ANSE

Montée.

8 A 7 CINTBES.

ANSES A 9 CENTEES; |

l^rayon.

!• rayou.

Montée.

i"ityon.

%• rayon.

d*fayoD.

BSBSS

BBSBSSSBS

Fig. 85.

Soit, Jig. 86, aa' rouverture, et cd la montée. Quand aa' est moindre que 3cd, on emploie Tanse de panier à trois centres. Pour la tracer, sur aa' comme diamètre on décrit une demi* circonférence, que Ton divise en trois parties égales par les rayons ce et ce'; on mène les cordes oe, ef^ fil et e'a'; paà» Ife point d on conduit àK parallèle à ^ et ôh! parallèle k/e', et les lignes H et ft'i^ mençes respectivement parallèles à ce et ce\ déterminent les trois centres A, i et A*, et par suite les rayons ok = (£k et h\ de l'anse de panier ahdh'(f. D'abord les centres de deux arcs consécutifs sont btéh plkcés sur lé même rayon aboutissant au point de raccordement des artà. De plus, deux rayons consécutifs font entre eux utt aà^le tfe

car on a akh = ace, hih'=zece' et h'ka':=iéa£.

Pour tracer une anse de panier à cinq centres, on suit la même marche. Ainsi, après avoir, yî^r. 86, mené les rayons cd, ce, cef et cd\ divisant la demi-circonférence aha' en cinq parties égales, et les cordes ad, de, e6, etc., on prend le premier rayon af égal à la valeur consignée au tableau précédent, et Ton mène gh parallèle k cd. Conduisant ensuite hi parallèle k de et Zt parallèle k 6e, puis ik parallèle k ce, on obtient le deuxième centre g et le troisième k. Le tracé

est le même de raotre côté de cl; mais OU peut^ pour ce côté» commencer par le irayôn ki'^ le point k étakit connu.

Pour une anse de panier k sept centrés, bu opérerait d'une manière semblable. Ainsi Ton prendrait af égal ati premier rayon du tableau, on mènerait hg pairallèle au premier rayon diviseur çà; oh prendrait ensuite hg égal au deuxième rayon consigné au tableau, tû îuènerait par g une parallèle au deuxième rayon diviseur, et les troisième et quatrième centres se détermineraient de la même manière que les deuxième et troisième geik dans le cas précédent. On opérerait d'une manière tout à fait semblable pour une anse de panier k neuf centres, et en général pour un nombre impair queicoxique de centres.

M. Lerouge, ingénieur eh chef des ponts et chaussées, a, pouft* tracer les anses de panier, toujours supposé que les divers rayonà passant par les points de raccordement feraient des angles é^aut entre eux, mais que les rayons croîtraient suivant une progression • arithmétique. G*est d'après cette hypothèse qu'il a calculé les résultats du tableau suivant, qui suppose l'ouverture prisç pour unité. Gé tableau contient, en outre, la hauteur réduite du débouché enveloppé parla courbe, Voùverturé étant é|[alemeiit prise pour unité.

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Fig. 87.

Ajoutant la différence des rayons successifs au premier rayon , on a le deuxième; cette différence ajoutée au deuxième rayon

donne le troisième, et ainsi de suite.

A l'aide de ces divers rayons, on fera le tracé comme il a été indiqué ci-avant.

Au pont de Neuilly, on a employé une anse de panier à onze centres, que Ton a tracée comme rindique la figure 87. %

On prend un point k^ que Ton croit devoir être le premier centre, et Ton divise fk de manière que kj

on prend/a = 5/*; on divise /a en cinq parties égades, aux points e, d, c, 6; on joint ek, dj, ci, bhei ag, et si le point k a été bien choisi, la courbe ayant pour centres successifs les points k^r, Oym^ny a passera par le sommet q de la montée. On conçoit que ce n*ost que par tâtonnement que l'on arrivera à la position convenable du point *. Supposons que Ton a fait une première hypothèse, et que le point k choisi ne convienne pas ; on aura la valeur convenable x, de /A, k l'aide de la formule

km — s

a=fl demi-ouverture;

6 = /*<gr montée;

m valeur qu'on a prise pour flt dans la première hypothèse;

s développement de la ligoe brisée anmork qu'a donnée la première hypothèse.

