donc ab
tirants, et, s'il s'agit d'une construction à montants verticaux, les deux bras de chaque croix de St-André doivent avoir la même section.
Enfin, si l'on passe à la ferme de toit, la transformation est
complète ; Tépaisseur de chaque semelle croit de l'appui jusqu'au milieu dans le rapport de 1 à 2.Les Fig. 141. efforts tranchants réduits sont
toujours négatifs, quelle que soit la disposition de la surcharge, et le sens de la triangulation est inverse de celui qui jconvient à la poutre de hauteur constante. Enfin W croît à partir de l'appui, et c'est au milieu de l'ouverture que les sections des pièces de la triangulation atteignent leurs plus grandes valeurs.
Si Ton voulait munir cette ferme d*une triangulation à montants verticaux, il faudrait adopter le type représenté par la figure 141 ; il n'y a pas lieu d'établir de contre-tirants, puisque l'effort tranchant n'est pas susceptible de changer de signe, et l'inclinaison des tirants est nécessairement inverse de celle admise pour la poutre de la figure 140. Ce type est défectueux, parce que les montants et les tirants rencontrent l'arbalétrier sous des angles très aigus et ont leurs directions situées d'un même côté de la normale à cet arbalétrier.
On peut recourir au système inverse et munir la ferme de tirants verticaux et de bras obliques ou contrefiches (fig. 142). Le tirant central ou poinçon est soumis à un effort de traction
représenté par - (/> + p')ly c'est-
à-dire égal à la moitié de la Fig. 142. charge totale : cela est évident,
puisque l'effort tranchant réduit change de signe et passe de
(p-|p')/à+ - (p+p')/, quand j: passe par la valeur -.Le
type représenté par la figure 142 a encore Tinconvénient de nécessiter des assemblages obliques entre les arbalétriers et les contrefiches, défaut grave surtout pour les fermes où les éléments comprimés sont en bois.
POUTRES A TUAVEES SOLIDAIRES.
Fig. 143. — Fig. 144.
Les deux types des ligures 143 et i44, dont le premier coinporle un poinçon ou tirant central vertical et des tirants obliques, et l'autre uniquement des tirants obliques, n'ofFrent pas ce défaut, puisque toutes les contrefiches rencontrent les arbalétriers sous des angles de 90** ; ils comportent nécessairement le remplacement de la semelle inférieure horizontale des figures 141 et 142 par une semelle en chevron formée de deux tiges inclinées se rencontrant au milieu (fig. 143) ou réunies entre les tirants obliques du faite par une pièce horizonlale (fig. 144),
La ferme Polonceau simple (fig. 145) est un dérivé du type de la figure H4 : elle ne comporte plus qu'une seule contrefiche, normale au milieu de l'arbalétrier. — La ferme Polonceau composée (fig. 146) est une poutre complexe analogue à la poutre Fink :
on en calculera les montants et contrefiches secondaires d'après la méthode exposée pour ce genre de ponts, dans le tome I des Ponts métalliques (page 158). Quant aux arbalétriers et tirants principaux, ils se calculeront comme dans le cas de la ferme simple.
Remarquons que TefTort supporté parla contrefiche centrale de la ferme Polonceau est double de Tefîort tranchant qui
correspond à l'abscisse J^= ;, comme dans la poutre Fink.
Il arrive parfois que la semelle inférieure d'une ferme de
toit, au lieu d'être horizontale ou en chevron, est profilée suivant une courbe parabolique tournant sa convexité vers
Le profil en long est alors défini par
la formule:
Fig. 145. — Fig. 146.
2(11 — a) Aa ,
Les relations à employer pour le calcul des semelles et de Teffort tranchanl sont dans ce cas :
dh ^ . 2 (H — a) 8a — = tsr a -4- Iffa' = — ^ 1 x:
(0 cos a = w' cos a' =
4 R {H —a) l + iax
Semelle supérieure ou arbalétrier :
4 R .(II — a) / + 2aa? '
Semelle inférieure :
Effort tranchant réduit :
Nous reproduisons ici une remarque déjà faite à propos des poulres courbes ou en chevron (page 341). Si Ton suppose H et /constants, les fermes à semelles inférieures surhaussées (fig. 143 à 146) sont théoriquement d autant plus lourdes que la flèche a de la semôlle inférieure est plus considérable. Toutefois leur emploi peut être justifié, au point de vue de l'économie, par la nécessité de réduire le plus possible les longueurs des contrefiches centrales, qui sont les plus chargées, lorsque la hauteur du toit R + a est fixée à l'avance et ne peut être diminuée. Il vaut toujours mieux,lorsqu'on en est le maître, diminuer la portée du toit et abaisser le faite, que de surhausser la semelle inférieure.
