IV. A un carré inconnu , et à son côté ajouter le même

nombre, de telle sorte que la première somme soit le carré de la seconde.

Solution Le carré cherché sera n a , son côté n ; ajoutons à l'un et à l'autre 3is a , il faudra que 4 n* soit le carré de

n +- 3 n ' ou 4 N a = (N + 3is , ) a , d'où n = -^-. Le premier carré sera , son côté-^-, le nombre a ajouter

V. A un carré et à sa racine ajouter le même nombre , de telle sorte que la première somme soit la racine carrée de la seconde.

Solution, Le carré sera n * , sa racine n , nombre à ajouter

VI. A un cube et à un carré ajouter le même carré , de telle sorte que la première somme soit un cube, et la seconde un carré.

Solution. Représentons Je cube par n 3 , le carré par 9 n * ,

et le nombre à ajouter par 161*', N 3 -j-i6?i a devra être

un cube , je l'égale a 8 n 3 ; d'où n= — .

VII . VIII. A un cube et à un carré ajouter le même carré , de telle sorte que la première somme soit un carré et la seconde un cube.

Solution. Je représente le cube par 5n 2 , le carré par n* , le carré à ajouter par 4 n 2 ; par l'addition de ce troisième nombre aux deux premiers , on trouve 9 n 8 qui est un carré , et 5 n 9 qui doit être un cube. Je pose 5 n a = n 3 , d'où n =5. Les nombres cherchés sont ia5 , 25, 100.

IX. A un cube et à son côté ajouter le même nombre , de telle sorte que la première somme soit le cube de la seconde.

Solution. 8n 3 sera le cube , 2 n son côté , le nombre à

ajouter n, on aura 8n 3 + n = 37N 3 , ou 27 — 8=-^- qui

ne peut exister, puisque 27 — 8 n'est pas un carré ; le problème exige donc qu'au lieu de 27 et de 8 nous puissions trouver deux cubes dont la différence soit un carré ; prenons les cubes de (a + 1 ) et de a égalons leur différence a ( 1 — 2 n ) *, d'où a •= 7 , les cubes seront 343 et 8 1 2 , dont la différence est 1 3 \ Cela posé , nous modifierons nos hypothèses et nous prendrons pour le cube donné 343 n 3 , pour sa racine 7 n , et pour le nombre a ajouter n , il faudra que

343n 3 + n=(8n)\ d'où n = -^j. Par suite le cube cherché sera : , et sa racine-^-; le nombre à ajouter

2197 ' ii ' J

sera -V • i3

X. A un cube et à son côté ajouter le même nombre, de telle sorte que la première somme soit la racine cubique de la seconde.

Solution. Cube ia5 n 3 , son côté 5k, nombre à ajouter

5i2.n 3 — 5n. Il faudra que 637 n 3 — 5 y soit la racine

cubique de 5i2N 3 , ou que 637 n 3 — 5n = 8n ; d'où; , i3 1 1

XI. Trouver deux cubes dont la somme égale la somme des racines.

Solution, Cubes a 3 n 3 , P 3 n 3 , racines an, pu, on devra avoir : ^ = —, il faut donc trouver deux nombres a, p,

tels que le rapport de la somme de leur cube a la somme de leurs racines soit un carré. Je pose p = 2 — a ; par cette hypothèse l'égalité deviendra 4 — 6 a 4- a 9 =-^7; je remplace le second membre par (4 a ~ * Y nous trouverons alors :

a =-îi'P=7i' ^=(4) a ' NJ= -ïT' et les côlés des cu "

bes seront — , — .

obs. de fermât. Il faudrait ajouter à la détermination de ce problème ce que nous avons inséré dans les notes suivantes; et Bachet me surprend, non pas de ce qu'il n'a pas vu la méthode générale, qui est assurément difficile , mais de ce quil n'avertit pas ses lecteurs que celle qu'il donne n'est pas générale.

