livre VI e

XIX. Trouver trois nombres tels , que si du produit de deux quelconques, on retranche la somme des deux mêmes nombres, les restes soient des carrés.

Solution. Je cherche d'abord deux nombres N-f 1 et 4 n -}- 1 qui satisfassent à la condition du problème, c'est-adire que leur produit moins leur somme, ou 4n'— i soit un carré; on égalera cette expression à(aN~ 2)% d'où

5 i3 n = — . Le premier nombre sera par conséquent -g- , et le

second -~; on désignera ensuite le troisième nombre in-

connu par n' et on procédera comme dans la proposition précédente.

XX. Trouver deux nombres tels , que si a leur produit on ajoute leur somme , ou successivement chacun des deux nombres , les résultats soient des carrés.

Solution. Si un des nombres est n et l'autre 4 n — i , leur produit plus le premier sera le carré 4 ^ *, il restera deux conditions, savoir que 4 n * + 3 n — i et que 4 n * + 4 N — 1 soient

des carrés ; ces carrés différeront de n ou de 4 n . Le côté du plus grand carré sera in-^ — ^- , et on aura : 4n" + 4 n — » =( 3 N + -^y ;par suite, N=^p et le second nombre A n — i = — f .

XXI. Trouver deux nombres tels , que leur produit étant diminué d'un des deux nombres , ou de leur somme , les résultats soient toujours des carrés.

Solution. Diophante pose pour le premier nombre n -f* 1 , pour le second 4 n.

XXII. Trouver quatre nombres tels, que le carré de leur somme , augmenté ou diminué successivement de chacun d'eux , donne pour résultat un carré.

Solution. Si on a un triangle rectangle dont l'hypothénuse soit a et les côtés c, puisque a -\-C , a 9 ±2 bc sera un carré. Pour résoudre notre problème, nous prendrons quatre triangles rectangles de même hypothénuse ; cette hypothénuse multipliée par n représentera la somme des quatre nombres , qui seront les doubles produits des côtés de l'angle droit dans chaque triangle, multipliés par n\ Or en décomposant de quatre manières 65 en deux carrés , on formera quatre triangles rectangles 65,39,5a, ou 65, 60, a5, ou 65, 63, 16, ou 65,56,33. La somme des

nombres sera 65 . n , chaque nombre 2 x 39 x 5i . s ' , 2 x6o x s5. n', 2 x 63 x 16. n% 2 x 56 x 33. n\ leur

somme vaudra 1 2768 n ' =■ 65 is , n = g 8 , et les nombres cherchés seront des fractions dont les numérateurs égalent 17136600, 12675000, i5656oo , 8317600. Le dénominateur commun i6 3o2 1824.

Une formule générale qui donne une infinité de triangles, sans cesse employée par Diophante , est: (je'— -jr* ) a + ( 3 xyy-=.{x x -\-y* )*; si on connaît x, y on aura les éléments qui détermineront les côtés et l'hypothénuse ; dans le problème actuel l'hypothénuse 65 est donnée et on la décompose en deux carrés de quatre manières , de telle sorte que 65 =zx*-\-y % . Par suite de la détermination de x, y, les côtés de l'angle droit sont connus.

obs. de fermât. Un nombre premier qui surpasse de 1 tout multiple de 4 , est une seule fois hypothénuse d"un triangle rectangle ( formé de côtés entier 'sj , son carré deux fois, son cube trois fois , sa quatrième puissance quatre fois , etc. à l'infini.

Le même nombre premier et son carré sont composés £ une seule manière de deux carrés , son cube et sa quatrième puissance de deux manières , la cinquième et la sixième puissance de trois manières , etc. , à tin fini.

Si un nombre premier, composé de deux carrés, est multiplié par un autre nombre premier, aussi composé de deux carrés, le produit se composera de deux manières de deux carrés ; s il est multiplié par le camé du second nombre premier , le produit sera composé de trois manières de deux carrés, s'il est multiplié par le cube du même nombre premier, le produit sera composé quatre fois de deux carrés, et ainsi jusqu'à l'infini.