Fîg. «8. Tracé des voûtes elliptiques. Dans plu-

sieurs ponts nouvellement construits, on a adopté l'ellipse pour directrice de l'intrados, et même de Fextrados. L'ellipse se trace de diverses manières; mais le moyen le plus simple et le plus ft*équemment employé sur les chantiers de construction pour tracer en grand les épures des cintres et de coupe de pierre est le suivant AA' étant Touverture du pont ou le grand axe de Fellipse, et OB la montée de la voûte ou le demi -petit axe de l'ellipse, on marque sur une arête d'une règle mince CD trois points E, F, G, tels que Ton ait EG = OA le demi-grand axe, et FG = OB le demi-petit axe, d'où EF = OA ^ OB la différence des demi-axe3« Donnant alors a

la règle différentes positions, mais de manière que le point E se trouve toujours sur la direction BO, et le point F sûr ÂA', le point G se trouvera sur Tellipse ABA' dans toutes ces positions; Ton conçoit que Ton pourra alors marquer sur Tèpure autant dé points que Ton voudra de la courbe, et par suite la tracer avec une exactitude suffisante pour la pratique.

fiSS. Cormâéradons générales sur Vappareil d^s voûtes (278). Les matériaux employés le plus communément pour construire les voÀtes en maçonnerie sont les pierres de taille, les moellons de toute espèce et les briques. Les formes et les dispositions que Ton éonne à ces matériaux, pour la composition d*une voûte, sont sou* mises à des règles générales qu'il est nécessaire d'indiquer avant d'examiner le mode d'exécution particulier à chacun d'eux. L'analyj50 suivante de Monge, des voûtes en pierre de taille, résume ces règles d'une manière simple et pratique.

« Les voûtes construites en pierres de taille sont composées de pièces distinctes, auxquelles on donne le nom générique de vous-' soirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la' plus grande attention dans l'exécution : 1* la face qui doit faire parerterity et qui devant être une partie de la surface visible de la voûte, doit être exécutée avec la plus grande précision, cette face se nomme doùelle^ H* les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s'appliquent le ^ uns contre les autres, et qu'on nomme généralement joints. Les joints exigent aussi la plus grande exactitude dans leur exécutioa, car la pression se transmettant d'un voussoir k l'autre perpendiculairement h la surface des joints, il est nécessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points, afin que, pour chaque point de contact, la pression soit la moindre, et que pour tous elle approche le plus de l'egalîté. 0 feut donc que dans chaque voussoir les joints approchent le plus de la véritable surface dont ils doivent fji^ire partie, et pour que cet objet soit plus facile à remplir, il faut que la surfece des Joints soit de la nature la plus simple et de l'exécution la plus susceptible de précision. C'est pour cela que l'on fait ordinairement les joints plans; mais les surfaces de toutes les voûtes ne comportent pas cette disposition : dans quelques-unes on blesserait trop^ les convenances dont nous parlerons dana un moment, si Fon ne taillait pas les joints suivant une surface courbe.

« Dans ce cas, il faut ^^hoisir, parmi toutes les surfaces courbes qui pourraient d'ailleurs satisfaire aux autres conditions, celles dont la génération est la plus simple, et dont l'exécution est la plus susceptible d'exactitude. Or, de toutes les surfaces courbes, celles qu'il est te plus facile d'exécuter sont celles qui sont engendrées par le mouvement d'une ligne droite, et surtout les surfaces développables;

▼OVTSS. 407

ainsi» lorequ'il est nécessaire que les joints des voussoirs soient des surfaces courbes, on les compose, autant qu'il est possible, de surfaces développables.

