Calcul du terme de rang 7. — Considérons
une progression arithmétique + a-b-c-d ....
D’après la définition même, on a :
en désignant par r la raison.
On en conclut :
bar c=b+r, d=c+r. :..
Chaque terme de la progression se déduit du précédent en lui ajoutant la raison.
FE
ve 4
Cela étant, le premier terme de la progression est a; le second est a+; le troisième s'obtient en ajoutant r au second, c’est donc (a+r)+r—a+or; le quatrième se déduit du troisième en lui ajoutant r, c’est donc a + 3r el ainsi de suite.
On voit qu’en général :
On obtient un terme quelconque en ajoutant au premier terme autant de fois la raison qu'il y a de termes avant celui que l’on veut calculer.
Le terme de rang n est donc :
car ia n—1 termes avant lui.
ExEMPLE. — La suite des nombres impairs 1:3-D:7-9-11-13ce.e
forme une progression arithmétique de raison 2, Le nième nombre impair est donc :
1H2{(n—1)—2n—1. = 396. — Remarque. — Lorsque dans une progression
arithmétique on renverse l’ordre des termes, on a une nouvelle progression dont la raison est opposée à celle de la pre-
mière.
. Ceci est évident, car si +a-b.c.d-e.f.
est une progression de raison *, on a :
.. b—a—=c—b—d—c—e—-d—f—e—=r, On en conclut :
Ce qui prouve que 1 fre-d.c-b-a-
est une progression arithmétique de raison —r. N
D ET AT LORS EE Ni STE NOV" d “tr A \EUTr S y V1 : (] }
PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES. 319
397. — Théorème. — Dans une progression arithmétique limitée, la somme de deux termes équidistants des extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes.
Soit, en effet
A CRE AO PR Ro «le SR —" = D.
p termes p termes
une progression de raison r. Soient 4 le terme qui en a p avarñt lui et À le terme qui en a p après lui.
On a (n° 395) g = & + pr.
D'autre part, si on renverse l’ordre des termes, on aura une nouvelle progression de raison (— r), dont le premier terme sera / et où À en aura p avant lui. On a donc :
h=l+p(—r)=t--pr.
De là on conclut :
g+h=a+pr+l-pr=a+l.
398. — Somme des termes. — La somme des termes d'une progression arithmétique limitée est égale au produit de la demi-somme des extrêmes par le nombre des termes,
Soient
une progression arithmétique de n termes, et S la somme de ces termes :
Dans le second membre, intervertissons l’ordre des termes. Nous avons :
(2) S=l+<k+h+...Lc+b+a.
Ajoutons les égalités (1) et (2) membres à membres, il vient :
2S = (a + 1) + (b + 4) + (CHA) ++ (h+ 0) + (EH) AP Fa)is
DA 1 NRA 380 | PRÉCIS D'ALGÈBRE. 8 Dans le second membre, il y a n parenthèses, et chacune à est la somme de deux termes équidistants des extrêmes, M donc chacune est égale à (a+1). Le second membre est
ainsi égal à n fois (a + l).
29—(a+l)n, d’où (3) st à 399. — Remarque. — Comme la progression a n termes, on a : | [—=a+(n—1)r.
En portant cette valeur de / dans la formule (3), on a la nouvelle expression de la somme :
GE Ue r EPLLTS
