OÙ N

IV. Trouver trois nombres tels, que le carré de leur somme étant soustrait de chacun d'eux, les restes soient des carrés.

Solution. Soit n la somme des nombres que nous désignerons par 2 n* , 5 n a , ion", toutes les conditions du problème seront satisfaites si n = 1 7 n % ou n=*-^t.

V, VI. Trouver trois nombres qui fassent en somme un carré, et qui soient tels que deux quelconques étant ajoutés ensemble , leur somme surpasse le nombre qui reste d'un carré.

Solution. Désignons par (n -|- 1 ) 2 la somme des trois

nombres ; or on a : (n+ i)'= — -f-N -| — ^ — h~7+ N H~"r '

nous prendrons — + n pour le premier nombre , — + -7-

pour le second , et n -(- -7- pour le troisième. Toutes les conditions seront remplies , comme on peut le vérifier, si le premier plus le troisième moins le second , c'est-a-dire sn est un carré. On peut pour cet effet prendre N=8.

VII , VIII. Trouver trois nombres dont la somme soit un carré et qui soient tels , que la somme de deux quelconques soit aussi un carré.

Solution. Posons (n + i) a pour la somme des trois nombres; nous supposerons que le premier est 2N-|-i, la somme des deux autres sera n \ Je poserai ces deux autres nombres égaux à n'~4n et 4«; toutes les conditions seront remplies si 6n-|- 1 est un carré , par exemple pour n=8.

IX. Trouver trois nombres en progression arithmétique tels , que la somme de deux quelconques soit un carré.

Solution. Représentons la progression par x , x k , x-\-ik\ d'après l'énoncé 2X-\-k, 2X-f 2^, 2X-\-5k

devront être des carrés; or ces trois sommes sont en progression arithmétique ; il faut donc trouver trois carrés en progression arithmétique que nous égalerons à ces sommes partielles : appelons n * le premier carré , (n -J- i ) a le second , comme l'excès du second sur le premier est 2 n -f- i , le troisième carré devra être (n-|- i)*-f 2N-|- i . Déterminons n par la condition que cette expression soit égale à (n — 8)%

nous trouverons n = — , et les trois carrés seront (— ^

(m) ' (w>) .Leségalantà îx+k, 2 x-\-ik, ax-\-3k,

la raison k vaudra (j^ ~~ (7^) -> et ^ e double de x vaudra le premier carré diminué de la raison.

X. Trouver trois nombres tels, qu'en ajoutant à un nombre donné la somme de deux quelconques , les trois résultats soient des carrés.

Solution. Nombre donné 3. Posons pour le premier nombre cherché N*+2N— 6 , pour le second 2N+7 , pour le troisième 4n+i2- Toutes les conditions seront satisfaites si 2N + 7+4 N + 12 + 3 est un carré, ou si 6 N + 22 est un carré. Diophante détermine n en égalant cette expression à 100.

obs. de fermât. Dans la note à lo 3 e proposition du V e livre, nous avons découvert comment on peut trouver quatre nombres, tels que la somme de deux quelconques , ajoutée à un nombre donné, fasse un carré.

XI. Trouver trois nombres tels, que diminuant d'une quantité donnée la somme de deux quelconques , les trois résultats soient des carrés.

obs. de fermât. La note de la troisième proposition du livre V, enseignera comment on peut trouver quatre nombres tels, que la somme de deux quelconques, diminuée dtun nombre donné, fasse un carré.

XII. Trouver trois nombres lels , que les produits de deux quelconques, augmentés d'un nombre donné, donnent pour sommes des carrés.

Solution. Le nombre donné est 12 , les nombres cherchés seront représentés par 4n , deux conditions seront remplies quel que soit n , il suffira que le produit n* du premier nombre par le troisième , augmenté de 1 2 , soit un carré ; on pose N a -f- i2=(n + 3) 4 .

XIII. Trouver trois nombres tels , que diminuant le produit de deux quelconques d'un nombre donné , les trois restes soient des carrés.

