VALEUR
valedA
VALEDE
VALEck
TALECR
VÀLBOa
de X pont
de X pour
de I poîir
de X pour
de X poa^
df 5
de
labermeéUnt
la benne étant
la berme étant
la berme étant
la benne étant
Dulle.
nulle.
nulle.
totJtle.
nulle.
nulle.
Infini.
ApplicaHoii. Quelle doit être Tépaisseur d'un mur de quai de 7 mètres de hauteur, le poids du mètre cube de terre et de maçonnerie étant respectivement ioOO et 2250 kilogrammes, et a= 45* ou /=tanga=l?
Ayant |j = ;j=0, etg-= j^^- = 1 , 5, le tableau donne x = 0,270.
L'épaisseùi* du niur en mètres sera alors 0,270x7 = l-,89.
Si les valeurs de/ et de j différaient notablement de celles de la
table, on prendrait pour x une valeur proportionnelle entre celles de la table qui correspondent aux nombres les plus rapprochés des données.^
978. Epaisseur des murs en fnerres sèches. On prend ordinairement pour cette épaisseur i/4 en sus de celle que donneraient lès formules précédentes pour un revêtement en maçonnerie dé même hauteur et placé dans les mêmes circonstances.
875. F étant Texcès de la poussée Q sur iè frottement (ll3 et 270), le tout calculé au niveau du sol inférieur, on idorine, pour déterminer la profondeur h^ a laquelle il faut descendre la ibndàtion pour résister avec sécurité au glissement, la formule
/i,= i,4tàné^a y^^: (il)
a Mt, comme au n* 173, l'angle de la verticale avec le talus naturel dés terres ; d est le poiâk du mètre'cube de ces terres. Sur îin sol de sable argileUt, qui.est celui od le gllésementcst surtotlt k craindre, on aurait fetiviroria :r:6D*, tf := 1500^ et 0,30 i^out le cbelllbient de frottement dii mur âur le sol.
Cette fbnhhlç est également applicable aux fondations des batardeàut et des réservoirs (276 et 277).
Nous avons vu, aux n** 173 et 270, comment on calcule la poussée Q et lé frottemeiit du iiittr sur sa base; on a dotlc le moyen de déterihlher F.
Ainsi, ayant calculé Tépaisseui* des ihiirs^ coiiime on Ta fait application du n^ 271; an nlveaii du sol inférieur^ on détermine F; puis la formule |)récédente (a) doitne là profondeur A^ a laquelle il faut descetidre 1& fotidation.
974. Oti dbtine aussi, pour déterminer, avec une approximation suffidafit«, la pouësèe horizontale Q de^ terres et la position de
380 i'K£MiKK£ PARTIE. — MAÇON. NElUfi ET TERRASSE.
*'*s- 83. g^n point d'application, le procédé
T j^ graphique suivant Ifig. 83).
/^ ^x^' -^9 On abaisse du pied intérieur B du
/ mur une perpendiculaire sur la direc-
/ ' tion du talus naturel ED des terres, et
y on la prolonge jusqu'à la rencontre
de la plongée FE en 0. Déterminant
le point de rencontre H de BC avec
* ED, et prenant 01 = OH, on a la
poussée
Q=idxBp.
Le point d'application de la poussée Q se trouve moyennement à 0,35 BH à partir du point B (473).
27». Murs consolidés par des contre-forts. On augmente beaucoup la stabilité des murs de soutènement, en adossant des contre-forts en maçonnerie contre celle de leur face qui est en contact avec les terres, ou contre la face opposée, comme cela a lieu dans les barrages de quelques réservoirs; les contre-forts intérieurs ont encore l'avantage de diviser le prisme de plus grande poussée, et par suite de diminuer cette poussée.
Les contre-forts isolés n'ayant pour objet que de rompre le prisme de plus grande poussée, ils sont ordinairement employés dans les lieux où la pierre est très-abondante, et on les exécute en pierres sèches. C'est ce qui a été fait très-judicieusement dans diverses circonstances sur le chemin de Saint-Germain, où l'on avait en abondance des mauvais moellons provenant des déblais et ne pouvant servir qu'à faire des remblais et des contre-forts abrités de la gelée.
Le mur de quai de Ghâlons, construit par Gauthey, a 5 à 6 mètres de hauteur; il a 0",65 d'épaisseur en haut et 1",45 en bas, avec 1/12 de fruit sur le parement vu. Les contre-forts ont 1 mètre d'épaisseur et autant de saillie; ils sont distants de 5"',30 d'axe en axe; ils sont reliés par trois étages de voûtes en décharge de l'',60 de hauteur sous clef. Par cette disposition on a économisé 1/3 de la maçonnerie.
