XI. Trouver deux carrés qui diffèrent d'un nombre donné

Exemple. Soit 60 la différence des deux carrés, je représente le premier par , le second par (N + a)" , a étant quelconque ; leur différence 2 n a-|-a 2 = 60 ; donnant a a des valeurs arbitraires, telles que a 2 < 60, on déterminera la valeur n positive.

XII. À deux nombres donnés, ajouter un nombre inconnu, de telle sorte que les deux sommes soient des carrés.

Exemple. Soient 2 et 3 les nombres donnés , n le nombre cherché ; d'après l'énoncé on aura la double égalité : 3-|-n=^% 2 4" n== /N d'où ^ résulte que i =x*—y*=:(x— y) (x-r-y), mais 1 =4--^- j e P UIS égaler x-\-y à 4 et x— y ày, d'où jc= J f ,^=-7-, par suite

Une autre solution dispense de la double égalité. Désignons le nombre cherché par n * — 2 , en l'ajoutant a 2 on aura le carré N*, en l'ajoutant a 3 on aura n*-|- 1 qui devra être un carré. Je pose N*-f- 1 =(n — 4/ d'où N= T q u * résoudra le problème.

XIII. On donne deux nombres; on veut en trouvér un troisième tel , qu'étant soustrait de chacun des deux premiers, les deux restes soient des carrés.

XIV. Trouver un nombre tel, qu'étant diminué de deux nombres donnés, les deux restes soient des carrés.

XV. Diviser un nombre donné en deux parties , et trouver un carré tel, qu'étant ajouté à chacune d'elles, les deux sommes soient des carrés.

XVI. Diviser un nombre en deux parties, et trouver un carré tel, qu'étant retranché de chacune de ces parties, les deux restes soient des carrés.

XVII. Trouver deux nombres dans un rapport donné et tels, que si on augmente chacun d'eux d'un carré donné, les deux sommes soient des carrés.

XVIII . XIX. Trouver trois nombres tels , qu'une fraction de chacun d'eux, plus un nombre donné étant ajoutés au nombre suivant, les trois résultats obtenus après ces opérations soient égaux.

Exemple. Les trois nombres doivent être tels, que le second étant augmenté du 4* du premier plus 6 , le troisième du 4" du second plus 7 , le premier du -7- du troisième plus 8 , les trois résultats soient égaux.

XX. Trouver trois carrés tels, que la différence du plus grand et du moyen ait un rapport donné avec la différence du moyen et du plus petit.

Exemple. Le rapport donné est trois , le plus petit carré sera n% le carré moyen ( n -|- 1) " ; comme la différence de ces carrés est 2 n-|- i , d'après la valeur du rapport donné, l'excès du plus grand carré sur le moyen vaudra ( 2 n -f- 1) 3 , le plus grand carré sera donc ( w -f- j ) ^ — |— G is — J— 3. Il faut trouver une

valeur particulière de n qui rende cette dernière expression un carré ; Diophante l'égale à (n -f- 3) 3 et il obtient n = a ~ .

XXI , XXII. Trouver deux nombres tels , que le carré de chacun d'eux étant augmenté de l'autre , les deux sommes soient des carrés. Pour la question XXII on retranche au lieu d'ajouter.

XXIII, XXIV. Trouver deux nombres tels, que le carré de chacun étant augmenté de la somme de deux, les deux résultats soient des carrés. Pour la question XXIV les carrés sont diminués de la somme des nombres.

XXV , XXVI. Trouver deux nombres tels , que si le carré de leur somme est augmenté de l'un ou de l'autre nombre , les sommes soient des carrés. Pour la question XXVI on retranche au lieu d'ajouter.

XXVII , XXVIII. Trouver deux nombres tels , que si à leur produit on ajoute l'un ou l'autre nombre, les sommes soient des carrés. H faut aussi que la somme des côtés des carrés soit égale à un nombre donné. Pour la proposition XXVIII du produit des deux nombres, on retranche l'un ou l'autre nombre.

Exemple de la prop. XXVII. La somme des côtés des carrés doit être égale a 6; j'appelle les nombres cherchés N , 4 n — i , leur produit augmenté de chacun d'eux , donne 4 n% et 4n'+3n— i qui doivent être des carrés; il suffit pour cela de déterminer N en posant l'égalité 4N a +3 N ~ j = (6— 2N)' , ce qui détermine n; alors les côtés des carrés étant 3N, et 6 — 2N, leur somme vaut 6.

XXIX , XXX. Trouver deux carrés tels , que si a leur produit on ajoute l'un ou l'autre des deux carrés , les sommes soient encore des carrés. Pour la proposition XXX , du produit des carrés , on retranche l'un ou l'autre carré.

XXXI. Trouver deux nombres tels , que leur produit étant augmenté ou diminué de leur somme , les résultats soient des carrés dans les deux cas.

XXXII. Trouver deux nombres égaux en somme à un carré, et tels que leur produit étant augmenté ou diminué de leur somme, les résultats soient des carrés.

Solution. Supposons que ion et 2N soient les nombres cherchés, nous égalerons leur somme 12N à 16 n% ce qui donnera n = - 4 - ; avec ces conditions le produit 20 N* des deux nombres étant augmenté ou diminué de leur somme i6n% les résultats 36 n', 4n* seront toujours des carrés.

XXXIII. XXXIV. Trouver trois nombres tels, que le carré de chacun d'eux étant augmenté du nombre suivant , les trois sommes soient des carrés. Pour la proposition XXXIV, chaque carré est diminué du nombre suivant.

Solution XXXIII. Premier nombre n , second 2 n 4- 1 ' troisième 4 n 4- 3 , avec ces hypothèses le carré du premier nombre n plus 2N-|- 1 est un carré quel que soit n, le carré de 2 n4* « plus 4 n + 3 est aussi un carré quel que soit n ; il reste à déterminer n pour que le carré de ( 4 n -|- 3 ) augmenté dew soit un carré. Il suffira d'égaler i6n a -j-s5 N + 9 à

XXXV , XXXVI. Trouver trois nombres tels , que le carré do chacun étant augmenté de la somme de trois , les résultats soient des carrés. Pour la question XXXVI , le carré de chacun est diminué de la somme de trois.

Solution XXXV. Soit un nombre kzzzab=m ' b' =za" b" ',

il est clair que (£=*) +*, (î^i) "+*, ffi+k

seront des carrés. Cela posé, Diophante considère au lieu de k un nombre particulier, 12 par exemple, or:

i2=i . ta=2 . 6=3 . 4 ; prenant pour chacun des

nombres cherchés (-~"~) N > (^T^) N ' et

supposant que la somme de ces trois nombres égale i2N*=Z:N a , toutes les conditions du problème seront remplies; mais la condition que la somme des trois nombres ou 8n soit égale à I3N* exige qu'on ait n=-^-.