Fonctions hyperboliques inverses. Soient
Exprimons t au moyen de x, de y ou de ^. On a
d*oùy en éliminant y,
c'est-à-dire
tf« = a?H-j/a?* — 1 ou ^œ: {^>1)
Donc, Z désignant un logarithme népérien,
A une même valeur de x, correspondent deux valeurs égales et de signes contraires pour t, ce qui s'accorde avec le n<* 3.
En éliminant x, qui est toujours positif, entre les équations (1), on trouve, sans ambiguïté,
Quant à la relation entre t et z^ elle devient successivement
ttt
Les valeurs de t en x^ y, ou 2; sont parfois désignées par
ArgChâ?, ArgShy, ArgThi;,
qui se prononcent êrgument éoni le cosinus hyperbolique esi Xf etc« On a donc
Arg Ch a? = dr l'{x -4- f/x* — 1), Ai^g Sh y « Z (y + |/l -^ y%
Arg Th z
On trouve de même, pour les fonctions inverses de X <=■ Séch t, Y = Coséch<, Z = C3oth<.
ArgSéchX=db;(l:î:i^3!), ArgOoséchY=/(l:î±I^')
Arg Coth Z
Ces notations peuvent servir à faire ressortir, en calcul intégral, les analogies de certaines formules contenant des fonctions hyperboliques inverses avec des formules contenant les fonctions circulaires inverses.
1 1 . Notations allemandes. En Allemagne, les fonctions circulaires directes et inverses, sont désignées comme en Italie et en France, c'est-àdire, au moyen des lettres romaines.
Les fonctions hyperboliques sont représentées comme les fonctions circulaires, mais au moyen de lettres gothiques. Ainsi, au lieu de
Sh t, Arg Sh y
Gudermann et M. Gunther écrivent
JStn t, Slrc^in t,
notations moins expressives et moins faciles à transcrire que celles de Riccati et M. Hotiel.
Les notations allemandes ont été employées par quelques auteurs français. On a aussi écrit cosh t et H cos^, pour Ch t, Sect Ch t pour Arg Ch t^ et de même pour les autres fonctions hyperboliques directes ou inverses; mais les notations de M. Hoiiel semblent devoir l'emporter.
Au lieu de
=3 Amh t, t=' log. nép. tang ( t "^ ô ) Gudermann écrit
e = C^ t = lQ.
Ces notations n'ont guère été employées que par leur auteur.
IL Interprétation géométrique.
t%. Fonctions circulaires. Dans Téquation âr' *»> y* = 1 du cercle de
rayon égal à Tunité, posons
y = sin 0,
pour un point quelconque nif 6 étant une variable auxiliaire ; on aura
w == cos 0.
La tangente au point m^ ayant pour équation Xœ -h Yy c» 1^ a pour coordonnées à Torigine :
X =-= séc 9, Y =-= coséc 0.
Dans le cas de la ûgure, séc = 0;, coséc 6 := 0^' ; mais la démonstration précédente prouve que les coordonnées à l'origine, de la tangente au point considéré, représentent toujours en grandeur et en signe, séc 0, coséc 6, 6 étant la valeur de la variable auxiliaire en ce point.
Le rayon vecteur Om qui a pour équation Y =- X, rencontre les parallèles aux axes en A et B (menées à une distance de égale à Tunité), en des points t, t\ ayant, le premier, tang 6 pour ordonnée, le second cot 9 pour abscisse.
La variable auxiliaire 9 est la mesure de Tare Atn, pris avec un signe convenable, ou celle du double du secteur 0km pris avec le même signe.
Si Ton connaît les valeurs 94, 9s de la variable 9 correspondant à deux points mi, mt (non indiqués sur la figure), le point mz correspondant à ^ (94 -t- 9t) est à rintersection du cercle avec le rayon qui passe au milieu de la corde n^ifnt. Cette droite passe d'ailleurs par le point d'intersection des tangentes en mi et mt.
18. Fonctions hyperloliques. Dans l'équation a?' — y* = 1 de l'hyperbole équilatère de demi-axe transverse égal à l'unité, posons
y = Sht.
On aura évidemment, pour la branche de l'hyperbole, à abscisses positives,
a-=Cht.
La tangente au point M ayant pour coordonnées Gh t, Sh t (ou, plus
simplement, au point M ajant pour paramètre t), a pour équation X« — Yy =3 1 , Cette tangente a pour coordonnées à l'origine,
■S. = i=Sè6ht, Y= — i=. — Coséch*n.
Dans le cas de la figure, Sécliï = OS, CoBéchï = — OS'; mais la démonstration précédente est générale : la sécante liyperbolique de f est ) à l'origine, la cosécante hyperbolique, l'ordonnée & l'origine,
prite «igaUvemeni, de la tangente à l'hyperbole représentée par « = Cil i, y = Sh ï, au point de paramètre t.
Le rayon vecteur OM, qui a pour équation Y = - X rencontre lea
parallèles anx axes menées par A et B, en des pointa T et T', ayant le premier, Th ( pour ordonnée, le second, Coth t pour abscisse.