Dans les quais de Paris, on a rattaché aux murs des contre-forts distants de 6 mètres, ayant 2",20 de longueur et i",20 à 4",50 de largeur. Ils supportent des trottoirs qui ont 3 mètres, le parapet a 0",50; mais on ne les a reliés que par une seule voûte placée à là partie supérieure. Gette disposition exige plus de maçonnerie que celle de Gauthey; mais elle diminue les frais de construction de voûtes. Un motif indépendant de l'économie aurait dû engager à adopter ce système, c'est la facilité qu'il présente d'établir solidement les trottoirs
ML'RS. 38i
sur les voûtes eu décharge. Sur plusieurs quais de Paris, établis dans un autre système, il y a pendant longtemps des tassements dans les terres rapportées derrière les murs ; de sorte que si Ton y établissait des trottoirs il^ seraient continuellement dégradés pendant un grand nombre d'années par Feffet du tassement.
La disposition de contre-forts reliés par des voûtes est généralement imitée aujourd'hui pour la construction des chaussées d'étangs, des murs de soutènement exécutés le long des routes en remblai, etc.
L'épaisseur à donner k la partie de mur comprise entre deux contre-forts, ainsi que les dimensions de ces derniers, pour qu'il y ait k la foie stabilité suffisante et diminution du cube de maçonnerie, ont été l'objet d'études théoriques et d'expériences pratiques nombreuses pour plusieurs ingénieurs et constructeurs distingués, et particulièrement pour M. Lé veillé, ingénieur en chef des ponts et,chaussées. C'est d'un excellent mémoire sur l'emploi des contreforts, que cet ingénieur a publié, en mars 1844, dans les Annales du corps auquel il appartient, que nous extrayons le résumé suivant des principales considérations qui s'y trouvent développées.
Un contro-fort communique à la portion de mur contre laquelle il s'appuie une stabilité relative qui permet de la supposer fixe, du moins en la comparant aux autres sections du même mur. Dès lors, si les pierres, les moellons, ou même les grains de sable, de mortier, de terre, qui occupent l'intervalle entre deux contre-forts, sont tellement agencés et serrés les uns contre les autres, qu'aucun d'eux ne puisse prendre de mouvement sans faire éprouver aux autres un certain déplacement, la fixité de ceux de ces points qui correspondent aux contre-forts fera naître des arcs-boutants qui, dans certains cas, détruiront complètement l'action des forces extérieures.
Ainsi, lorsque le fond d'une caisse contenant du sable tassé vient à céder, une portion du sable immédiatement en contact avec )e fond suit le mouvement; mais bientôt il se forme, au-dessus de la partie qui a cédé, une voûte dont la flèche dépend de l'ouverture, et le massif de sable peut résister, en cet état, à des surcharges considérables.
En 1836, M. Léveillé a pu, dans le fond d'une caisse cubique, de 1",20 de côté et remplie de sable sur i mètre de hauteur, enlever un cercle de 1 mètre de diamètre, sans qu'il s'échappât autre chose que le sable nécessaire pour mettre a découvert une voûte de i mètre de diamètre sur 0",60 de flèche. Cependant, la clef de cette voûte avait été chargée, dans un rayon de 0"',10, de poids additionnels formant une pression de BOOO kilogrammes par mètre carré.
Dans un article inséré aux Annales des ponts et chaussées, année 4833, M. Vicat rapporte un fait qui s'explique parles considéra-
tions précédentes. Le voici : « La rupjure, pour un prisme* reptangulaire de plâtre de p",03 d'épaisseur, suf O^jlO de portée, s'effecfue au milieu, seulement sous un poids de 33", J5; m^is ce poids n'pp reste pas moins suspendu sur le joint des deux parties arp-bqutées, lesquelles opposent encore une résistance qui ne ppurr^^ être vaincue qu'autant que la matière refoulée sur elle-même §e bpsera au point d'arc-boutement; alors les ruptures au point d'epcastfe|:|ftfi^J djBviendront possibles. »
Enfin la théorie des voûtes repose uniquement sur Tobseryatio^ des faits suivants : si le mouvement, sojt de rotatipi^, soit de glisseîppnt, soit résultant de ces deux mouvements partiels, ne peut avoir lieu dans une partie du corps sans qu'il eu résulte des pressions contre les faces qui limitent cette partie, et si la résistance des partics pressées est suffisante, il naîtra des réactions qui se combineront avec les forces motrices et pourront ^nnil^ilpr leur effet. 0|*, Texpérience de tous les jours mpntrq que Içts murs, dont certains points sont retenus par des contre-forts, des mur§ de refend, de§ jambes de force, se courbent entre ces points ayant que leur chu^e soit complète, et souvent môme tout le mouvement se borne à cettp courbure.
En 1836, M. Léveillé a p^ évider assez un mur de soutea^mept, pour qu'au milieu des 4",75 qui séparaiept ses contre-fqrts e;^iér. rieurs il n'eût que 0",5Q d'épaisseur. Çepei^dapt il ^tait construit eft moe|)pns ordjn aires et supportait plus de 7 piètjres de jiautev^r dç terres nouyclîement remblayées.
Ces jijyer^es cppsjdérations pnt condujt ^» |.éveillé à peq^er que, dans remploi des cq]ître-forts, on 4oit détermiper ^'épaisseur du ip^F. entre cl^ajîun d'eux, cpmipe pn le ferait d'unp vpû^e o\k d'v;ne pla^bande (268); seulement op devr?^ prendre, 4ws Texécution des n^çonneries, les soins nécessaires povirque les pierres pe pwissf i^J gas bouger isolén^ent, et ne permettre l'action des forces extérieure! qu'à l'instant oix le mortier aura acquis jie la d^fet^.
