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169. — Exemple V. — Le procédé employé dans l’exemple IIT, qui consiste à ajouter et à retrancher les deux équations a réussi, parce que dans les deux équations les coefficients de x ou ceux de y étaient égaux en valeur absolue. Alors, en ajoutant les équations, y disparaissait,

y était éliminé. De même, en retranchant, æ disparaissait, æ était éliminé.

Lorsque les coefficients de x ne sont pas égaux, on les rend égaux en multipliant les deux équations par des facteurs convenables.

Appliquons ceci à un exemple.

Soit le système suivani :

DPI UT,

Prenons d’abord comme multiplicateurs les nombres 2 et 3. Multiplions la première par 2 et la seconde par 3. Nous obtenons les équations équivalentes (n° 141)

\ 42% —67y—2, 1. SL h0Y—E Tr:

Dans ces deux équations, les coefficients de y sont égaux en valeur absolue. Ajoutons-les membre à membre; y disparaît et nous obtenons

(4+3)x—2+ 1, d'où LE 2:

De même, si on prend comme multiplicateurs (— 1) et 2 et si on ajoute membre à membre, æ disparaît et on trouve

(3 © £ 4)y=— I 5 8, d’où

Ce calcul se trouvera justifié par ce qui suit.

170. — Système général. — Considérons maintenant un système quelconque de deux équations du premier degré à deux inconnues.

En faisant passer, dans chaque équation, les inconnues dans le premier membre et les termes tout connus dans

le second, on obtiendra toujours un système de la forme ÿ DUC l \ ax + by L ŒV) 0x bre où à, b, a’, b', c, c’ désignent des nombres connus. Multiphions la première équation par b'etla seconde par b. Nous obtenons le système équivalent (n° 141) ab'æx + bb'y—=cb, ba'æ + bb'y—=bc.

Dans ces deux équations, les coefficients de y sont égaux. Toute solution (æ, y) de ce système vérifie évidemment l'équation obtenue en les retranchant membre à membre, ce qui élimine y et donne

(ab' — ba')æ = cb" — bc’. (1)

Multiplions ensuite la première équation par a’ et la seconde par a. Nous obtenons le nouveau système équivalent au système ([V) :

| aaxæ+bay=ca, | aa'xæ +ab'y =ac!.

Dans ces deux nouvelles équations, les coefficients de æ sont egaux. Toute solution de ce système vérifie évidemment l'équation obtenue en retranchant la première de la seconde. Cette opération élimine æ et donne :

(ab’— ba’) y = ac —- ca’. (2)

Ce calcul prouve que si (#, y) est une solution du système (IV), forcément x satisfait à l'équation (1) et y à l'équation (2).

supposons

ab'— ba 0, les équations (r) et (2) admettent alors une solution et une

seule __cb"—bc ac'—ca

PE bb? Va bai (3)

Si on porte ces valeurs dans le système (IV), on trouve aisément qu'il est vérifié, donc on peut énoncer le théorème général suivant :

Si ab’ — ba 0, le système (IV) admet une solution et une seule, définie par les formules (3).

171. — Méthode d'élimination. — Les exemples qui précèdent mettent bien en évidence la méthode générale à suivre, que l’on peut résumer comme suit :

Règle. — Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, on commence d'abord par les mettre sous la forme

ax + by, ax + by —<c,

en faisant passer, dans chacune des deux équations, les termes inconnus dans le premier membre et les termes tout connus dans le second membre et réduisant.

Ceci fait, pour calculer la valeur d'une des deux inconnues, on élimine l'autre.

Pour éliminer une des deux inconnues, on multiplie chacune des deux équations par le coefficient de cette inconnue dans l'autre équation et on retranche les deux équations ainsi multipliées, membres à membres.

ExEMPLE. — Soit à résoudre le système

zx 2 3