XXII. Trouver trois nombres qui forment une proportion
géométrique continue et qui soient tels, que les différences deux a deux de ces nombres soient des carrés.
Solution. Premier nombre n, second «-(-9, troisième
n+ 2 5 , leurs diflérences sont des carrés ; il faut de plus que
( N +9)* =N ( N + 2 ^)i d'où n=— , le second nombre
sera — , le troisième — .
XXIII. Trouver trois nombres tels, que leur produit, augmenté de chacun d'eux , fasse en somme un carré.
Solution. Le produit des trois nombres sera n*— 2 N, le
premier 1 , le second 2 n , le troisième — — 1 , il suffira de
remplir la condition n* jr 1 * - " 1 tyd ' d un carré; par
exemple à ( n — 3 ) \
obs. de fermât. La question peut se résoudre non-seulement par le lemme que pose Diophante, mais aussi par la double égalité. Supposons le produit des trois nombres n* — 2 n , le premier sera 1 , le second 2 n ; ainsi on satisfait à deux conditions de la question. Pour avoir le troisième nombre , divisons le produit des trois n * — 2 n par 2 n produit des deux premiers; il résultera de cette division le
troisième nombre— 1 qui , ajouté au produit des trois,
donne n ■ — n — 1 qu'on doit égaler à un carré. Il faut, à
cause des suppositions faites, que la valeur de n soit plus
grande que 2 ; égalons en conséquence n a — n — 1 à un
carré dont le côté sera n moins un nombre d! unités plus grand que 2 , tout sera établi.
XXIV. Trouver trois nombres tels , que si de leur produit on retranche chacun d'eux , les trois restes soient des carrés.
Solution. Produit des trois nombres n*-|-n, premier N, second s+ i , troisième i. Il faudra que N a — i et N a -(-N— i soient des carrés, ce qui conduit à une double
égalité ; les deux carrés diffèrent de n — 2= 2 {-^ 1 ^, un
des deux sera (-j^ — | — ^ , l'autre ^ .
XXV. Diviser un nombre en deux parties telles , que leur produit soit égal à un cube diminué de sa racine.
Solution. Nombre donné 6 , ses parties s , 6— n, j'égale
le produit 6 n— n* a(aN— 1) 3 — (ocn— i), et je dispose
de a de telle sorte que le terme du premier degré en n dis-
paraisse; j'aurai alors a=3 et n = — .
XXVI. Diviser un nombre donné en trois parties dont le produit égale le cube qui a pour côté la somme des trois différences des parties entre elles.
Solution. Faisons d'abord le problème en fausse position : soit n la plus petite partie , n + 1 la plus grande. La double différence 2 de ces parties est la somme des différences des trois parties , le produit des trois parties vaudra
donc 2 3 =8, par suite la partie moyenne sera y ,^ N qui
devra être comprise entre s et n -f- 1 . On satisfera a ces deux
conditions en posant 8 = ( N+ J , ou . Par suite
les trois parties seront — , -jp , — , ou a5, 27 , 4o.
Si on veut que la somme des trois parties égale un nombre donné , 4 P ar exemple , on prendra pour parties 25 n ,
27 n , 4° N > et on égalera leur somme 92 n à 4 •> d'où
N — — rr-
ai
XXVII. Trouver deux nombres tels , que leur produit augmenté de l'un des deux soit un cube.
Solution. Premier nombre 8 s , second n * — i ; il faut que le produit des deux , plus le second n 8 — i , fasse un cube ;
je l'égale a (a N — i) 3 et je trouve n = le premier nombre sera le second
XXVHI. Trouver deux nombres tels , que leur produit diminué de l'un d'eux soit un cube.
XXIX. Trouver deux nombres tels , que si leur produit est augmenté ou diminué de leur somme, les résultats obtenus soient des cubes.
Solution. D'après la question il faut résoudre en quantités rationnelles les deux équations : #r 3 et
xy — x—y=.b\ d ou x-\-y=. — elxy=. — i- — ,
x,y dépendent d'une équation du second degré que Diophante résout en prenant pour inconnues x-\-y et x— y ; pour que ces inconnues soient exprimées rationnellement ,
il faut que ( * 4*^ ' ") ) so ' 1 un carré * ^ ous
supposerons a = n-|-f,ô = N— i,et l'expression précédente sera égalée au carré de 3n'— 6n-|-i, d'où on déduira
n = -|-, par suite il sera aisé de trouver x,y.
XXX. Trouver deux nombres tels , que leur produit augmenté ou diminué de leur somme donne toujours pour résultat un cube.
Solution. Diophante résout d'une manière très-simple cette question qui est la même que la précédente ; il appelle le premier nombre n, le second n*-n, leur produit plus leur somme égale n 3 et une condition est remplie; leur produit moins leur somme égale n 3 — -jn* qui sera un cube si
on l'égale à d'où on déduira N = -y.
XXXI. Trouver quatre carrés qui , ajoutés entre eux et à leurs côtés , fassent en somme un nombre donné.
Solution. Soit 1 a le nombre donné ; cherchons quatre carrés qui fassent en somme 1 2 + 1 , de telle sorte qu'on ait a*-\-b 9 +c*-\-d*z= 1 2 4- 1 ; cette équation prendra la
forme (a -l) a + ( a ---i- ) + (4^y+(6 I-)+...