Emploi des formules exactes. L'axe longitudinal de la ferme de toit représentée par la figure 139 est une ligne brisée qui s'écarte notablement de l'horizontale^ avec laquelle chacun de
ses éléments fait un angle supérieur à — - — •
390 POUTBKS A TP
D'après la remarque faite ] plication à cette ferme des :
pour les poutres, qui supposi de la fibre moyenne, semble ioexacts. Il peut donc paratti bte, de comparer ces résultats exacte de l'article 10», et de mise.
Nous éludieroDs.dans ces i type représenté par la figure k l'arbalétrier, ou semelle su admettons que la charge et courant horizontal) sont int^ meile supérieure.
Soit AB une contrefiche, t lëtrier est à la distance horiz nous désignerons, comme compression subi en A par 1' tension subi en B par la sci composante verticale de l'cfï fort qui est par conséquent r
La hauteur Ac nu /t de la tion de l'abscisse x du point ,
La longueur AB do la < tion :
*cosa' 2Hx cosa' .„ yjl^ + 4 (H + a)«
m = = = 2nj: ^ — ■ — - •
C08 (« — «') l cos(a-a') /• + 4{H + a)a
Nous calculerons les efforts Ro), RV et en ég^alant suc-
cos a ^
ccssivement à zéro les sommes des moments par rapport à B et par rapport à A, ainsi que les sommes des projections sur la droite AB, de ces forces inconnues et des forces extérieures appliquées à la portion de ferme OAB, c'est-à-dire la réaction
* ip +/'0 / de Tappui 0, dirigée de bas en haut, et la charge
{p + p') X uniformément répartie sur la fraction d'arbalétrier OA, et dirigée de haut en bas.
Moments des forces par rapport au point B :
Rwr» = - (p+p') l{x-\-m sin a)—{p +p')x\--\-m sin a j ;
sin (« — «') 2
" sfl
Moments des forces par rapport au point A :
RVm cos(a— a')=- (p+pO Ix—^^p+p') x^=-^[p -f p') x{l—x) ;
2 * ■ f» cos (oc — «') 1 . , cos a , ,
Projections des forces sur la direction AB :
+ RV sin (a — a ) = j (/? + p) (/ — 2ar) cos a ;
cos a
W = - (p -4- pO cos '(x (/ — 2j:) — R'w' cos a sin (a — a')
392 POUTRES A TRAVKES SOLIDAIRES.
Nous résumerons dans un tableau comparatif les expressions analytiques d'<t>, d*ci)' et de W fournies par les formules usuelles et les formules exactes.
Formules usuelles
ou ^^^V/' + 4(H + û)« {l-x) ;
2 R sin (« — a')
Formuler exactes
îù
= - — : — ; (/ — x) — - — - — sm %x ,
2 R sm(a — «')^ ^ 2 R '
ou
!(£ + £') cosjt ''^i R sin (« - «'/^ - ^) '
W = — ^^ (/? H- p') cos \x ,
ou
en. lY. — POUTRES DE HAUTEUIl VARIABLE. 393
Dans le cas particulier où nous nous sommes placé, les deux méthodes fournissent des résultats identiques en ce qui concerne la semelle inférieure ((o'). Pour Tarbalétrier, celle concordance n*existe plus : l'effort R<ù calculé par la méthode ysuelle surpasse celui fourni par la méthode exacte de la moitié de la composante, suivant la direction de Tarbalétrier, de
la portion de charge et surcharge appliquée entre l'appui 0 et le
point considéré A : - (p + /?') sin olx, La méthode usuelle con-
duirait donc à augmenter, dans une mesure d'ailleurs très faible, alors même que Tangle a serait grand. Taire o de la section droite de larbalétrier. Elle pèche par excès, mais Terreur commise est peu importante.