XII. Trouver deux cubes dont la différence soit égale à la différence des racines. ( Même solution que la précédente.)

obs. de fermât. Supposons qu'on ait à chercher deux quatrièmes puissances dont la différence soit égale à la différence des racines , t artifice de notre méthode réussira infailliblement pour cet objet.

Soit à chercher deux quatrièmes puissances dont la différence soit un cube , et la différence des côtés égale à i. La

première opération donnera pour côtés 2- et — . Mais

comme le premier nombre est affecté du signe — , répétons l'opération conformément à notre méthode , et posons pour le

premier côté n — et po ur le second n + -~ , on tombera

sur une nouvelle équation qui satisfera à la question en termes convenables.

Bachet résout deux problèmes plus généraux que celui de Diophante ; il cherche deux cubes dont la différence divisée par la différence des racines multipliées par un nombre carré , ou qui soit le tiers d'un carré, donne pour quotient un carré j Fermât sur ce point ajoute l'observation suivante.

obs. de fermât. La détermination est illégitime parce qu'elle n'est pas générale; en conséquence il faut ajouter ou multiplier fia différence des racinesj par les nombres pre-

miers qui surpassent dfune unité le multiple de trois, ou ceux qui sont composés de ces nombres premiers , tels que : 7, 1 3 , 19, 37, etc., 0M2i, 91 , etc. La démonstration et la construction peuvent être tirées de notre méthode.

XIII. Trouver deux nombres tels , que le cube du plus grand augmenté du plus petit soit égal au cube du plus petit augmenté du plus grand.

Solution. On appelle ccn, (în, les deux nombres. La question revient a trouver deux cubes dont la différence , divisée par la différence des côtés, soit un carré.

XIV. Trouver deux nombres tels , que , si à chacun d'eux ou â leur somme , ou à leur différence , on ajoute une unité , la somme soit toujours un carré.

Solution. Je prends un premier nombre de la forme à* — 1 =pq , et un second — 1 > chacun de ces nom-

bres, ou leur somme plus 1 fait un carré; il reste a les choisir, de telle sorte, que leur différence plus 1 soit un carré.

Diophante suppose a=3n-|-i, </ = n, /> = 9 n -f- 6 ; il

faudra que 7 N'-f- i8n-|--9 80 ' 1 un carre \ P ar exemple (3 — 3 n ) \ ce qui donue n= 18 , et les nombres cherchés seront 3oa4, 5624.

XV. Trouver trois carrés tels , que leur somme soit égale à la somme des trois différences qu'on peut faire en les soustrayant deux à deux.

Solution La somme des trois différences vaudra deux fois l'excès du plus grand des trois carrés sur le plus petit. Si 1 est le plus petit carré et (N+i) 9 le plus grand, le double de leur différence ou 2N*-|-4 N vaudra la somme des trois carrés, savoir: 1 — |— ( n — |— i ) 2 plus le troisième carré qui est en conséquence n 9 -|-2N— 2, cette dernière ex-

pression devant être un carré , je l'égalerai à ( n — - 4 ) % d'où

9 ». i ' iq6 19.1

N=-jr-, par suite les carres seront —, i.

XVI. Trouver trois nombres tels, que les produits de la somme de deux quelconques par le nombre qui reste soient égaux a des nombres donnés.

Solulion.Les nombres donnés sont 35, 3a, 37 ; le premier

nombre cherché sera n, le second — , le troisième — , il fau-

' N If '

dra d'abord que n ( ""^ ^— 35 , ou quea-|-p:=35,il faudradcplusque(N+-^-£- =3a et que (is-|— £-)-£-= 37 ;

soustrayant ces deux dernières égalités, on trouve p— a=5, par suite p=ao, a=i5. D'oùis = 5. Le premier nombre sera 5, le second 3 , le troisième 4-

XVII. Trouver trois nombres dont la somme soit un carré, et qui soient tels que le carré de chacun , augmenté du suivant, donne pour somme un carré.