(•) On aurait Y = Coaéeh /, ù l'on avait pria pour définition de cette binctioiL
Si ti et t% sont les paramètres de deux points Mi, Mt, les coordonnées du milieu Mi de la corde MiMs seront
La droite qui joint ce point à l'origine a pour équation
elle coupe lliyperbole en un point Mi ayant pour coordonnées
«=«Ch^(/, -Hit), f^Sh^iU-^h),
ou ayant pour paramètre U = ^ {U + tt)» On sait d^alUeurs, par la théorie des diamètres et il est facile de vérifier directement, que OMs passe par le point de rencontre des tangentes en Mt et M2(*).
Par l'extrémité positive de Taxe OA, menons une parallèle à la corde MiMsy rencontrant la courbe en un point Ms de paramètre ^t, et le diamètre OM4 en M6(**). D'après ce que Ton vient de voir» tzf paramètre de Ms, intersection de OMa avec la courbe, sera égal à la demi-somme ^ts des paramètres de A et Ma* Donc ^5 =a ii + tt. Le point Ms est d'ailleurs évidemment sur la parallèle à OM4 menée par la seconde extrémité A' de l'axe OA. U est donc facile de construire le point Ms, correspondant à i^i -+• Uf quand on connaît les points Mi, Mf, correspondants kUytf^
14. SuUe. Interprétation géométrique de t. Considérons un secteur hyperbolique OAM, dont l'extrémité M a pour paramètre t. Il sera facile, par le numéro précédent, de construire les points ayant pour paramètres 't^\ 1^, !^; i^, 1^, 1^, i^ et ainsi de suite. Soient « = 2*, «(3 = ^ et
(*) Des triangles équivalents OM1M4, OM1M4, retranchons les tn^èzes équivalents ayant pour côtés parallèles les demi-cordes de Phyperbole, en nombre indéfiniment croissant, qui sont parallèles à MtMa et sont divisées en parties égales par OMs. Nous trouverons que l'aire du secteur hyperbolique OMiMs est égale à celle du secteur hyperbolique OMaMs; autrement dit, OMs divise le secteur OMiMa en deux parties égales, ce qui résulte aussi du n» suivant.
(**) Le lecteur est prié de faire la flgure. La construction analogue dans le cercle est trop simple pour être exposée explicitement.
appelons 1, 2, 3,..., (n — 1) les points ayant pour paramètres |3, 2(3, 3^,..., (fi — 1) ^. Les triangles OAl, 012, 023,... sont équivalents comme Ton sait. D'ailleurs, l'aire de celui dont les sommets ont pour coordonnées
(0, 0), [Ch (p - 1) f:i, Sh (p - 1) (i], [Ch pi3, Sh p[^l
est, d'après une formule connue,
i [Sh ;?13 Ch (;? — 1 ) (3 — Sh (i? — 1) .9 Ch j)3] « i Sh ^.
D'après cela,
Polygone OA123... M =|sh (3 «| M«i t X ^■;
d'où, en passant à la limite,
Sect. hjp. OAM = ^ / X lim^ •
Mais, d'après la troisième définition du nombre tf, donnée au début de ce travail, on a, en posant 2|3 s» a,
Sh(3 . e/^-tf-/^ g«/8 i 1 ^--1 1 , , ,
Lim--~=Lim — -7 — = Lira— -rr^ — — ^=Lim «Lim-^ssl xl = l.
(i 2i3 2^6 eP a eP
On a donc enûn
Sect. hjp. OAM ^{t,
c*est-à-dire que t est le double du secteur hyperbolique OAM, comme 6 est le double du secteur circulaire OAm.
15. RelaUons entre les fondions hyperboliques et les fonctions circulaires. I. Pour simplifier, considérons seulement les points de l'hyperbole et du cercle dont les deux coordonnées sont positives. Par le pied s de l'ordonnée Ml du point M de paramètre t, menons la tangente sms* au cercle. On aura Om^Oscon (angle A0«»), ou
1 =s Ch ^ cos (angle AOM).
L'angle AOM, ou 2 fois le secteur OAM, sera donc la variable 0, liée au double secteur t » 20AM, par la relation (1) du n* 8.
Les relations (2) du n** 8 correspondent dès lors aux propriétés géométriques suivantes :
Puisque Séch t <^ cas Q, la tangente en M à l'hj'perbole passe par le pied S de 1 ordonnée du point m du cercle. À cause de Sh ï ^ tang 9, ThfBBsmS, on a ensuite
jM = A(, AT=bS)«; BT' = Coth ( = coaéc 9 =0*; OS' = Coséch ( = cot 9 = B/'.
H. La droite Ov, qui joint le milieu v de AM à 0, passe par ie point N de l'hj'perbole de paramètre ^t et par le point r d'intersection des tangentes AT, M*. Donc Ar = TA J t. D'après le théorème de Laisant, Th{t = tang { 9. Par conséquent, Oi- passe aussi par le milieu m de l'arc Am et la tangente ms au cercle passe également par 7.
Il est facile, d'après cela, de construire te point N, sans que l'hyperbole soit tracée, par l'un des procédés qui permet de déduire d'un point de l'une des deux courbes, le point correspondant de l'autre. Réciproquement, étant donné le point N de paramètre 1 1, on peut aussi en d^uire le point M de paramètre t, en cherchant d'abord le point auxiliaire n, puis le point m.
