TZ — , = Y

Ter QU, UN — J==û — 0.

La courbe vient passer à l’origine.

On a, pour les valeurs négatives de æ, une première

branche descendante C’ B’ A’ O.

Fig. 31.

Lorsque æ devient positif, y croît et la courbe monte

alors de gauche à droite.

Elle part de l’origine, monte et s'éloigne indéfiniment à

droite en haut.

Traçons-en quelques points :

1 I pour æ—— ona: y—- ce qui donne le point A, 2 n — ÿ ps \ | = Y—1 = B, UT TA — Y— 4 — C.

On a ainsi une seconde branche de courbe ascendante OABC.

Les deux branches C'B'A'O et OABC sont symétriques par rapport à Oy.

En effet, pour deux valeurs opposées de æ, y a la même valeur. On obtient donc deux points ayant mème ordonnée et situés de part et d'autre de Oy à la même distance. Par suite, les points obtenus pour les valeurs positives de æ sont symétriques de ceux qu'on obtient pour les valeurs négatives.

Ainsi les points À et A”, B et B’, C et C’ sont symétriques par rap- : port à Oy.

298. — Variation de y—ax?. — Considérons, plus généralernent la fonction y = ax? de la variable x où a désigne un nombre fixe positif ou négatif. :

La variation de cette fonction se déduit immédiatement de celle de la fonction y—x? en appliquant le théorème du n° 70.

Il résulte, en effet, immédiatement de ce théorème que lorsqu'on multiplie une quantité variable par un nombre positif, le produit varie dans le même sens que cette quantité.

Si, au contraire, on multiplie une quantité variable par un nombre négatif, le produit varie en sens inverse.

Si, en effet, on a xx" 1° Sia>o (en vertu du théorème du n° 70) OL US SIG 0, GLACE Ainsi, lorsque æ passe de la valeur x” à la valeur +’, si son carré x? croît, ax? croît si a est positif et ax? décroit si a est négatif.

de la fonction

299. — Cas de a >0. — Il résulte de ce qui précède que ax? varie dans le même sens que x° lorsque « est positif. Les variations sont représentées par un tableau absolument semblable à celui qui figure au n° 296.

La courbe représentative a exactement la même forme que celle de la variation de y—x?, c’est-à-dire a la même forme que celle de la figure 3r.

EXEMPLE. -— Construisons, par exemple, la courbe représentative

LR in

Prenons deux axes rectangulaires Ox, Ov et une unité de longueur

Fig. 32.

arbitraire sur Ox. Nous connaissons sa forme générale, 11 nous suffit d’en tracer quelques points :

PRET — RS op U — = RTE — Ê rm j'a moi ER. — Y—1, — VTT : — = — P I y 7e

Nous avons ainsi six points qui nous donnent la courbe de la figure 32, Cette courbe est plus ouverte, plus large que celle de la figure gi

300. — Cas de a <o. — Lorsque a est négatif, le produit ax? est toujours négatif et varie, comme nous l'avons vu, en sens inverse de x?.

Inscrivons dans le tableau ci-joint la variation de x? et

celle de ax? qu’on en déduit : (a < 0) Era T7 Lorsque æ croît de — à o, x 22 ax?

ax? croît aussi de — à o. ——— c x ; — D % | —co Puis, lorsque æ croît de o à f si , 4 x Croil | décroît [négatif 2 = + æ, ax? décroît de o à — ce. SOA E ONE Pour x —o,la fonction ax? atfini sa plus gra £ devaleur, on dit positif [négatif qu'elle est maxæima, et lavaleur croit | croît |décroit

qu'elle atteintestun maæimum. + | + | —%

o 0 O (maximum)

La courbe représentative est tout entière au-dessous de Ox, puisque y est toujours négatif.

Il est facile de la déduire du cas précédent. Si, en effet, on construit simultanément les deux courbes Ua MCE RE

on constate qu’elles sont symétriques l'une de l’autre, par rapport à Ox.

y=ax?,a>0

-ax?, ao

Fig. 33.

En effet, pour une méme valeur de x, les deux valeurs

A ar !

ALT Du, 7 * \

VARTATIONS DE FONCTIONS. | 269 de y correspondantes sont opposées. Pour une même

abscisse OP (fig. 33), on obtient deux points M et M symétriques par rapport à Ox, puisque que les deux ordonnées

PM—ox et PM'—— 272 sont opposées.

Lorsque æ varie de —æ à +, le point M décrit la courbe C (fig. 33) située au-dessus de Ox; le point M’ décrit alors la courbe C’, symétrique de C par rapport à Ox, représentative de la fonction y = — 2x2.

D'une facon générale, les deux courbes C et C’, représentatives des deux fonctions obtenues en donnant à a des valeurs opposées, sont symétriques par rapport à Ox.