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Nous avons numéroté (1) et (2) les équations donnant les flèches / et /" relatives aux articulations : ce sont les seules dont nous aurons occasion par la suite de faire usage.
Travée à articulation unique. — Supposons que la travée A A' ne possède qu'une articulation, située en 0 (fig. 184).
Or
al « \f
Fig. 184.
Nous pouvons calculer sa flèche d'abaissement /soit par la formule (4) de Tarlicle précédent :
, . /*« X (a-x) dx
soit par la formule (2), puisque le point 0 appartient à la fois aux deux consoles AO et OA', réunies à leurs ahouls opposés par une articulation.
11 suffit de remplacer dans cette formule (2) f par /, et a par «, ce qui donne :
Retranchons cette équation de la précédente. Nous obtenons une relation nouvelle, qui exprime que les abouts des deux consoles opposées sont toujours au môme niveau, en vertu de la liaison établie entre eux :
/ /v /v/ /» X r \ {a—x)dx
ti — ii' — ^a — H'il — a)—\ — --^=0.
m l'oiïitEs
Nous aurons égaleme Il est d'ailleurs Rvidei mée seront celles di'jà d la Iravéc il double arlici nous abstiendrons de le Travée sans arliculalù comporic aucune arlicul
LY'qualion fondamen
de la fornuL', qui est conl
Équations de la fibre i
Flèche an milieu de li
CHAP. V. — fONTS-GHUES. 461
Si 1*011 pose x = l dans les équations de la libre moyenne,
/Vif
on doit trouver - =-f- ^'^^ y= — u\ puisque la section con-
sidérée sur la poutre est celle d'appui A', dont les déplacements verticaux et angulaires ont été désignés par + 6' et Cela nous donne les conditions suivantes :
141. Déformation den piles. — Pile encastrée. — L'action exercée par une console sur sa pile se traduit par une force verticale Q appliquée au centre de Tappui, que nous affecterons du signe + si la pile est comprimée, et un couple dont le moment jjl a été appelé précédemment le moment de renversement de la pile. Nous attribuerons à ce moment le signe + s'il tend à faire déverser la pile de droite à gauche, en la rapprochant de la pile précédente.
Par suite de l'élasticité de la matière qui constitue la pile, la force Q et le moment jx déterminent un déplacement vertical du centre de gravité, ainsi qu'un mouvement angulaire du plan de la section horizontale supérieure de ce support. La pile étant d'ailleurs reliée invariablement à la console, les déplacements vertical et angulaire dont nous venons de parler seront précisément ceux relatifs à la libre déformée, que nous avons désignés à l'article précédent par u et 6.
En vertu du principe de la proportionnalité des efforts exercés sur les corps élastiques et des déformations correspondantes, on a :
w=YQ, et 6= F;/,
Y et r élant des coefficients numériques, indépendants de Q et de jy., qu'il est toujours possible de déterminer pour une
pile mélaliiquG qu( et la nalurc! du n ce qui concerne le la quesUon csl Irai bornerons à admel calculés à l'avanci la queslion.
On voil alors qu où les IcUres u et d'appui d'une coni ces inconnues par la réaction Q exen de renversemeul jj
Cas particulier.
dée comme indéfoi et du moment d'i soumise, sous l'acl travail à la compn nor une déformatii d'une piie en maç( versement n'affecti être considérés alo ne ment précédent aux coefficients F les conditions où ( riable.
Pile non encastr verticale Q : elle r
On a
Le (téplacemenl pui se manifeslc d'un appareil de si poutre à travées s ust nul. On peut ei de !39 le déplaceu
CHAl>. V. — PONTS-GRUES.
on n'a plus le droit de substituer à Ha valeur FfA, qui n'aurait aucune signification, le moment ^l étant nul, et l'inclinaison de la console étant indépendante de la résistance à la flexion de la pile, que mesure le coefficient F.
.149. Défortiiatioii de» poiits«irrue0 ordinaires. —
Considérons un pont-grue ordinaire et supposons qu'on ait dressé l'épure des moments fléchissants X et celle des efforts tranchants V en suivant la marche indiquée à l'article 137.
Pour une pile quelconque, l'effort vertical Q transmis par le pont est représenté en grandeur et en signe par la diflcrence des efforts tranchants développés, au droit de la section d'appui, dans les travées précédente et suivante. On peut donc le relever sur l'épure des efforts tranchants.
Flg. 186.
Pour une pile encastrée, le moment de renversement ja est fourni en grandeur et en signe par la distance des points d'intersection avec la verticale de la pile des droites D de la travée précédente et de la suivante; d'après la convention posée à l'article 139, ♦/. est positif si le point d'intersection relatif à la travée précédente est au-dessus de celui relatif à la travée suivante.