De là il est facile de déterminer combien de fois un nom-

bre donné est hypothénuse tfun triangle rectangle. Considérons tous les nombres premiers surpassant d'une - unité les multiples de 4 > tels 9^e 5 , 1 3 , 17 qui divisent le nombre donné. Si certaines puissances des trois nombres ci-dessus divisent le nombre donné de telle sorte que 5 entre trois fois comme facteur de ce nombre , 1 3 deux fois et 1 7 une fois ; prenons les exposants de tous les diviseurs , savoir : 3 exposants de 5 , 2 exposants de 1 3 , 1 exposant de 17; classons ainsi ces exposants : 3 , 2 , 1 . Multiplions le premier par le second , doublons le produit et ajoutons la somme des deux (3x2X2-|-34-a) on trouvera 1 7. Multiplions 1 7 par le troisième exposant, doublons, et au produit ajoutons la somme 1 7 -f- 1 , on trouvera (17X 1 x 3 -f- 1 7 + 1 ) =52. Le nombre donné sera t hypothénuse de 52 triangles rectangles. La méthode est la même, quels que soient les diviseurs et leurs puissances.

Les nombres premiers restants qui ne surpassent pas d'une unité un multiple de 4 , quelles que soient leurs puissances, n'augmentent ni ne diminuent le nombre de solutions de la question.

Trouver un nombre qui soit hypothénuse, autant de fois qu'on voudra (satisfaire à l'équation z 9 = x ï -|-^* a ). Cherchons, par exemple, un nombre qui soit 7 fois hypothénuse. 7 étant doublé, on trouvera 14, qui augmenté de 1, donne i5. Les nombres premiers qui divisent i5 sont 3 et 5, retranchons une unité de chacun dïeux , la moitié des restes sera 1,2. Faisons le produit de deux nombres quelconques affectés des exposants t , 2 , on satisfera à la question, pourvu que les nombres premiers qu'on prendra soient de la forme 4N + 1 > et delà il résulte qu'on peut aisément trouver le plus petit nombre qui soit hypothénuse autant de fois qu'on voudra.

Trouver un nombre qui soit composé de deux carres a" autant de manières qu'on voudra, soit 10 ce nombre de

solutions, 20 son double dont les facteurs premiers sont n, 2 , 5 ; de chacun d'eux ôtons une unité, il restera i, i, 4 ; prenons donc trois nombres premiers f surpassant de i un multiple de quatrej par exemple 5 , 1 3 , 17, et multiplions la quatrième puissance de l'un par le produit des deux autres , on aura le nombre cherché ; mais pour reconnaître combien de fois un nombre donné est composé de deux carrés, soit ce nombre donné 3i">. Les nombres premiers qui le composent sont 5 , 1 3 (chacun d'eux est de la forme 4 n -f- 1 Jt les exposants de ces facteurs sont ?.et\, leun produit ajouté à leur somme donnera 5 qui, avec t addition d'une unité, deviendra 6; sa moitié 3 , exprime de combien de manières le nombre 3 j5 peut se décomposer en deux carrés. S'il y avait trois exposants , tels que 2, 2 , 1 , il faudrait ainsi procéder : le produit des deux premiers ajouté à leur somme donne 8; multiplions 8 par le troisième exposant et ajoutons au produit la somme des facteurs (8. 1+8-f- 1 ) on trouvera 17 qui, augmenté de 1, donne 18; sa moitié g exprimera de combien de manières le nombre dont les facteurs premiers ( de la forme 4 n + 1 ), et affectés des exposants 2,2, 1 , se décomposera en deux carrés Si le dernier nombre qui doit être divisé en deux parties égales était impair, on le diminuerait de 1 et on prendrait la moitié du reste.

Enfin , proposons-nous la question suivante : Trouver un nombre entier qui, ajouté à un nombre donné, fasse un carré , et qui soit hypolhénuse dfun certain nombre de triangles rectangles ; la question est ardue. Proposons-nous par exemple de trouver un nombre qui soit deux fois hypothénuse et qui, augmenté de 2, fasse un carré. Le nombre cherché sera 20 2 3 , et il y en a une infinité a" autres qui ont la même propriété, comme 3362 , etc. , etc..

XXIII. Diviser un nombre donné en deux parties , et trouver un carré qui , diminué de l'une ou de l'autre partie , laisse constamment un carré pour reste.

Solution. Soit 10 le nombre donné, j'appelle le carré

cherché n'-|- 7 n-|- i ; or ce carré diminué de 4^ ou de

2 n -f- 1 , laisse pour restes deux carrés , il faut donc que

les deux parties de io soient 4* et în+i, ou que'

6n + i = io, d'où n = — ; par suite les deux parties seront G , 4» et le carré .

XXIV. Diviser un nombre donné en deux parties , et trouver un carré qui , ajouté à l'une ou à l'autre , donne en somme des carrés.

Solution. Carré cherché n* + 2N-|-i, nombre donné 20 , ses parties 2 n -|- 3 , 4 n + 8.