T7 2% IE
TL J Ra RM PEAU L Chassons les dénominateurs. Les équations s’écrivent :
Ramenons à la forme réduite (1V) (n° 170) et le système devient : 92 +2y — 36, LS IV RNRE
Éliminons y. Multiplions la première par 24 et la seconde par 2 et retranchons et il vient :
ou 2137 — 858:
Ce qui donne
Éliminons de même x. Multiplions la première équation par 2 et la seconde par 9 et retranchons, il vient :
ou 212y7==— 45; ce qui donne : pars e qui donne : CRE ox pm REMARQUE. — On peut quelquefois employer des multiplicateurs
plus simples que ceux fournis par la règle précédente. Ainsi pour éliminer y on aurait pu multiplier la première équation par 12 et ne pas toucher à la seconde. Les coefficients de y auraient été ainsi égaux. En retranchant on trouverait :
SATOD.
ou
172. — Discussion générale d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues. — Tout système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut se ramener, en faisant passer tous les termes inconnus dans le premier membre et les termes connus dans le second, à la forme
(1) LÉ la'x +b'y—=c'.
Supposons d’abord l’un des quatre coefficients a, b, a’, b différent de zéro; soit, par exemple, a
Nous pouvons alors résoudre la première équation du système (1) par rapport à æ et nous obtenons ©c—by AT: a °
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ. . 12 Portons cette valeur de æ dans la seconde équation et il vient :
,C — by A AS Déc + b'y—=c . qui s'écrit, en multipliant par a, a'(c—by) + ab'y—=ac ou (3) (ab'— ba”) y = ac’ — ca’:
1° Si ab’— ba’ est différent de zéro, l'équation (3) donne une valeur pour y et une seule :
ac — ca 1 5 — ba;
En portant cette valeur dans l’équation (2), on a la valeur de % :
ac' — ca’ ab’— ba cab’ —cba’ — bac’ + bca' a a (ab' — ba’)
En simplifiant, il vient :
7 cab’ — bac’ ” a(ab'—ba')
et, en divisant les deux termes de la fraction par a,
"RE cb’ — bc’ db =D
Le système admet donc, dans ce cas, une soluñion el une seule donnée par les formules
cb — bc’ Marsan
(@ __ ac —ca LAre ab — ba
déjà données au n° 170.
Ces formules sont connues sous le nom de formules de Cramer ; | 2° Si ab'— ba’ est nul el que ac'— ca" west pas nul, l'équation (3) devient :
OYy—=aAC — ca
et n’admet aucune solution. Elle exprime, en effet, que y devrait être un nombre qui multiplié par zéro donnerait un produit ac’ — ca’ non nul, ce qui est impossible.
Ceci revient à dire que tout système de valeurs de æ et y vérifiant la première des équations du système (1) ne vérifie pas la seconde. Le système n’a donc pas de solution. Les deux équations (1) sont dites incompatibles:
3° Si ab’— ba’ et ac'— ca’ sont nuls tous les deux à la fors, l'équation (3) se réduit à
C'est une identité. Elle est vérifiée quelle que soit la valeur de y. Ceci revient à dire que tout système de valeurs de æ et y vérifiant l'égalité (2) vérifie, à la fois, les deux équations du système (1).
Dans ce cas, il y a une infinité de solutions. On peut donner à y une valeur arbitraire et la valeur correspondante de x est donnée par la formule (2);
4 Supposons maintenant que ces quatre coefficients a, b, a’, b’ soient nuls tous les quatre. On ne peut pas alors
résoudre l’une des équations (r) par rapport à l’une des.
inconnues et ces équations s’écrivent :
Si c et c’ ne sont pas nuls tous les deux, l'une au moins des deux équations est impossible et le système n'a pas de solulion.
Si cet c’ sont nuls lous les deux, les deux équations sont des identités. Elles sont vérifiées quelles que soient les
bi an ten Ds à oi thin
valeurs de æ et y. Il y a une infinité de solutions obtenues en prenant pour æ et y des valeurs absolument arbitraires.
