Somme algébrique. — On appelle somme algé

brique une suite d’additions ou de soustractions successives.

Ainsi (+4)+(—5)—(—3)+(—1)—(+7) est une somme algébrique. Cette expression indique que l’on doit faire la somme de + 4 et — 5: du résultat retrancher — 3; au nouveau résultat ajouter — 1; enfin de ce dernier résultat retrancher + 5.

Or, d’après la règle précédente, pour retrancher —3 on ajoute + 3, et pour retrancher + 7 on ajoute — 7.

On peut donc écrire ceci :

RAAUR ENS To Are

Ce qui est une somme ordinaire.

On peut donc dire que : toute somme algébrique est identique à une somme ordinaire à condition de remplacer les termes précédés du signe (—) par leurs opposés.

Les sommes algébriques jouissent donc des mêmes propriétés que les sommes ordinaires.

37. — Conséquence. — Considérons une somme algébrique atb—c+d—e où &, b, c, d, e désignent des nombres positifs ou négatifs. On la transforme en somme ordinaire en remplaçant — c et — e par les nombres opposés. Ceci conduit à la convention suivante :

On désigne le nombre opposé d’un nombre donné en plaçant le signe ( — | devant ce nombre.

Ainsi — a désigne le nombre opposé à a.

Avec cetteconvention, la somme algébrique a+b—c+d—e peut être considérée comme la somme ordinaire de a, b, —c, d et —e, qui sont appelés les {ermes de la somme.

38. — Théorème. — Si dans une somme on remplace tous les termes par des termes opposés, la nouvelle somme est opposée à la première.

C’est presque évident puisque tous les nombres positifs deviennent négatifs et inversement.

Ainsi, si dans 5—i+3—2— + on remplace les termes par des nombres opposés, on obtient

On à de même —(a+b—c+d=—-a—-b+c—d, car — (a + b — c + d) indique l'opposé de (a + b — c + d) effectué (n° 6).

39. — Théorème. — Pour ajouter ou retrancher une somme algébrique, il suffit d'ajouter ou de retrancher chacune des parties.

On a, en effet,

a—b+(c—d+e) =a—b+c—d+e, puisqu'on peut, dans la somme a—b+c—d+e, remplacer c— d + e par la somme effectuée.

D'autre part, pour retrancher c—d+e, on doit ajouter le nombre opposé qui est, d'après îe n° 38, —c+d—e.

Donc: a—b—(c—d+e)—=a—b—c+d—e.

40. — D'après ce qui précède on peut supprimer ou introduire des parenthèses.

Un:

a + b+(c—d) dre te gj=a+b + ce de# e—f+g; (a—b+c)—(d+f)—(g—h=a—-b+c—d—f—9+h;

On voit d'après cela que:

1° On peut, sans rien changer, introduire ou supprimer dans une somme des parenthèses précédées du signe ( + ).

2° Lorsque dans une somme on introduit ou on supprime une parenthèse précédée du signe (—), il faut changer les signes de tous les termes placés dans la parenthèse.

A. — Multiplication et Division.

41. — Produit de deux nombres. — On appelle produit de deux nombres algébriques un-nombre dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues des deux nombres donnés et qui a le signe ( +) ou ( — ) suivant que les deux nombres sont de même signe ou non.

Lorsqu'un des deux nombres est 0, le produit est égal à O0,

Il résulte de là que le signe du produit de deux nombres s'obtient par la règle suivante dite règle des signes.

+ par + donne +

: se VU us de QU UE Règle PEU A TES DNS V4 pa = » + Ainsi : (+ 3):(+ 4) = +12, [(—3):(—4) = + 71, (+ 3)-(— 4) — — 12, (L3):0 = 0, (—3)-(+ 4) — — 12, O:(— 4) = 0.

42. —- Produit de plusieurs facteurs. — On appelle produit de plusieurs nombres le nombre obtenu de la manière suivante :

1° On fait le produit arithmétique des valeurs absolues.

2° On affecte ce produit du signe (+) s’il y a un nombre pair ou nul de facteurs négatifs.

On l'affecte du signe (—) s'il y a un nombre impair de fac-

teurs négatifs.

Lorsqu'un des facteurs du produit est O0, le produit est

ss (5) () (CD DIRIPIEE

(s) (SPORE CUS CAES

43. — Théorème. — Un produit ne change pas lorsqu'on intervertit l'ordre des facteurs.

Car, le théorème étant vrai en arithmétique, lorsqu'on intervertit l’ordre des facteurs le produit ne change ni de valeur absolue ni de signe.

44. — Théorème. — Dans un produit on peut remplacer plusieurs facteurs par leur produit effectué.

Ainsi on à :

Donc :

45. — Puissance. — On appelle puissance me d'un nombre le produit de m facteurs égaux à ce nombre (n° 4). m est ce qu'on appelle l'exposant de 1a puissance. On indique une puissance en écrivant une seule fois le nombre et en plaçant à droite, en haut, l’exposant. Ainsi: a*—a-a-a-a et se lit a puissance 4.

46. — Il résulte de la définition d’un produit de plusieurs facteurs (n° 42) que :

1° Toute puissance d'un nombre positif est positive. 2° Une puissance d’un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, et négative si l’exposant est impair. Ainsi: (—34— +81 (il y a 4 facteurs négatifs), (— 35 ——27 (il y a 3 facteurs négatifs).

47. — Théorème. — Le produit de plusieurs puissances d'un même nombre est une puissance de ce nombre dent l'exposant est la somme des exposants des facteurs.

En effet at .as -aï est le produit de 4 facteurs par 3 facteurs, par 5 facteurs tous égaux à a. Donc:

4 fois 3 fois 5 fois at. QS + Gi — aaaa + AG - AAA

Il y a en tout 4 + 3 + 5—12 facteurs égaux à a, ce qui est at?. Donc :

Ainsi : (+ 3}2-(+3}.(+ 3) — (+3); are = (— 2).

Un nombre seul peut être considéré comme ayant l’ex-

posant 1.

Onspeut'écrire at —a, Par suite a.ad.a— a, car 3+H5+1— og.