Remarque IT. — Nous avons supposé q diffé
rent de 1. Lorsque q est égal à r, la progression n’a aucun
intérêt. Tous ses termes sont égaux : la somme des n premiers est donc égale à n fois l’un d'euc.
$ 3. — Logarithmes.
408. — Définition générale. — Considérons deux progressions croissantes : l’une arithmétique dont le premier terme est zéro et la raison r, l’autre géométrique dont le premier terme est 4 et la raison q :
LO.N.2P. IT AT. socce Ne ve
Se lise qe (a 0Si te are
C1 © ou
Par définition :
Un terme quelconque de la progression arithmétique est appelé le logarithme du terme de même rang de la progression géométrique.
Inversement :
Un terme quelconque de Ia progression géométrique est
appelé l'antilogarithme du terme de même rang de la pro-
gression arithmétique.
Ainsi le logarithme de q# est 4r et inversement q# est l'antilog: rithme de 4.
L'antilogarithme d'un nombre a est donc le nombre qui a pour logarithme a. |
On conçoit aisément qu'en choisissant q assez voisin de r et r assez voisin de o, les deux progressions peuvent être telles que deux termes consécutifs diffèrent excessivement peu. On peut alors dire que tout nombre plus grand que 1 figure, avec une certaine approæimation, dans la progression géométrique.
Un nombre quelconque plus grand que 1 a alors un logarithme.
Ainsi, si je voulais avoir le logarithme de 2,5 123, je chercherais si le nombre 2,5123 figure dans la progression ‘géométrique. S1 out, le nombre écrit au-dessus, dans la progression arithmétique, sera son logarithme. Si non, je pr endrai le nombre de la progression géométrique le plus voisin. Si, par exemple, il figure dans la progression le nom bre 2,5 122, je prendrai le logarithme de ce nombre qui sera unevaleur approchée du logarithme de 2,5 123.
409. — La définition précédente ne définit que les logarithmes de nombres plus grands que r, car la progression géométrique croissante (q > 1) :
LAN PERS DAEU EI ne comprend que des nombres plus grands que r. Par définition :
Le logarithme d'un nombre plus petit que 1 est le nombre opposé au logarithme de son inverse.
Bourrer, = préc. D’ALOËrRt. 2%
rise ee L Ainsi, considérons le nombre -: Pour avoir son logarithme, nous pren-
: 2 drons le nombre opposé au logarithme de son inverse 2. Si le loga-
| LE rithme de 2 est 0,307, celui de - sera — 0,307.
De cette façon un nombre quelconque a un logarithme,
car, soit ce nombre, soit son inverse sera très approxima-
tivement contenu dans la progression géométrique.
410.— Logarithmes décimaux. — De la définition qui précède il résulte qu’il y a une infinité de systèmes de logarithmes, car on peut prendre arbitrairement g et r.
On démontre qu'il est possible de choisir q et r de facon que le logarithme de 10 sont 1.
Nous l’admettrons.
Ce système de logarithmes est dit système des logarithmes décimauæ ou logarithmes vulgaires.
Dans ce système on a :
Le rooo1" terme de la progression arithmétique est alors r; tandis que le ro 001" terme de la progression géométrique est 10.
On désigne le logarithme vulgaire d’un nombre æ par la notation log æ.
On a donc :
OS ER NT Es
H11.— Remarque I. — Dans tout système de logarithmes le logarithme de 1 est toujours o.
Car les deux progressions commencent toujours par o et1.
Le logarithme d’un nombre plus grand que x est positif ; le logarithme d’un nombre plus petit que 1 est négatif.