« Une des principales conditions auxquelles la forme des joints des vottssoirs doit satisfaire, c*est d'être partout perpendiculaire à la surface de la toute que ces Youssoirs composent. Car si les deux angles qu'un même joint fait avec la surface de la voûte étaient sensiblement inégaux, celui de ces angles qui excéderait Tangle droit serait capable d'une plus grande résistance que l'autre; et, dans Faction que deux voussoirs consécutifs exercent l'un sur l'autre, Fangle plus petit que l'angle droit serait exposé à éclater, ce qui, au moins, déformerait la voûte, et pourrait même altérer sa solidité et diminue? la durée de l'édifice. Lors donc que la surface d*un joint doit être courbe, il convient de l'engendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire k la surface de la voûte, et si Ton veut de plus que la surface du joint soit développable, il faut que toutes les normales à la surface de la voûte» et qui composent pour ainsi dire le joint, soient consécutivement deux k deux dans un même plan. Or nous venons de voir que cette condition ne peut être remplie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte : donc, si les surfaces des joints des voussoirs d^une voûte doivent être développablesj il faut nécessairement que ces sulaces rencontrent celle de la voûte dans ses lignes de courbure.

« D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d'une voûte soient exécutés, leur division est toujours apparente sur la surface; elle y trace des lignes très-sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois générales, et satisfaire k des convenances particu- Jfères, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi ces lois générales, les unes sopt relatives à la stabilité, les autres à la durée de l'édifice; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d'un même vQussoir soient rectangulaires entre eux, par la même raison qu'ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division des voussoirs doivent être telles, que c/oj^es qui divisent la voûte en assises soient toutes per^ pendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux convenances particulières, il y en a de plusieurs sortes, et notre objet n'est pas d'en faire ici l'énumération ; mais il y en a une principale, c'est que les lignes de division des voussoirs, qui, comme nous venons de le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la surface k laquelle elles appartiennent. Or, il n'exista pas de lignes sur la surface courbe qui puissent remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de

courbure, et elles les remplissent complètement. Ainsi, la division d*un6 voûte en voussoirs doit donc toujottrs être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivMt être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales a la surface, et qui, considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan, en sorte que, pour chaque vou»» soir, les surfaces des quatre joints et celle de la voûte soient toutes rectangulaires. »

Une condition qui doit être généralement observée dans la construction des voûtes, c'est que les voussoirs soient en nombre impair, et placés symétriquement de chaque cûté* de celui qui doit se trouver au milieu de la voûte, pour la fermer, et que pour cette raison on nomme clef. Nous venons de voir que les voussoirs doivent avoir leurs surfaces de joints normales à Fintrados de la voûte. On était dans Tusage de les raccorder avec la maçonnerie qui les surmonte par des faces horizontales et verticales, surtout sur les tympans; mais dans les ponts que Ton construit aujourd'hui, la courbe d'extrados est le plus généralement continue comme celle d'intrados.

Les dimensions des voussoirs dépendent de celles des pierres que Ton a à sa disposition. Cependant il ne faut pas que leur longueur soit trop grande par rapport à leur épaisseur, p&rce qu'ils se rompraient; ihfaudrait, dans ce cas, les composer de plusieurs morceaux. Au pont de Neuilly, les voussoirs, qui senties plus longs que l'on ait employés, ont 1",80 de longueur sur 0",46 d'épaisseur à la douelle.

W4. La construction des voûles comprend quatre phases distinctes : i* l'établissement et le lavage des cintres; 2* l'exécution de la maçonnerie sur cintres; Z'* le décintrement; 4*" les travaux complémentaires qui ne doivent être entamés qu'après le décintre» ment. Nous allons essayer de donner ici quelques détails sur ces diverses opérations, qui sont surtout du ressort de la pratique.

