Mouvement varié. — Tout mouvement qui n est
pas uniforme est dit varié.
Un mouvement varié est dit accéléré lorsque la valeur absolue de sa vitesse croît; il est au contraire dit retardé lorsque la valeur absolue de sa vitesse décroît.
Pour reconnaître si un mouvement est accéléré ou retardé, il faut donc reconnaître le sens de la variation de la valeur absolue de la vitesse. Or, comme la valeur absolue de la vitesse varie dans le même sens que son carré, il suffit de rechercher le sens de la variation du carré v? de la vitesse.
A cet effet, prenons la dérivée de v?. On a (n° 365)
(v2) = 2vv’ el, comme En j étant l’accélération, on en déduit (uv?) —=20J.
Tout revient donc à étudier le signe du produit v de la vitesse par l'accélération.
51 v) > 0 le mouvement est accéléré;
S1 vj < 0 Je mouvement est retardé.
386. — Mouvement uniformément varié. — Ce qui caractérise un mouvement varié c'est que sa vitesse varie
avec le temps. Le plus simple des mouvements variés est :
évidemment celui dans lequel la vitesse varie proportionnellement au temps, c'est ce qu’on appelle /e mouvement uniformément varié. En d’autres termes :
On appelle mouvement uniformément varié celui dans iequel la vitesse est une fonction linéaire du temps.
Dans un tel mouvement on a donc :
v—= at +b On en conclut, pour l'accélération :
1 te
L'accélération d'un mouvement uniformément varié est constante.
387. — Théorème. — Lorsque l'accélération du mouvement rectiligne d'un point est constante :
1° Si cette accélération est nulle le mouvement est uniforme ;
2° Si cette accélération n'est pas nulle le mouvement est uniformément varié.
1° Si l'accélération est nulle, cela veut dire que la dérivée de la vitesse est nulle, donc (n° 374) la vitesse est constante et le mouvement est uniforme (n° 379).
»° Si l'accélération est constante et a une valeur «a non nulle, on a :
ASE Us
Or, comme la fonction at a aussi pour dérivée 4, on voit que v et at ayant la même dérivée (n° 375) ne diffèrent que par une constante, on a donc bien :
v— at + b, b étant une constante; et le mouvement est uniformé-
ment varié.
388. — Équation du mouvement uniformément varié. — D'après la définition précédente un mouvement est uniformément varié si l’on a, entre la vitesse vet le temps té, une relation de la forme :
v = at + b.
Ceci revient à dire que, si x est l’abscisse du point mobile au temps f, on a pour sa dérivée :
At Qt + b.
D'autre part, la fonction - al? + bl admet aussi at + b
pour dérivée; il en résulte que x ne diffère de -at? + bt
que par une constante et que l'on a :
(1) &—=a8+bi+c.
Dans un mouvement rectiligne uniformément varié l’abscisse du mobile est une fonction du second degré du temps.
La réciproque est évidente, car si æ est un trinôme du second degré en f, la vitesse, qui est sa dérivée, est linéaire en {, et le mouvement est uniformément varié.
SIGNIFICATION DES CONSTANTES. — L'équation (1) du mouvement uniformément varié contient trois constantes a, b, c, dont nous allons rechercher la signification.
D'abord l'équation (1) elle-même montre que la constante c est la valeur de x pour {= 0, ce qu’on appelle la valeur 2nitiale de æ.
En dérivant l'équation (1), on a :
(2) v—= al + b,
et cette égalité montre que la constante b est la valeur de la vitesse v pour {—0.
Enfin, «a est l'accélération.
Il résulte de là que :
Un mouvement rectiligne uniformément varié est parfaitement déterminé lorsqu'on connaît : 1° son accélération; 2° l’abscisse et la vitesse initiales.
Si j est l’accélération, x, et vw. les valeurs de x et w pour {—0, on a : |
DER PS VAE SRE ECS
et, par suite, l'équation du mouvement est :
[y] T . 9 s (5) LE + Vot + To:
389. — Diagrammes du mouvement uniformément varié. — Puisque, dans un mouvement uniformément
varié, l’abscisse x est un trinôme du second degré ent, =
le diagramme des espaces, qui est la courbe représentative de ce trinôme, est (n° 304) une parabole.
La courbe tracée dans la machine de Morin pour vérifier les lois de la pesanteur est précisément une parabole, diagramme des espaces.
La vitesse v étant une fonction linéaire, le diagramme des witesses est une droite (n° 232) dont le coefficient angulaire a est l'accélération.
390. — Mouvement vertical d’un point pesant. — L'expérience nous apprend que quand on abandonne un point pesant en chute libre, dans le vide, ce point tombe suivant une verticale et que les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des temps employés à les parcourir. Il résulte de là que si x est la hauteur de chute, on a :
