Théorème. — Pour multiplier une somme algé

brique par un nombre on fait la somme des produits obtenus en multipliant successivement chaque terme par ce nombre.

Nous nous contenterons de vérifier ce théorème sur des exemples; mais pour bien l’appliquer il faut se rappeler qu'on appelle {ferme d’une somme algébrique le terme avec le signe qui le précède.

Ainsi on à :

(a —b+c—d)m— am— bm + cm — dm.

(a—b+c—d)(—m)—=a(—m)—b(—m) +c(—-m)—d(—m = — am + bm — cm + dm.

ExemPLe [. — Soit à multiplier 2 — 3 + 5 par + 3. On a: (2—3+5)(+3)—2(+3)—3(+3)+5(+3) = 6—9+15 — + 12.

Or, 2—3+5— +4, et on à bien (+ 4).(4+3) = + 12.

Exempe [l, — Soit à multiplier + 3—(—5)+(—2) par —3

On a : LPSC) FETES) = +3(—3)—(—5)(—3)+(—2)(—9 = —9—(+15)+(+6) = —9—15+6—=— 1718.

Or, +H3—(—5)+(—2)—=+3+5—92—= +6 et on a bien (+ 6)(—3) = — 18.

49. — Théorème. — Le produit de deux sommes algébriques est égal à la somme des produits obtenus en multipliant successivement tous les termes du premier facteur par tous les termes du second.

Ici encore il ne faut pas oublier que chaque terme doit être pris avec son signe.

Ainsi on à : (a—b+c)(d—f)

— ad—bd—cd+a(—-f)—b(—f) +c(—f) — ad — bd + cd — af + bf — cf.

Nous nous contenterons de vérifier ce théorème sur des exemples numériques.

Exewpze [. — Soit à effectuer le produit :

(SP ba)

Or, 4—5+3— +, 12— 97 — +5, et on a bien : (+ 2) (+ 5) = + 10.

ExempLe Il. — Considérons le produit :

(+ 12 (25) — (a) 5 — (3) = +ia(—5)+(—5)(—5)—(—2)(—5)

a (5) ESS) RENE — — 60 + 25 — 10 + 36 — 15 + 6 — — 18.

Ur, +12+(—5)—(—2) = 12—5+2— +9, —5—(—3)—=—5+13——)2 et on a bien (+ 9)(— 2) = — 18.

50. — Application I. — Le carré d'une somme est égal à la somme des carrés des deux termes augmentée du double produit de ces deux termes.

On a, en effet, d'après ce qui précède,

(a + b}2—(a + b) (a + b) — aa + ba + ab + bb comme aa—=@*, bb—b* et ba—ab, ceci donne : (a + b}? = a? + b? + 2 ab

NOMBRES POSITIFS ET NÉGATIFS. 21 car ab + ab est égal à 2 fois ab ou 2 ab.

51. — Application II. — Le carré d'une différence est égal à la somme des carrés des deux termes diminuée du double produit de ces deux termes.

On a, en appliquant le théorème du n° 49 :

(a — b}—=(a—b) (a —b)= aa + a(—b) — ba — b(— b) = a — ab — ba + L?

= 2 + b?— 2 ab car — ab — ba—— ab — ab est égal à 2 fois (— ab) ou — 2 ab.

52. — Application III. — Le produit d'une somme par une différence est égal à la différence des carrés des deux termes.

On a, en effet :

(a + b) (a—b)—=aa + ba +a(—b) +b(—b) —= a + ab — ab — b?.

Or ab— ab —=o Donc (a + b) (a—b)— a? — b?,

ExEMPLES :