CHAPITRE X. — ZENON d'ÉLÉE

.s'il y a un élément final, il sera rigoureusement nul (application du principe des limites), ce qui se confirme d'ailleurs par cette raison que la division ultérieure n'est plus possible, parce qu'alors l'élément ne présente plus de parties différentes l'une de l'autre, qu'il est rigoureusement réduit à un seul et même point; or, l'addition de ces éléments nuls, si nombreux qu'ils soient, ne peut jamais donner qu'une somme nulle. Par conséquent, la chose divisée ne peut avoir aucune grandeur.

Mais (seconde partie du dilemme) l'adversaire peut soutenir que la division ne donnera jamais que des parties ayant une grandeur et que, par conséquent, l'élément final en aura lui-même une; dans ce cas, comme la division se prolonge à l'infini, il y a un nombre infini de ces éléments; donc la chose divisée aura une grandeur infinie.

En somme, Zenon démontre rigoureusement que le continu (c'est-à-dire le divisible à l'infini) ne peut être conçu comme une somme d'éléments indivisibles, suivant le préjugé vulgaire adopté par les py thagoriens ; car, si ces éléments n'ont aucune grandeur, leur somme ne peut en avoir; s'ils ont au contraire une grandeur, comme leur nombre est infini, leur somme serait infinie.

7. Simplicius dit encore (avant le dernier passage qui précède, 30 b) que Zenon démontrait que, s'il y a pluralité, les mêmes choses sont limitées et illimitées. « S'il y a pluralité, il est » nécessaire qu'elles soient autant qu'elles sont, ni plus, ni moins. » Étant autant qu'elles sont, elles seront limitées; mais s'il y a » pluralité, elles sont illimitées; car il y en a toujours d'autres » entre les unités, et encore d'autres entre les précédentes, et ainsi » les choses seront illimitées. »

C'est ce passage que Simplicius dit donner textuellement; il est clair que sa brièveté est très suspecte ; mais le sens général n'est pas douteux. Ici Zenon amène réellement son adversaire à une contradiction : dire que les corps sont une somme de points, c'est admettre implicitement que le nombre de points y est limité, mais il est certain au contraire qu'entre deux points, si voisins qu'ils soient, du moment où ils ne se confondent pas rigoureusement, il y a d'autres points, puisque la division à l'infini est toujours possible. Tel est bien certainement le sens de l'argumentation que Zeller a mal rendu, quoiqu'il ait reconnu le Xéyoq de la dichotomie, comme disaient les anciens. Ce terme vient évidemment de

ce que, dans ses divisions, Zenon procédait toujours par moitié, pour plus de simplicité.

Le même mode de division était employé par l'Éléate dans le premier des quatre arguments sur le mouvement, que rapporte Aristote {Phys., VI, 9).

« Il y a sur le mouvement quatre Xô^oi de Zenon, dont la solution présente des difficultés : le premier, sur ce qu'il n'y a pas de mouvement, parce que le mobile doit d'abord parvenir à la moitié avant d'arriver au but; le second est celui qu'on appelle l'Achille ; il consiste en ce que le plus lent ne sera jamais atteint dans sa course par le plus rapide, parce qu'il faut que le poursuivant arrive d'abord au point d'où est parti le poursuivi, en sorte que le plus lent aura toujours quelque avance. »

Dans le premier argument, en effet, la dichotomie conduit à un nombre de points infini et il est impossible d'occuper successivement un nombre infini de positions dans un temps fini; au contraire, dans le célèbre argument d'Achille et de la tortue, le nombre infini de positions successives était autrement conclu, tandis que le principe admis pour établir l'impossibilité était le même.

Mais il est clair que ce principe pouvait donner lieu à objection et l'on n'a pas remarqué jusqu'à présent que les différents arguments sur le mouvement constituent les différentes branches d'un dilemme double. En fait Zenon ne veut nullement nier le mouvement, mais démontrer qu'il est inconciliable avec la conception de l'espace comme une somme de points.

Son premier argument part de la dichotomie, toujours admise a priori comme pouvant être indéfiniment prolongée. Mais l'adversaire ébauche peut-être la distinction d'Aristote, il objecte que ces points en nombre infini ne sont donnés que par la division, que celle-ci demande un certain temps et que le mouvement la devance; Zenon lui répond par l'Achille, argument auquel ne peut être faite la même objection.

8. L'adversaire remonte alors au principe qu'il a concédé trop facilement. Le temps fini n'est-il pas lui-même susceptible d'une dichotomie à l'infini? N'est-il pas, lui aussi, une somme d'instants? Et qui empêche alors qu'à chaque position successive corresponde un instant .'

C'est contre cette conception que sont dirigés maintenant les