S8tf • Pression d'xme voûte sur son cintre (Bxmivne de rétablissement des voûtes, par Dejardin). Les voûtes sont maçonnées sur des^pâtés en terre ou en moellonnailles, ou sur des cintres eft charpente. Dans l'un et l'autre cas, on doit, afin d'éviter une dépense en pure perte, ne commencer k soutenir la maçonnerie que vers le joint incliné à 30* sur l'horizontale (S78). Si la voûte est établie suivant le profil d'équilibre, la pression normale sur le pâté ou sur le cintre sera sensiblement constante pour les voûtes circulaires, et réciproque au rayon de courbure pour les autres voûtes. Rapportée à l'unité de longueur et de largeur de l'intrados, si l'on suppose le frottement nul, cette pression a pour expression, selon que la voûte est circulaire ou non,

P = d(«+|),ouP = d(e+|).

P pression normale sur le cintre, par unité de surface d'intrados; d pesanteur spécifique de la maçonnerie ; e épaisseur de la voûte à la clef; r rayon de Tintrados;

R rayon de courbure au sommet de TintradoB : la formule donne ia pression sw le cintre en ce point.

A cause du frottement et de Tadhérence du mortier, si faibles qu'ils soient au moment même de la construction , on doit regarder les valeurs ci-dessus de P comme des limites supérieures, et les appliquer dans ce sens aux calculs de l'établissement des pfttés ou des cintres (288).

S86. Paies, Les pfttés se construisent ordinairement en moellonnailles posées à sec, que Ton recouvre d'un enduit de mortier ou de pl&tre ; assez souvent, cependant, quand il y a possibilité, on les établit en terre. Généralement on ne fait usage de pâtés que pour des voûtes d*une ouverture médiocre, et qui ne comportent point, d^ailleurs, une grande correction de proâl : telles sont les vofttes de caves de petites dimensions, les voûtes d'évîdements ou de contre-forts dans des nutçonneries qui doivent être enterrés, etc. On fait encore usage des pfttés pour des voûtes qui exigeraient un cintre en bois difficile à établir, et plus dispendieux qu'un pftté : telles sont les voûtes d'arête et d'arc de cloître ; celles en dôme, en pénétration; les voûtes rampantes , ou établies sur un plan circulaire, etc. Quoique l'on ne fasse usage de pâtés que pour des voûtes de petites dimensions, on prétend que le dôme du Panthéon de Rome, dont le diamètre intérieur a 43*,50, a été construit sur un énorme pftté dont le volume est évalué à 60 000 mètres cubes;;

Le système de pfttés en terre peut être sensiblement amélioré par l'interposition, entre le pftté et la voûte, de couchis en madriers, qui ofh*ent une surface plus régulière, et qui remédient à l'inégalité du tassement de la terre. Du reste, il est évident que la masse de terre doit être contenue, tant entre les culées qu'en dehors des deux têtes de la voûte; si cette masse n'a point été taillée dans un déblai, elle doit être comprimée et massivée par tous les moyens connus ; elle résistera d'autant plus uniformément que la flèche de la voûte sera moindre : dans le cas d'un arc de cercle de 60", par exemple, et avec les soins convenables, on peut facilement appliquer ce système à des voûtes de 10 à 12 mètres d'ouverture.

887. Cintres en briques. Pour les voûtes en béton, lorsqu'elles ne doivent pas rester enterrées, on peut se servir, comme cintres, de voûtes en briques posées de champ, sur un ou plusieurs rang d'è-

4ft0 PREMIÈRE PARTIE. — HàÇOnilBRlB ET TERRASSE.

paîsseur, selon la portée de la Yoûte. Ces première^ voûtes se construisent k Taide de cintres très-légers, et on les démolit quand le béton a acquis un degré de dureté convenable pour faire servir à d'autres travaux les briques qui er\ prpvieni^ent, ce qui contribue à rendre la dépense moins considérable que ai Ton faisait usage de cintres en cbarpente. Les voûtes longitudinales qui forment le fond des réservoirs d*eau situés rue de la Yieille-Estrapade ont été construites k Taide de cintres de 0",11 d'épaisseur totale, formés par deux l^pgs de briques posées k pla^ sur plâtre (180).

