III. Dérivées, intégrales, séries

16. DiHvées et intégrales. On trouye immédiatement, en écrivant D au lieu de D„

DShfl? « Cha?, ^OYixdx = Sha?,

Q héhx « Shfl?, JSha?rfa? = Châ?,

$dx

Ch«a? ' JCh»a?

1 C dx

^^t»»^ — sh^ 5si^ — <'««'^'

DlShx^ Coth X, ^Coihxdx ^IShx,

D / Ch 0? = Th fl? ; ^Thxix^lCh x.

Pour les fonctions hyperboliques inverses, il vient

db 1

DArgChfl?=::Dd:ZU+ t/fl?«^l)= . ^ ' > (a?>l)

D Arg Sh a? = D / fa? -H L^a?* -^ l) ^^""7=== *

^ ^ yx* •+- 1

D Arg Coth <8 = D I ï ^1^^ « j-i^, («»>1)

DArgS*chfl? = D±ffL±ilLllf!')=« — ^= (a> < 1)

OArgCoséch« = D/fiJlt£LÏfL)«»— ^p=== •

Les formules oorrespondantes, en calcul intégral, sont :

^ = / (a? -^ i/x* — 1) = db Arg Ch x, {œ > 1)

C dx /

i =l[x -\' y x^ -♦- 1) = Arg Sh g.

Jj//p* ^ 1

C dx / X -H 1

\ . =-?( î^- )= qi Arg Séch a;, «<1

\ — =^ — Z( ^^ )= — Arg Cosech x.

ix |/1 -«• û?* \ ^ /

Elles sont analogues à des formules connues relatives aux fonctions circulaires inverses.

Les intégrales contenant des fonctions hyperboliques s'obtiennent, en général, par des procédés semblables à ceux qui donnent les intégrales contenant des fonctions circulaires. Exemples :

[dx { dx | ch*i^ 7mt, I

JShfl? 32Shia?Chia? JThiaî '^^

$dx

Remarque. Si Ton a Ch < cos 9 =» 1, on trouve — =» cos 0, - .« Ch t.

1 T. Séries. Les principaux développements en série des fonctions hyperboliques s'obtiennent aussi aisément que ceux des fonctions circulaires.

On sait que, pour toute valeur réelle de x,

ê"' =» 1 1 — H ^ ^ ^ ^ -♦- etc.

D'où, par addition et soustraction,

^^ ^ ° ^ -^ ils •*• ï:2£4r5 •*• 1.2.3.16.6.7 ^ '"'•' <*^ formules analogues à

Co8«; = l--H-j^2;3^-j2345g-Hetc., («),