173. — Remarque I. — Lorsque, « étant différent de zéro, On a :
ab'—ba'—=o , ac’ —ca —=o, les deux équations (1) ont leurs coefficients proportion-
nels. En effet, les deux conditions précédentes s’écrivent :
V4 24 C0 ——=— et ——— 14 4r CR:
On a donc :
Li EE à ANR 8 Te boer
Il en résulte que si on multiplie les deux membres de l'équation :
ax + by —=c
a ; par — on retrouve la seconde équation a'æ + b'y=c".
En d’autres termes, on a l'identité :
(ax + by—c)=a x +b'y—c';
= ce qui prouve bien que tout système de valeurs de x et y qui annule ax + by — c annule aussi ao +b'y—c'; c'est-à-dire que toute solution de la première équation
vérifie là seconde.
174. — Remarque II. — Il y a deux cas où il y a une infinité de solutions :
En premier lieu lorsque
/ farce là (us < aZÆo , ab'—ba'—=o , ac'—ca —=o;
et en second lieu lorsque
AG == NC C0; Mais ces deux cas sont très distincts.
Dans le premier cas, nous avons vu, qu'il n’y a qu’une inconnue y qu'on peut prendre arbitrairement, qui est indéterminée.
Dans le second cas, les deux inconnues sont indéterminées.
C’est pourquoi l’on dit que : dans le premier cas, il ya indétermination du premier ordre et dans le second cas indétermination complète.
475. — Exempzes. — Considérons d’abord le système 8t—6y—11, 12% —09y—25.
On a 101 :
ab'— ba —8.(—9)—12(—6)—— 72 +72—0, ac'— ca — 8:25 — 12:11 — 200 — 132 —68%o.
Le système est donc impossible. I n'y a pas de solution. D'ailleurs, si on applique la méthode de substitution, on a 11+6y D ra
En portant cette valeur dans la seconde équation, on trouve 12 (11 +6y) —8-9y—8.25 ou o-y — 068,
équation impossible.
Considérons en second lieu le système
8zx—6y— 11, 124— 9y— 106,5.
Ici on à : | E ab’ — ba —8 (— 9) —12(—6)—— 72 +72 —0, ac — ca —=8.16,5- -12°11— 132 — 132 —0.
Le système est indéterminé.
Si, en effet, on tire x de la première équation "11+067 nn
ee
et qu’on porte dans la seconde, celle-c1 devient O: y = O0
Toute solution de la première équation vérifie la seconde. Il y à donc une infinité de solutions. On peut prendre pour y une valeur arbitraire, et la valeur de x en résulte.
Ainsi, on a les solutions :
LE y —0 , Haras: Y—1 , =
è | Y—=—1 , MERE Y—=2 , LI— et ainsi de suite.
176.— Équations à plusieurs inconnues. — Méthode de substitution. — Les méthodes de résolution que nous venons d'exposer pour deux équations du premier degré à deux inconnues pourraient s'étendre à des systèmes d'équations du premier degré contenant plus de deux inconnues ; nous nous contenterons de donner la méthode de substitution, qui s'applique sans modifications.
Règle. — Pour résoudre un système d'équations du premier degré, le nombre des équations étant égal au nombre des inconnues :
On résout l’une des équations par rapport à l'une des inconnues qu'elle contient;
On substitue la valeur de cette inconnue dans les équations restantes. l
Ces équations restantes forment ainsi un nouveau système contenant une équation et une inconnue de moins que le précédent.
On recommence sur ce système comme sur le système proposé et on continue jusqu’à ce qu'on parvienne à une dernière équation à une seule inconnue, qui donne la valeur de cette inconnue.
En portant cette valeur dans l'équation résolue précédente on aura la valeur d'une seconde inconnue, et ainsi de suite en remontant de proche en proche et en portant dans les équations résolues les valeurs des inconnues déterminées.
Appliquons à des exemples.
126 PRÉCIS D'ALGÊÈBRE.
177. — Exemple I. — Résoudre le système X—3—=3, (1) y—L+2—o, 33—Y—1—=0.
De la première équation je tire :
et je substitue cette valeur de x dans les deux autres, ce qui donne un système de deux équations à deux inconnues :
