DÉMONSTRATIONS GÉOMÉTRIQUES

69. — Ces démonstrations consistent, en général, dans un enchaînement de raisonne-

* La question des fractions donne lieu aux observations suivantes : De même que les noms de nombre de un à dix sont les individus du genre dizaine, les fractions de un dixième à neuf dixièmes sont les individus ou les parties du genre un. En d'autres termes, toute fraction est un individu ou une partie du genre tout ; ou bien encore, un tout est le genre pour la partie^ comme le tout est le genre universel pour chaque partie de l'univers.

LA RAISON, LE HAlSONNEaiENT I o5

ments substitutifs qui se ramènent aux catégories suivantes :

1° Application à un cas particulier d'un principe général. — Exemple : Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

a** Rappel d'une définition, — Exemple: On ne peut faire passer qu'une seule ligne du genre de celles appelées droites par deux points donnés.

3^ Application d'une démonstration antérieure d^un caractère général à un cas particulier. — Exemple : La somme des trois angles d'un triangle est égale à deux angles droits.

RAISONNEMENTS ALGEBRIQUES

70. — On appelle /'ormuZe la simplification écrite qui consiste à relier entre elles, en les remplaçant par des signes (-h plus ; — moins ; X multiplié par ; — divisé par, etc.), les indications des opérations qu'exige la réduction des combinaisons numériques à leur plus simple expression. Les formules, en tant

lo6 LE UAISONNEMENÏ ET SES AUXILIAIHES

qu'elles sont d'application réelle et directe, se rapportent nécessairement à des cas particuliers ; mais on peut les adapter aux cas généraux, c'est-à-dire en faire le modèle des opérations à effectuer dans toutes les circonstances analogues. Il suffît pour cela de substituerdes indications générales ou abstraites, exprimées par des signes conventionnels, aux données correspondantes particulières ou concrètes exprimées par les noms de nombre ou les chiffres habituels ; par exemple, de remplacer i8 -+- 7 par a -+- A. La substitution, en matière d'opérations numériques,des formules abstraites ou typiques aux formules concrètes ou spéciales constitue ce qu'on appelle V algèbre, laquelle est, comme on le voit, un système significatif au second degré.

Quant aux opérations spéciales auxquelles prête Talgèbre, elles consistent en synthèses qui reposent toutes sur des raisonnements substitutifs du genre de ceux dont on fait usage, soit en arithmétique, soit en géométrie.