A c — 7)°+° — r+( d — hy+ d '''T :=zl2 ^ 1 h
question sera résolue si on connaît a, b,c,d\ or i3 est la somme de deux carrés 4 et 9, ^ esi la somme de deux
carrés ^j- , , 9 est la somme des deux carrés , ; les côtés des carrés cherchés seront donc —, —, — ,
obs. de fermât. Bien plus , j'ai découvert le premier une proposition très-belle et très- générale , savoir; que tout nombre est triangulaire ou composé de deux ou de trois triangulaires ; carré ou composé de deux , de trois ou de quatre carrés ; pentagone ou composé de deux , de trois , de quatre ou de cinq pentagones , et ainsi de suite à l'infini, on peut énoncer cette merveilleuse proposition pour les hexagones , les heptagones , et généralement pour les polygones quelconques, dfaprès le nombre de leurs angles. Mais il ne convient pas de placer ici sa démonstration qui est déduite de plusieurs mystères les plus variés et les plus abstrus des nombres , car nous avons résolu de destiner à cet objet un Livre complet , et d'étendre merveilleusement dans cette partie l'arithmétique au delà de ses anciennes limites connues.
La formule des nombres polygonaux est W ^ ~" 1 « -f» n , pour «r= 1 ooa les triangulaires, pour «=: a les carrés, etc. , etc.
XXXIÏ. Trouver quatre carrés dont la somme, diminuée
de la somme des côtés, donne pour reste un nombre déterminé. (Analogue à la précédente. )
XXXIII , XXXIV. Diviser l'unité en deux parties telles , que, si on augmente chacune d'elles d'un nombre donné différent , le produit des deux sommes soit un carré.
Solution. Les parties de l'unité seront n et i — n , les nombres donnés, 3 et 5 ; il faudra que (n-|-3)(6— n) soit u n carré ; on l'égalera a oc " n % d'où 1 8 + 3 n = (a 9 -f i ) n * ; multipliant les deux membres par 18, et complétant le carré
au premier membre, on trouve (i8-| — — n J =(j8a 5 -|--£-W. Le premier membre étant un carré , le second devra être
aussi carré; par conséquent il faudra égaler i8a a -|-li-à un
carré, par exemple a (4 «H — ^ . D'où a=i8,N=-^; les parties de l'unité seront-^- et ~f-
XXXV. Diviser un nombre donné en trois parties telles, que le produit des deux premières , augmenté ou diminué de la troisième , fasse un carré.
Solution, obs. de fermât. Nombre donné 6 , je le divise en 5 et i, si du produit 5 . i je retranche i, il restera 4 , qui,
divisé par 6, donne- j-. Si de 5 et de i je retranche -j- y
j'aurai pour restes et ~ 9 W * seront la première et la seconde partie , par suite la troisième sera
En général , soit a le nombre donné , je puis trouver b , c, </, d'une infinité de manières ; de telle sorte que, a=zb.c+d=b-\-c. Je pose ensuite b c — i = k. Je divise
k par a , les deux premières parties seront b — c — ~
la troisième , puisque a = 6+c. Il est clair que, d'après les conditions établies , ( b ( c ^
est égal a ^ ± i ^ .
XXXVI. Trouver deux nombres tels , que si chacun d'eux est augmenté d'une même fraction de l'autre , dont on diminuera ce dernier , chaque somme soit a chaque reste dans un rapport assigné.
Solution. Le premier , augmenté d'une fraction du second , prélevée sur ce nombre , fera une somme triple de ce qui restera du second. Le second , augmenté de la même fraction du premier, dont ce premier sera diminué , fera une somme quintuple de ce qui restera du premier.
Les deux nombres seront n , 1 2 - n ; si le second est diminué de 9 — n qu'il cède au premier , la somme 9 sera triple du reste 3. Si le second 12— n est augmenté de n — 2 , prélevé sur le premier , la somme 1 o sera quintuple de 2. Il reste seulement a établir que 9— n et n — 2 sont les mêmes fractions de 12— -n et de n ; ou que 12 — n :9 — n::n:n — 2 ou 3 : 9 — n : : 2 : n— 2 ; d'où
XXXVII. Trouver d'une infinité de manières deux nombres tels, que leur produit, augmenté de leur somme, fasse un nombre donné.
Solution. Nombre donné 8, premier nombre n— i ; second
XXXVIII. Trouver trois nombres tels, qu'en ajoutant le produit et la somme de deux quelconques , les trois résultats soient des nombres de la forme a 9 — i.
Solution. Je suppose que les résultats soient 8 , 1 5 , 24 ,
qui sont de la forme a'— i. Si les deux premiers nombres sont x et y, nous devrons avoir xj+x-\-jr=:8 ; d'où
x rz: , si je fais y=. n — ï , .r — 1 ; mais si
j'appelle z le troisième, on aura aussi J= i5 ,
par suite 2 = — — 1 ; il faudra encore poser l'équation
x z-\-x-\-z=zi4 , d'où in = -^-. Le premier nombre sera
—, le second -ï-, le troisième—^-.
XXXIX. Trouver deux nombres dont le produit diminué de la somme fasse un nombre donné. ( On peut trouver de suite une infinité de solutions. )
