LIVRE IV

I. Diviser un nombre en deux cubes, dont la somme des côtés est aussi donnée.

Solution. Nombre donné 370, somme des côtés des cubes 10. Un des cubes sera (n + 5) 3 , l'autre (5 — n) 3 , leur somme 3ow a -f 350 = 370 , d'où N= 2 ; côté du premier cube 7 , côté du second 3.

II. Trouver deux nombres dont la différence soit égale à un nombre donné , et dont la différence des cubes soit aussi donnée.

Solution. Différence des nombres 6, différence de leurs cubes 5o4- Le premier nombre sera n + 3, le second n — 3 ; la différence de leurs cubes 18 n* + !>4 = 5o4 , n = 5; côtés des cubes 8,2.

Dans le commentaire , Bacbet propose les trois questions suivantes :

1" Question. Etant donnés deux cubes, en trouver deux autres dont la somme soit égale à la différence des deux premiers. Il faut de plus que le double du petit cube ne surpasse pas le plus grand

2 e Question. Etaut donnés deux cubes , en trouver deux autres dont la différence égale la somme des cubes donnes (u*-\-P — x 3 — j 3 ).

3 e Question, Etant douncs deux cubes , en trouver deux autres dont la différence égale la différence des cubes donnés. Le double du plus petit cube doit excéder le plus grand (a 3 — £ 3 :=.x 3 — j 3 , 2j 3 >a; 3 ).

obs. de fermât. Nous avons facilement étendu par la répétition de l'opération la détermination de la première question , et nous avons généralement construit cette question et les suivantes, ce que Bachet et Viete lui-même n avaient pu accomplir : soient 64 et 1 a5 les deux cubes donnés, il faut en trouver deux autres dont la somme soit égale à la différence des cubes donnés. Pour la solution de la 3 e question

ci-dessus , Bachet trouve que les cubes sont 25oo |^ et

25oo47 * ^ a P™ $ ^ wo ^ e ^ ^ ur détermination, ces cubes ont une différence égale à celle des cubes donnés; mais ces deux cubes trouvés par l'opération de la troisième question , peuvent être transportés à la première question, puisque le double du plus petit ne surpasse pas le plus grand. Ainsi étant donnés ces deux cubes , qu'on en cherche deux autres dont la somme soit égale à la différence des cubes donnés , ce qui est permis par la détermination de la question première. Mais la différence des deux cubes trouvés est , d'après la troisième question, égale à la différence des cubes considérés d'abord, savoir 64 et 125, par conséquent rien n empêche de construire deux cubes dont la somme soit égale à la différence des cub^s donnés 60 et 125, ce qui, sans aucun doute, étonnerait Bachet lui-même (1). Déplus, si ces trois

(1) En résumé, par la première question ia5 — 6/\=x*-4-x*, par la troisième Bachet trouve que ti5 — 6i = ÏJ * 5a; | 91> t~t i on pe ut donc 6e pro-

^ ^ j5oo47 j5oo47 r 1

poser de résoudre : l5,5, " a — 5 — = x* -f y*, qui d'après la forme du pre-

aSoo47 a5oo47 1 ' 11 '

mier membre donnera pour x et / une solution nouvelle.

questions vont en cercle et sont répétées à t infini, ondrouvera des systèmes en nombre infini de deux cubes ayant la même propriété, car des deux cubes trouvés en dernier lieu, dont la somme égale la différence îles cubes donnés, par l'opération de la seconde question , nous en chercherons deux autres dont la différence égale la somme des derniers , c'est-à-dire la différence des premiers, et de cette différence , de nouveau nous chercherons la somme, et ainsi à l'infini.

Quand on a une relation de la forme i < i 3 + /> 3 = x 3 -f-j 3 , a et h étant donnés , il est facile de trouver tout d'abord une solution en posant .T = a + ceN, yr=A-|-N et disposant de « de manière à faire disparaître , après la substitution , la première puissance de s ; on tombe alors sur une relation de la forme £a 3 s a =o qui donne de suite

wzz: — -t. Fermât admet la solution par ce procédé des trois ques-

tions posées , puis il fait servir chaque détermination , qui change les données a , b à la recherche de nouvelles solutions.

OBS. DE FERMAT SUR LA. TROISIÈME QUESTION. La méthode

qu'emploie Bachet pour cette troisième question n'est pas légitime, et nous £ apercevrons par un procédé pareil à celui dont nous avuns fait usage pour la première question.

De plus, par ce qui a été dit ci-dessus , nous construirons aisément une question que Bachet a ignorée. Diviser un nombre donné composé de deux cubes en deux autres cubes, et cela par une suite infinie coopérations successives, comme nous l'avons indiqué plus haut.

Soient deux cubes S et i , on veut en trouver deux qui aient la même somme. Par la seconde question , trouvons deux cubes dont la différence égale la somme 9 des cubes

donnés, ces cubes seront ^p-> ^3-, et puisque le double du plus petit excède le plus grand, la proposition se ramène à la troisième question , qui enfin sera réduite à la première , et le problème sera résolu. Si on veut une autre

solution, la question se ramènera de nouveau à la seconde, etc. , etc.

Mais pour quil soit évident que la détermination de la troisième question nest pas légitime : étant donnés deux cubes 8 et i , il faut en trouver deux autres dont la différence égale la différence des cubes donnés ; certainement Bachet affirmerait que cette question est impossible; cependant les deux cubes trouvés par notre méthode, dont la différence égale 7 ou 8 — 1 , sont les suivants : 20242846 25 1981385216 6128487 et 6128487 '

Bachet résout la troisième question dans le cas particulier où les cubes donnés sont i a5 et 64 , et il pose 125— 64=(*n — 4) 3 — ( N — 5) 3 , ce qui lui donne, en faisant disparaître la première puissance deN par

le moyeu de l'indéterminée « ; «n — 4=^" elN =5 -H—. Mais si

Bachet avait appliqué son procédé aux cubes 8 et 1 que propose Fermat , il aurait fallu poser 8 — 1 =(*n — 1) 3 — (n — a) 3 , et alors on

5 4 aurait trouvé *v— i=—, n — 2 = |-; la seconde quantité

négative ne répond pas au problème , aussi Fermât fait remarquer que la détermination de Bachet est illégitime.

IIÏ. Trouver un nombre qui , multiplié successivement par un carré et par son côté , donne deux produits tels , que le premier soit la racine cubique du second.

Solution. Le premier nombre sera — , il sera multiplié

par un carré N a et par sa racine n, et il faudra que — . n*

soit la racine cubique de — . n ou que 8 n soit la racine cubique de 8 , ce qui donne n = -^- . Par suite , le premier

nombre sera 32, le carré -Vet sa racine — .