Pour Teffort tranchant réduit, on constate un écart de même sens, mais relativement plus sérieux. La méthode exacte fait Connaitrc,ce qui était évident a priori, que la contrefiche supporte un effort de compression représenté par la moitié de la composante normale à Tarbalétrier de la charge appliquée entre 0 et A :
= — i (i^ + P') co^ *^-
COS oe
W Avec la méthode usuelle on trouverait pour une valeur
* COS a
plus forte :
COS a
Le rapport de ces deux valeurs est — --. Pour
*^* COS* a
' COS* a
TefTort de compression indiqué par la méthode usuelle serait le double de TefTort réel, fourni par la méthode exacte.
En résumé, la méthode usuelle donne des résultats d'une exactitude suffisante pour les semelles et Terreur commise est par excès. Pour la triangulation. Terreur par excès est relativement plus forte, et il peut être utile, au point de vue de l'économie, de recourir ^ la méthode exacte.
394 POUTRES A TIUVÉES !
Les constructeurs calculent que comme des poutres à travées solidai constitués par les points d'attaché i trier delà figure U5 serait une pont cens des figures li3, 144 et 146 def etc.
Nous estimons que cette manicre qu'un arbalétrier fût assimilable à u drait que ses points d'assemblage ai fises, ou tout au moins restassent | droite, après la déformation comme ligne des appuis est, en effet, l'hypc théorie des poutres continues.
Si nous admettons que, dans la f gure 148, les points 0, A et F, situé l'on ait appliqué la surcharge sur le I nous aurons une condition nouvelle mer analytiquement par une formu des malériaus, et contenant les incoi les trois relations déjà fournies par relatives au:E conditions d'équilibre tuées dans un même plan, cela ne entre trois inconnues seulement. Il conditions et on se heurtera à une i
£n somme, une ferme de toit se ( surcharge de la même façon qu'une les primitivement recliiignes se cou n'est pas permis de supposer que l'u exemple, puisse continuera avoir u en ligne droite.
Pour qu'il en fût ainsi, il y aurait ptioable & une poutre quelconque tensions et des compressions initial construction, avant d'appliquer la tirants k l'aide do tendeurs, on pou l'arbalétrier et ce dernier, chassé à légèrement en tournant sa concav rait production de moments de flei
et CCS moments, combinés avec ceux produits parla surcharge sur chaque fraction d'arbalétrier limitée à deux contreiiches successives, donneraient une épure analogue à celle d'une poutre continue.
Un pareil réglage de la ferme paraît malaisé à effectuer avec quelque précision : on ne voit pas d'ailleurs en quoi il serait utile, et nous n'avons abordé celte question que pour faire ressortir l'erreur commise en assimilant un arbalétrier à une poulre continue.
sot. EYaluation coaipaFatlYe des poids de diiréren« tes poutres. — Considérons les profils en long de la fig. 149, qui représentent entre Tappui de gauche et le milieu de l'ouverture les semelles supérieures d'autant de poutres à semelles
inférieures horizontales.
Poutre 1. — La semelle supérieure est une droite qui va en s'abaissant de Tappui au milieu : A = H + « f 1 — y j •
Poutre 2. -^ La semelle est horizontale : A = H.
4H Poutre 3. — La semelle est parabolique : h = '— x{l — x).
Poutre 4. — La semelle est rectiligne et la hauteur est nulle
2Ha?
sur l'appui (ferme de toit) : h = — -
Fig. 149.
Supposons que chaque poutre ait une âme pleine dont Fépaîsseur varie d'une section à la suivante,de façon que son aire soit rigoureusement proportionnelle à l'effort tranchant réduit produit par une charge 2 pi uniformément répartie sur louto
390 POUTUES A THAV
l'ouverture, el que les semelles une cxaclilude parfaite en vu( flexion dus à cotte charge.
Le volume de mêlai à emplo; tiendra en calculant les intégral
Semelle supérieure : / -^
' -^ COS a
Semelle inférieure horîzont
Ame d'épaisseur variable :J
Nous donnerons immédlalci lion pour les différents types él
Poutre 1 . — k = \
Volume des deux plalobande
Volume de l'ftme :
UH'-^^
Poutre 2. ■
Volume des platcbandcs :
Volume de l'âme :
TT
Poutre 3. — h= —x{l — x).
Volume des platebandcs :