L'existence des contre-forts a donc pour premier effet, sur le ipur proprement dit, de mettre en jeu la résistance à l'écrasement; et cette résistance, la plus considérable que les ma<^onn^nes puissent présenter, permet de réduire notablement leur épaisseur.
Il est vrai que cette substitution n'est qup partielle dans le &y»tème, et que définitivement le moment de s^biUté devra seul contre-balancer Ip ipoment de la poussée des terres.
Mais ici se présente l'avantage bien cofln^ de l'emploi des contreforts, celui d'augmenter le bras de levier de ]^, paço^inerie (870), et, par suite, de permettre la diminution du ppbe.
En résumé, le présent article a pour but princip^i 4^ déterminer le painii^una d'^p^jsse^r W^ Von puisse et g^f. l'on fj^iyç dpn.^er à
«un». 383
la partie 4u V^^v cpmprise entre |es contr^fprfs ; pt cette (Jéfermîp*tion est fondée sur cette idée, que le mur, entre cps annexes, dpit êtr^ copsidéré comme une plate bande dont le poids propre est détruit par la résistancfi du sol, e\ gui, paj: suite, n'est povjssé que jfi^ les forces horizontales de }a ppvjssée.
Partapt de ces cqnsidérations, M. Léyeillé est afrivé aux forqiule^ suivantes :
i" C antre-for is extérieure.
H k — dt^n + h) *^"~ 8^ dt*{H-hh) ' fa)
D intervalle de deux contre-forts voisins ou longueur de mur qu'ils interceptent; H hauteur du mur et des contre -forts; h hauteur des terres au-dessus du sommet du mur; k poids qu'un mètre carré de maçonnerie peut supporter sans altération (101); d poids du.mètre cube de terre (101); /•=taDg*ia; a angle que forme le talus naturel des terres avec la verticale (173).
^ = Di/?^^!i!LL^, (6)
e épaisseur du mur entre les contre-forts.
dt^li+h) ^ -"^ — dj!î(H + A)' ^ ^
e' épaisseur des contre-forts.
/ longueur des contre-forts. Cette formule donne / dans l'hypothèse de Téqui- Dbre mathématique autour des arêtes extérieures des contre-forts, et en supposant verticales toutes les fhces des contre-forts et du mur;.
(f poids du mètre cube de maçonnerie.
y=^,[e{l> + e) + e'i]. le)
V cube de maçonnerie pour une longueur L de mur.
f Contre-forts intérieurs.
Les formules précédentes supposent les contre-forts placés à l'opposite des terres; c'est la position la plus convenable qu'on puisse leur assigner sous le rapport de Téconomie; mai.s, dans une foule de cas, il y a obligation de les appuyer contre la iaee ppposée, et
cette disposition apporte forcément des modifications dans les diverses dimensions.
La poussée agit dans ce cas en partie sur le derrière des contreforts et en partie dans leurs intervalles, et cette dernière fraction de la poussée totale est reportée, comme dans le premier cas, sur la zone de mur qui correspond aux contre-forts, si toutefois cette zone peut être considérée comme formée de points fixes.
Mais il arrive trop souvent que la force de cohésion qui rattache le mur à ses contre-forts n'est point assez considérable pour qu'il n'y ait pas séparation entre ces deux parties de la maçonnerie; dès lors il ne se forme plus de voûtes, et le mur est, en quelque sorte, comme s'il n'existait pas de contre-forts.
Si l'on considère un mur qu'un mouvement de rotation a séparé
de ces annexes, on voit la séparation, nulle en bas, atteindre sou
maximum à la partie supérieure : les résistances développées par la
force de cohésion , dans le cas où la séparation ne peut avoir lieu ,
vont donc en croissant depuis le bas du mur, où la force est zéro,
jusqu'au sommet, où l'on peut supposer qu'elle atteigne la plus
grande valeur R' qu'un mètre carré de maçonnerie puisse supporter
sans altération.
R'H*e' Cest donc le moment — - — qui doit faire équilibre au moment de
la poussée Égalant ces deux moments, on en conclut
° = dPiff+W ^*^
Mais ici, comme dans le cas précédent, l'épaisseur des contreforts doit encore satisfaire k la condition de procurer à ces annexes la stabilité nécessaire pour qu'ils puissent résister aux actions latérales.
L'intervalle entre deux contre-forts consécutifs peut être vide pendant que les intervalles voisins contiendront encore des remblais; de là nécessité d'une épaisseur beaucoup plus considérable que dans le cas des contre-forts extérieurs. Quelles que soient d'ailleurs les diverses causes de leur renversement transversal, une longue expérience a appris que l'on pouvait adopter avec confiance la formule suivante due k Vauban :
Saillie des contre-forts 0",66 4- 0,2 H.
Largeur à la racine 0",C5-f 0,1 H.
Urgeur à la queue. î/SCO^es + O,! H).