988. Cintres en charpente* Les cintres en charpente, ei^dusive* firent usités dans les constructions importantes, doivent d'abord être» comme toutes choses, considérés sous le point de vue de Véconomle. Or, ici, l'économie résulte principalement de la manière dont les elTorts sont répartis. Si les fermes sont trop espacées, elles supporteront chacune, ainsi que les couchis, une charge plus çonsidéi:ablQ; il faudra donc des bois d'un plus fort équarrissage, qui coûteront plus cher pour l'acquisition et pour le levage. Si les fermes sont trop rapprochées, au contraire, on obtiendra une grande économie sur le volume total des bois, surtout sur celui des coi^chis; mais, en même temps, la main-d'o^uvi^ par mètre cube de bois sera plus considérable, et les bois seront plus dépréciés. G^est entre ces dWx limites que l'on trouvera la disposition la plus économique, dans chaque cas pftrticulier; mais il ne peut y avoir k cet égard aucune conclusion générale ni absolue, attendu que la valeur du bois varie de i k S», et que celle de la main-d'œuvre varie de i k 2, sans qH'il y ait aucune corrélation entre les deux différences dans une même localité.

C'est donc des proportions diverses de la valeur du bois k celle de la main-d'œuvre que dépendent logiquement les espacements divers des fermes de cintres ; on est d'ailleurs maîtrisé k cet égardf par la longueur du berceau, laquelle doit être divisée en parties égales. Aussi, ces esp&^cements varient-ils, en exécution, depuis % mètres jusqu'k l",âO. k éigalité de dépense, ou même avec un certain excès de dépense, on doit préférer les fermes peu espacées, parce que, étant moins chargées, elles se prêtent mieux k un décintrement fait avec méthode et mesure.

Vne fois qu'on a réglé l'espacement des fermes , l'établissement des 00 uchis n'offre aucune dijBQcultê; chacun d'eux fonctionne comme une poutre reposant sur deux appuis et supportant sur chaque unité de longueur une charge connue ; il doit avoir des dimensions telles, que cette charge ne lui fasse point prendre une flèche appréciable. Yoici donc comment on opérera :

Soit l la distance entre les axes de deux fermes, n le nombre total de files de couchis : s'il s'agit d'im plein cintre, par exemj^e, la près-

n^vmale «ur Funité de longueur du berceau et de l'intrados étant connue (9I|5), «ur les ISO» d'amplitude du cintre (278] et sur la longueur I à\k berceau, la charge totale sera, par suite,

t^ la charge Q unifomément répartie sur u^ 4e9 cq^chU deyiçudri^, n étant le nombre des çouchis cpi^pris clans Vamplituçlp de 1^0%

fif^tte isaleoE 0, (qui décroît non-eeulement en raison direete de Tespacement des fermes , mais encore en raison inverse du nombre dea eouchis, servira k régler les dimensioQs cherchées au moyen dea formules du n* t03.

On sait que la résistance H la iexion d*4ine pièce est très-nolable- BieQt accrue, lorsque ses deux extrémités soi^t fixées sur les supports (i03). Ainsi, après avoir réglé les dimensions des couchis, comme sUls dewent être simplement posés sur les fermes, on se procurera un grand avantage de stabilité en les clouant à leurs extrémités sur les fermes. Ce procédé, très-usité maintenant, est utile 9 outre pour le contre-veotement des fermes k leur sommet, c^estàniire là où elles tendent le plus k se deviser; de plus, il ne laiss% ftfis que de eontribuer k la facilité ^t k la régularité de la pose des voussoirs.