401 POUTHI
Dans la figtii-e I8&, consécutives sont i-cpi
Si le point N était a PourqueQ fùlnégB (iessua de l'horizontale zontale menée par s' ; ment pour celui de ce:
zontale correspondant* Connaissant Q et <j.
duirons les valeurs, ei de l'angle Q par les rel des cocflicicnts nuni< chaque pile.
Si la pile eslt^n maç
Pour chaque pile m
H = yQ, Mais, ic moi
disposera plus d'une ft
Si la pile est en mat
En (léfinitive, les u i
nés immédiatement, à
l'épure des elTorls tran
Icment calculés, en se b
pour les piles encastrét
gles demeurent iiiconr
Nous nous proposoii
/'subis par toutes les a
Nous t'crirons à cetti
entendu que l'origine <
gauche de chaque Iravi
sont représentées par 1
rapportent au second i
CHAP. V. — POiNTS GRUES. 463
1» Travée de rive gauche.
a. — Pourvue d'une articulation.
(2) f^u' + ii^{l-a)--f^^
b, — Sans articulation.
En général le tassement u de Textrémité appuyée sur la culée peut être regardé comme nul.
2* Travée intermédiaire.
-ftO dx
a. — Pourvue de deux articulations.
b. — Pourvue d'une seule articulation.
(1) f=^u-^a-j^ — Êï— '
c. — Dépourvue d'articulation.
(4) 9,.+j-'ïiî = „,
(5) „„.,/ £L!tp = „,
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moments fléchissants X et des efforts tranchants V, relatives à l'ouvrage considéré, avaient été dressées au préalable en appliquant la méthode de Tart. 137, et que ces épures fournissaient immédiatement d'vjne parties valeurs des réactions Q exercées par les piles et des moments de renversement jx. qui leur sont transmis, de Tautre le moment de flexion X pour une section quelconque, renseignement indispensable pour calculer, au moyen de procédés de quadrature analogues à celui de Tarticle 79, les intégrales définies qui figurent dans les équations du 1*' degré à résoudre.
Lorsqu'on a affaire à un pont-grue mixte^ il n'est plus possible d'établir les épures des moments fléchissants et des efforts tranchants par la méthode de l'article 137. Nous ne pouvons donc plus opérer comme dans le cas des ponts -grues ordinaires; les seuls renseignements dont nous disposions, avant d'entreprendre l'étude de la déformation de l'ouvrage, nous sont fournis par l'épure des moments fléchissants S et des efforts tranchants (j calculés dans l'hypothèse de l'indépendance des travées: il est toujours possible bienentendu de dresser cette épure, puisqu'il suffit de connaître la disposition de la charge et de la surcharge appliquées sur chaque travée considérée isolément.
Reportons-nous à la figure 186. Les courbes BSA et AS'B, msn et m V;i' ont été tracées. Mais pour les droites D, c'est-àdire MN pour la travée BA et M'N' pour la travée AB, nous ignorons quant à présent leurs directions effectives : par suite, nous ne connaissons pas non plus les positions exactes des horizontales s et s', qui complètent Tépure des efforts tranchants. Ces horizontales doivent couper les lignes mn et mV aux points 5 et s' , qui correspondent aux points de contact des courbes S et S' avec les tangentes parallèles aux droites D.
Désignons par M et N les moments fléchissants négatifs représentés en grandeurs par les distances MBet NA, et prenonsles pour inconnues du problème.
Soient S les ordonnées de la courbe BSA,fournie8 par l'épure ; (S les ordonnées par rapport à l'horizontale ba de la courbe mn, également connues ; enfin C la réaction qu'exercerait la pile sur l'ouvrage si les travées étaient indépendantes :
C = an + am' = m'w.
Ces prélimioaircs établis, considérons un pont-grue mixte de n Iravées, comportant R articulations, et II piles non-encastrées. On a par définition : R -f II < 2n — 2.
Nouç commencerons par écrire les 2;2 — 2 équations (1), (2), (3), (4), (5) dont nous avons parlé à propos des ponts-grues ordinaires à raison d*une par travée de rive, qu'elle ait ou non une articulation, et de deux par travée intermédiaire, qu'elle soit à double ou à simple articulation, ou sans articulation. Il n'y a qu'à se reporter à Tarticle qui précède : la marche à sui< vre est la môme, que le pont-grue soit ordinaire ou mixte.
Nous pourrons écrire d'autre part R équations nouvelles, exprimant qu'au droit de chaque articulation de l'ouvrage le
(tlî\ X
nuler.
Soit a l'abscisse de cette articulation ; on a :
(I) o = Sa + M(l -J) + Np
Enfin, sur toutes les piles non encastrées, le moment do renversement est nul : pj. = 0 = M' — N ; d'où :
