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logarithmes le nombre qui, dans ce système, a pour logarithime +.
La base des logarithmes vulgaires est donc ro.
413. — Remarque III. — Il faut remarquer avec soin qu’on n’a défini que les logarithmes de nombres positifs.
414. — Propriétés des logarithmes. — Les logarithmes jouissent de propriétés importantes grâce auxquelles leur emploi est très utile dans les calculs numériques.
Voici ces principales propriétés.
M5. — Propriété I. — Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs. Soient a et b deux nombres, nous allons prouver que l’on a log ab —log a +Iog b.
Nous distinguerons trois cas :
a>1 et b> 1. — Dans ce cas a et b figurent tous deux dans la progression géométrique me LRU Oo osé et on aura :
De TER Mais alors (n° 47) ab — q" 1 — DUT Or, par définition, loga— log" = nr, l0gb = log 9" =""r, log ab — log gt" = (n + nr.’ On a donc bien :
log ab — log a + log b.
2° a>œ1etb<1. — Dans ce cas «a figure dans la pro-
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gression géométrique, mais b n’y figure pas. Le logai ithme ‘3 de b est alors le nombre opposé au logarithme de F Soit LED
On à :
d'où (n° 64) ab — g" — ge
en supposant n plus grand que n’.
On a donc, par définition, LPO NT, log b——logq"——n"7r, log ab — log qg"-%"—(n—n'}r,
et on a encore :
log ab — log a + log b.
A2 I Nous avons supposé a > À Si on avait a <>, on aurait
n'>n et, par suite, ab = ls = REX rusé gén d’où logab=—logq""——{(n—nr={(n—nr, et le raisonnement subsiste.
3° a<1 et b<<1. — Dans ce cas il faut prendre les inverses - et 2.
4 450 Soit d - — nù — nn!
a g; FA q on a :
I I ZE —) b— —; q" 0" | d’où PES AN UE
q" J qu que
LOGARITHMES. 389 Par définition (n° 209). on a alors :
log a —— log g*" ——nr, log b——]log gg" ——n'r, log ab = — log qi" = —(n + n'}r,
et on a encore bien :
log ab — log a + log b.
Le théorème est donc général pour un produit de deux facteurs.
416. — La propriété s'étend alors, sans difficulté, à un produit de plusieurs facteurs.
Considérons, en effet, le produit abcd. On peut le considérer comme le produit de a par bed et on a :
(1) log abcd — log a + log bcd.
De même, bcd peut être considéré comme le produit de
b par cd et, en appliquant le théorème vrai pour deux facteurs, on a :
(2) log bcd — log b + log cd.
Enfin, on a :
(3) log cd — log c + log d.
En ajoutant, membres .à membres, les trois égalités (1), (2) et (3) et supprimant de chaque côté les termes communs, log bed et log cd, il vient finalement
log abcd = log a + log b + log c + log d.