L-espacement des couohis dépend de Fespèce de maçonnerie dont la voûte ^st formée. Pour les vottes dé grandes dimensions, on a rhab[itude de ne laisser aucun vide entre les couchis, lorsqu'elles sont construites en petits matériaux, tels que moellons, briques, bétons, etc. ; on a au contraire soin de les serr^ les uns contre les autres, de manière k former un plan^^er solide sur lequel les ouvriers peuvent travailler. Placés de cette manière, les couchis ont encore l'avantage de iirmer eux-mômes une espèce de voûte qui permet cl'&Héger sensiblement les fermes du cintre. Souvent, on donne aux couchis des dimensions assez fortes pour pouvoir les espacer de 0*,iO k 0**,i5, et on les recouvre de planches minces jointives, que Ton fixe transversalement dessus, en leur faisant prendre la courbure de la voûte : ce m^en a été employé pour la construction du Pont-aux-Doubles (918) et pour celles 4es divers autres ponts construits k Paris d#^ts 1860. Ponr les voûtes de petites dimensions, pour celles de caves, par exemple, les maçone établissent ordinairement un planeh^ sur les albalétriers du cintre, et ils posent les couchis an lùr et k mesure que la eonatro^tîeB de la voûte

412 PliEMlÉRE PARTIE. ~ MAÇONNERIE ET TERRASSE.

avance, en suivant la courbe d*intrados, que Pon trace habituelle* ment a ravance sur les pignons. Dans ce cas, on peut espacer les couchis de O'yOi a O'fOS entre eux. Ce vide peut être plus considérable toutes les fois que la voûte est appareillée par rangs de voussoirs réguliers; car, alors, il suffit qu'au milieu de chaque rang réponde une file de couchis, de manière que tous les joints se trouvent au droit d*un espace vide et soient accessibles par dessous. Dans tous les cas, il faut réduire la largeur des couchis au double ou au triple de leur épaisseur au plus. Ce qui motive une largeur médiocre, c*est, d'une part, la courbure de l'intrados, qui doit être complètement inappréciable dans l'étendue de la largeur d'une file de couchis ; d'autre part, l'économie du bois, attendu que, dans les pièce» travaillant en portée, il y a avantage à diminuer la largeur relativement à l'épaisseur (103).

S89. Dispositions et forme des cintres en charpente. Les fermes de cintres peuvent être combinées suivant trois principes différents: ou bien ces fermes ne sont soutenues qu'à leurs naissances par la maçonnerie, qui supporte à la fois et la charge verticale et la poussée horizontale de ces fermes, on dit alors que les cintres sont re^ troussés; ou bien, il existe, d'une naissance à l'autre, un certain nombre de points fixes, dont l'efifet est réellement de partager la ferme totale en plusieurs autres de moindre ouverture, on dit alors que les cintres sont Jixes; enfin, on emploie encore un système mixte^ dui consiste à établir d'abord les fermes de manière qu'elles puissent être soutenues sur leurs deux naissances seulement, puis être étayées, pendant la construction, au moyen d'un certain nombre d'appuis fixes. On trouve à cette dernière disposition l'avantage de pouvoir partager en deux Teffet du décintrement, en supprimant d'abord les étais, puis en n'enlevant le cintre proprement dit qu^après le premier efifet du tassement.

Les trois systèmes que l'on vient d'indiquer fni pour eux et eontfô eux des expériences fort nombreuses, exécutées sur une grande échelle, et qu'on trouve relatées en détail dans tous les ouvrages qui traitent de la construction des pents. Mais ces expériences ne peuvent point prononcer d'une manière absolue ; on pourrait peutêtre attribuer à la plupart d'entre elles le défaut de remonter à une époque où la combinaison des grandes fermes de charpente et le mode d'exécution des maçonneries n'étaient point entendus comme ils le sont maintenant. Alors, tout contribuait k exagérer les effets du tassement et les dangers du décintrement; aujourd'hui, ces effets sont incontestablement plus bornés, ces dangers sont nuls. Une aussi importante amélioration est due sans doute aux progrès naturels de l'art, è l'esprit d'analyse que les praticiens se sant peu èi peu habitaès k apporter dans leurs conceptions ; mais la plus large