Solution. Nombre donné 10 , nombres cherchés (3o-|-~-^n, ( 12-f—^-^N, deux conditions seront remplies ; on déterminera N pour que la troisième condition soit satisfaite.

XIV. Trouver trois nombres tels , que le produit de deux quelconques , plus le nombre restant , fasse en somme un carré.

Solution. Prenons le carré N , - r -6 N + 9= N ( N +6^+9- Si nous supposons que les nombres cherchés sont n , n -f-6, 9, une condition du problème sera remplie. Il restera a faire que ion-|-6 et ion-|-54 soient des carrés ; or ces nombres diffèrent de 48 , il faut donc les égaler a des carrés qui différent de 4^. H est aisé de déterminer ces carrés , une solution serait 64 et 16, et on posera ion4-6=i6, ion-|-54 =64.

XV. Trouver trois nombres tels , que le produit de deux quelconques , moins le nombre restant , fasse pour reste un carré.

Solution. Premier nombre n, second n-|»4i troisième

4 N. Il faut, pour que toutes les conditions soient satisfaites, que 4 N * — el 4 n '+ i 5n soient des carrés. Mais ces expressions diffèrent de 4 ( 4 N "h 1 )• Si donc on fait le carré de la demi-somme des facteurs ou de 3N + -f on l'égalera à 4 n" + 1 5 n et on trouvera n =-j£- . Le carré de la demi-différence aurait été égalé à 4n* — n — 4-

XVI. Trouver trois nombres tels , que le produit de deux quelconques, plus le carré du nombre restant, fasse en somme un carré.

Solution. Premier nombre N , second 4n + 4i tro '~ sième i . Deux conditions sont satisfaites quel que soit N , il faudra déterminer cette inconnue par la condition que i6n*+33n+i6 soit un carré; on égale cette expression à ( 4 n — 5) a , d'où n = , les trois nombres sont :

XVII , XVIII. Trouver trois nombres tels , que le produit de deux quelconques, augmenté de la somme des deux mêmes nombres , fasse un carré.

Solution. Prenons 4 , 9 ? n pour les trois nombres cherchés. Les deux premiers remplissent la condition demandée ; il faudra ensuite que 5 n + 4 et ,ON +9 soient des carrés; or ces carrés différeront de 5 n -f- 5 ou de 5 ( n-J- i) , le plus grand des carrés aura pour côté la demi-somme des deux

facteurs ou le plus petit leur demi -différence

-——2, par suite ion + 9= f — J , d'où N = a8.

obs. de fermât. Il y a un problème de Diophante au livre V e , proposition 5° , relatif à cette question. Mais Z)iophante a-t-il omis sciemment le problème suivant , ou était-il résolu dans quelqu'un de ses treize livres. Nous l'ignorons.

Trouver trois carrés tels , que le produit de deux quelconques , ajouté avec leur somme, fasse un carré. Nous pouvons cependant donner une infinité de solutions de cette question; par exemple, les trois carrés suivants satisfont au

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problème : — 5-7 , ? / , 4.

De plus , nous pouvons étendre plus loin la question de Diophante , car 7ious avons résolu généralement et d'une infinité de manières le problème suivant :

Trouver quatre nombres tels, que le produit et la somme de deux quelconques ajoutés ensemble fassent un carré.

Cherchons par la 5 e proposition du livre III e trois carrés tels, que le produit et la somme de deux quelconques ajoutés

ensemble fassent un carré : — , — , sont trois car- ' 9 9 9

rés , quon peut prendre pour les trois premiers nombres de notre question. Appelons n le quatrième nombre ; les produits de n par chacun des nombres précédents ajoutés avec la somme de n et de chacun de ces nombres donneront :

— n+— , -2^-n4-— , — ; et égalant ces trois

9^9 9 1 9 9 9 * quantités à des carrés, il en résulte une triple égalité dont

nous avons donné £ explication à la question 24 e du