Solution. Celle de Fermât est simple.

obs. de fermât. On peut peut-être résoudre cette question avec plus élégance. Posons le premier nombre n, le second 1 n -f- 1 , de telle sorte qu'avec le carré du premier la somme soit un carré. Supposons le troisième composé d'unités et d'un nombre quelconque, mais soumis à cette condition qu'ajouté au carré du second la somme soit un carré; soit par exemple ce nombre 4 n + 3 Ç on voit en effet que (a n + 0 3 + 4 N "h 3 = (3 rs -f- 2) *J, ces deux derniers nombres satisfont à la question ; il reste à faire que la somme des trois nombres , et le carré du troisième ajouté avec le premier fasse des carrés ; la somme des trois est 4 + 7 " , mais la somme du premier nombre et du carré du troisième est iÔN'-f*^ N H~9 # » M en résulte une double égalité dont

a solution est immédiate , si on ramène au même nombre carré les unités carrées de chaque égalité (on multiplierait la première par 9 et la seconde par 4J.

Par la même voie, la question sera facilement étendue à quatre nombres , et à une infinité; seulement il faudra faire en sorte que la somme des unités posée dans chaque nombre fasse un carré, ce qui est très-facile.

XVIII. Trouver trois nombres dont la somme soit un carré, et tels que l'excès de chacun sur le nombre qui le suit soit un carré.

obs. de fermât. Nous avons fait usage pour ce problème du raisonnement employé dans la question précédente , nous le résoudrons ainsi et nous F étendrons à autant de nombres qu'on voudra.

XIX. Trouver deux nombres tels , que le cube du premier, plus le second, fasse un cube, et que le carré du second, plus le premier, fasse un carré.

Solution. Le premier nombre sera n, le second a 3 — n 3 . Il faudra que (a 3 — is 3 ) a +is soit un carré; on l'égalera à

(a 3 +N 3 )\d'oùa 3 =7^; il faut trouver pour a 3 un cube égal à un carré, on posera a 3 = 64, et n=^-.

XX. Trouver trois nombres tels, que, si aux produits de deux quelconques on ajoute une unité , les sommes soient des carrés.

Solution. Le premier nombre N+ 2 , le second s , le troisième 4n + 4-

obs. de fermât. Proposons-nous de trouver trois nombres tels , que le produit de deux quelconques augmenté de 1 fasse un carré, et que, de plus, chacun d'eux augmenté de 1 fasse en somme un carré.

Nous joindrons ici la solution de cette question , et déjà elle est trouvée. Etablissons la solution indéfinie de la présente question, de telle sorte que tes unités déterminées du premier et du troisième nombre étant augmentées de i fassent des carrés. Prenons par exemple les trois nombres indéterminés n +^ , k et n -f- . // est clair que cette

solution indéfinie satisfait aux conditions de cette seconde question.

Il reste à faire que chacun des trois nombres , augmenté de 1 fasse un carré, et il en résulte une triple égalité, dont la solution sera immédiate , puisque le nombre d'unités des trois nombres indéfinis , augmenté de \ , fait un carré.

XXÏ. Trouver quatre nombres tels, que si on les multiplie deux a deux , et si a chaque produit on ajoute une unité, les sommes soient des carrés.

Solution. Premier nombre n -f- 2 , le second n , le troisième 4 N 4" 4 1 k quatrième 91s Toutes les conditions seront satisfaites si le produit du premier par le quatrième plus 1, donne un carré; ou si 9N a +24N+i3 égale un

carré , par exemple ( 3 n — 4 ) % d'où n =

obs. de fermât. Soient trouvés trois nombres quelconques , de telle sorte que le nombre qui vaudra le produit de deux de ces nombres plus 1 soit un carré. Soient ces nombres 3 , 1,8, cherchons-en un quatrième tel, que son produit par chacun des trois premiers , pris séparément en ajoutant 1 , fasse un carré. Soit n ce quatrième nombre , tï faudra donc que 3n-(-i, n + 1 , 8 n -)- i soient des carrés , et de là résulte une triple égalité dont la solution est duc à notre invention. Voyez ce que nous avons annoté à la question 24* du livre 6«.